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2020年01月17寒假作业四
一．选择题（共2小题）
1．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
2．如图，AB是⊙O的直径，MN 是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA
的度数为（ ）
A．76°
3．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、 BC都相切，连接OC，
B．56° C．54° D．52°
则tan∠OCB＝ ．
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，
是 ．
的长是，则⊙O的半径
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是A D的中点，点E在BC上，CE＝
2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠ DEC相等，则MN
＝ ．
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6．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下< br>一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围
是 ．
7．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足 是C，
AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y＝kx+b的表达式．
8．（ 1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：
∠AFE＝ ∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．
①用直尺 和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写
作法）；
②在①的条件下，如果∠G＝60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
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9．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
10．如图，二 次函数y＝﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A
的坐标为（﹣4，0），P 是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？
若 存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
11 ．已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面
图形S的“宽距 ”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆： ；
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②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
（2 ）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的
点，连接A B、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若 点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线
上．对于⊙M上任意 点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
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2020年01月17寒假作业四
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4
【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．
故选：B．
2．如图，AB是 ⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA
的度数为（ ）
A．76° B．56° C．54° D．52°
【解答】解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，
∴∠ONM＝90°，
∴∠ONB＝90°﹣∠MNB＝90°﹣52°＝38°，
∵ON＝OB，
∴∠B＝∠ONB＝38°，
∴∠NOA＝2∠B＝76°．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
3．如图，半径为
则tan∠OCB＝
的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，
．
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【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，
∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，
∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，
∴tan∠OBC＝
∴BD＝
，
＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，
∴tan∠OCB＝
故答案为．
＝．
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是 2 ．
【解答】解：连接OB、OC．
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∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∴
∴r＝2，
故答案为2．
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在 BC上，CE＝
＝，
的长是，
2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝
6或 ．
【解答】解：分两种情况：
①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：
则∠PFM＝∠PFN＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC ＝AD＝3AB＝3
∴AB＝CD＝，BD＝
，∠A＝∠C＝90°，
＝10，
∵点P是AD的中点，
∴PD＝AD＝
∵∠PDF＝∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
，
∴＝，即＝，
解得：PF＝，
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∵CE＝2BE，
∴BC＝AD＝3BE，
∴BE＝CD，
∴CE＝2CD，
∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，
∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，
∵∠PFN＝∠C＝90°，
∴△PNF∽△DEC，
∴＝＝2，
∴MF＝NF＝2PF＝3，
∴MN＝2NF＝6；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：
由①得：PF＝，MF＝3，
设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，
在Rt△PNF中，（）+（3﹣x）＝x，
解得：x＝，即MN＝；
；
222
综上所述，MN的长为6或
故答案为：6或．
6．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下
一 个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是
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3≤AP＜4 ．
【解答】 解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD
∽△ACB或△AP E∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB＝CP×CA，即2＝CP×4，
∴CP＝1，AP＝3，
∴此时，3≤AP＜4；
22
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
7．如 图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，
AC＝OC．一 次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y＝kx+b的表达式．
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