数学题画图2016年广州一模理科数学试卷及答案

2020年11月24日发(作者：朱鎔基)
绝密，传启用前
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学
注 意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓 名和考
生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷土无效。
3.国答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
CC)
{xlOCD)
{xlO至x
<1 }
一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(
1）己知集合A={xllxl
(A)
CB)
{xlO三X至1}{xl- 1至X至1}
、＋i
(2）己知复数z＝二二，其中i为虚数单位，则复数z的共辄复数z所对 应的点在
(A）第一象限CB）第二象限CC）第二象限CD）第四象限
(3）执行如图所示的 程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为
CA) 6
CB) 8
CC)
10
CD) 12
(4）如果函数f
(
x)
=
sin
cux
＋一l(m>O）的相邻两个零点之间的距离为一，则ω的值为
lπ1
I
6)
( A ) 3 ( B ) 6 ( C ) 12 ( D ) 24
(5）设等差数列｛。”）的前n项和为乱，且向＋向＋α12=24，则s13
=
(A) 52
CB)
78
CC)
104
CD)
208
(6）如果罚＇｝飞，…，P,，是抛物线C:
y2
=4x上的点 ，它们的横坐标依次为X1’X2，…，孔，F
是抛物线C的焦点，若X1＋引＋···＋x,,=10 ，则IJ=:Fl+I乓Fl＋…＋｜尺Fl=
(A)
n+lO
CB)
n+20
CC)
2n+10
CD)
2n+20
( 7）在梯形ABCD中，ADDBC，己知AD=4,BC=6，若百＝m瓦斗nBC(m,nER），贝卢＝< br>n
(A)
-3
CB) _
_!_
3
CC)
_!_
3
CD) 3
理科数学试题第l页（共22页）
I
x-y- I豆0,
(8）设实数X,y满足约束条件ix+y-I豆0，则x2
+(y
+
2)2的取值范围是
Ix二三－1,
r
,
a

A
、
3
／
l
l
l
t
I
l
－
l
「
l
-
2
「
4··
A
寸< br>l
l
l
t
I
l
l
－
－
(B ) [1,17]
(C) [ 1,
.Ji于］
(D)
［子叫
」
J
(9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为l，顶点都在同一 个球面上，则该
球的体积为
空。／写π
CB）一」二一
骂、／写冗
一 二二一
(A)
20π
3
CC)
5π
CD)
6
(
11）己知下列四个命题：
P，：若直线l和平面α内的无数条直线 垂直，则l..lα：
P2：若f
(x)
=
2'
-Tx，贝UtxεR,
J(-x)=-f(x);
f (
x0)
=
1
p3：若！（均可＋击则:lx0
E (
0,
+co)
其中真命题的个数是
p4：在AABC中，若A>B，则sin
A> sinB.
CA) l
CB)
2
CC) 3
CD)
4
(
11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
某个四面体的三视图， 则该四面体的表面积为
(A)
8+8./2 +4--./6
CB) 8+8./2 +2--./6
CD)
1
.,J6
一＋一一－＋一一－
2 2 4
CC)
2+2./2+._/6
-./2
'JV
/7
CD) 2016
×
22014
Cl2）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形” ．
2013 2014 2015 2016
5
4027 4029 4031
7
3 5 9
............
8056 8060
8
12
16
.....................
20 28
..............................
16116
3
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和，表中最后一行仅
有一个数，则这个数为
2 4
(A) 2017
×
22015 CB) 2017
×
22014
CC)
2016
×
22015
理科数学试题第2页（共22页）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～
第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(
13）一个总体中有
次为l,
60个个体，随机编号0,
1.
2，…，”，依编号顺序平均分成6个小组，组号依
2,
3，…，6.现用系统抽样 方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码
为3，则在第5组中抽取的号码是
（ 川知双曲线C:;-t=l（α＞0,b>O）的左附加，右焦点为F，点B（叫，且目置＝0'
a b
则双曲线C的离心率为
Cl 5 ) (
x2 -x -
2
r的 展开式中，
川的系数为
（用数字填写答案）
(16）己知函数f
(
x)
=
x2一句＋2
i
fl一lx+ll,
X之I< br>二？则函数g(x)=2川x)-2的零点个数为个
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．
( 17)
（本小题满分12分）
如图，在AABC中，点D在边AB上，
CD1-BC,
AC=5J°3, CD=5, BD=2AD.
C I
）求AD的长：
CI I
）求AABC的面积．
( 18)
（本 小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得 到如图所示的频
B
率分布直方图，质量指标值落在区间［55,65),
[65,75),
[75,85］内的频率之比为4:2:
1.
C I
）求这些产品质量指 标值落在区间
[75,85］内的频率；
盟主
。030
~--------- -----
从该企业生产的
组距
CI I
）若将频率视为概率，
0.019 ·-----------
nu
o

u
l

2
’
这种产品中随机抽取3件，记这3件产
品中质量指标值位于区间［
45,
75）内的产
品件数为X，求X的分布列与数学期望．
0.004 ·----
。
15 25
35 45 55 65 75
85质量指标值
理科数学试题第3页（共22页）
C1 9)
C本小题满分 12分）
如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D，的底面ABCD是菱形，AC门BD=O,
AiO
i底面ABCD,
AB= AA,=
2.
C I
）证明：平面Apoi平面BB1D1D:
,
,
,
,
,
,
、
D,
?
c,
CI I
）若LBAD=6D°，求二面角B-0鸟－C的余弦值／
k/ ',,

,
/
二三，，，，
，，／＼ν：~－－－’／－？c
…一－，ι
D...-____
L一－－＂－’＿＿／＿二
，一。
A B
(20)
C本小题满分 12分）
己知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为汽（一叫，点s(2，占 ）在
椭圆C上，直线y=kx(k:;t:O）与椭圆C交于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交 于点M,N.
C I
）求椭圆C的方程；
C
II
）以MN为直 径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标：若不经过，请说明理由．
(21)
（本小题满分12分）
已知函数f
(x)
=
ex+m
-x3,
g (
X)
=
ln (
X
+
1)
+
2.
C I
）若曲线y二f(x）在点（o,
f
(o））处的切线斜率为1，求实数m的值：
C
II
）当m
:2:
1时，证明：f
(
x)
>
g (
x) -x3 .
理科数学试题第4页（共22页）
请考生在第22、23、2 4题中任选一题做答，如果多做，贝lj按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
(22)
（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲
如图所示，AABC内接于①0，直线AD与00相切 于点A，交BC的延长线于点D，过点D作
DEDCA交BA的延长线于点E.
C I
）求证：DE2
=AEJBE;
E
CI I
）若直线EF与00相切于点F
求线段AC的长．
，且EF=4,
EA=2,
D
(23)
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面 直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
方程为ρ ＝2sinθ，θε［0,2π）
C I
）求曲线C的直角坐标方程；
CI I
）在曲线C上求一点D，
出点D的直角坐标．
使匕到直线l:斗
,,,._, r
x
=
[ y
=-3t+2
J3r+J3,
Ct为参数，tεR）的距离最短，并求
(24)
（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设瞅f(x）斗x+Fal十ι｜
C I
）当。＝1时求不等式！（叶的解集；
C
I

I)若对任意。ε ［0,1］，不等式f(x）三b的解集为空集，求实数b的取值范围
理科数学试题第5页（共22页）
绝密，传启用前
2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学试题答案及 评分参考
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同， 可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制订相应的评分细则．
2.对计算题，当考生的解答在 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分 ，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.只给整数分数．选择题不给 中间分．
－．选择题
(1) D
(2) D
(3) C
(4) B
(5) C (6) A
(
12) B
(7) A
二．填空题
(8) A
(9) D
00) B
(ll) A
( 13) 43
三．解答题
(17)
(I）解法一：
(14）」干一一
、／'5
+
I
2
( 15) -40
( 16) 2
在AABC中，因为BD=2AD，设AD
=x
(x>O），则BD=2x.
在ABCD中，因为CD
1-
BC , CD
=
5 ,
BD
＝缸，
所以cos正CDB＝一一＝一．….. ......…..................……······················· ··2分
CD
5
BD 2x
在l::,.ACD中，因为AD
=
x , CD
=
5 ,
AC
=
5fj ,
由余弦定理得cosζADC=
AD2
+CD2
-AC2 x2
+52一（5Ji)2
2
×
AD
×
CD
=
2
×
X
×
5
因为ζCDB＋ζADC＝π，
所以 cos丘ADC=-COSt乙CDB,
即
x2
+52一（5.J3)2
2
×
x
×
5
·-
＝一一．
5
2x
….......…··…………………… ……………………5分
解得x=S.
所以AD的长为5.……….............. ............….........….........….........…·6分
理科数学试题第6页（共22页）
解法二：在AABC中，因为BD=2AD，设AD=
x (x>
0），则BD=2x.
在ABCD中，因为CD
1-
BC , CD
=
5 ,
BD
=
2x ,
所以BC＝~.
所以cosζCBD＝一一＝．．．，
BC .J4x2
-25
2x
一.........….........…………………………·2分
BD
在中，因为AB＝知，BC＝占~＇
AC=S.f?J,
由余弦定理得cosζCBA=
AB2
+
BC2 -AC2
2
×
AB
×
BC
=
13x2
-100
6x
×
.J4x2
-25
卢一一一一．
川
分
所以．．，，
飞／4x2
-25
一＝
l3x2
-100
卢一一一一................. .…..................….........…·5分
2x
解得x=S.
6x
×
.J4x2
-25
所以AD的长为 5.................................…............... .........….........…·6分
C
I

I）解法一：由C
I
）求得AB=3x=l5,BC＝岳7丁五＝5--/3
...................
g分
所以COSL乙CBD＝一一＝二二，从而 smζCBD＝一........................……·10分
BC ...
n
BD
.
1
2 2
所以S川Dr
=
＿
2
！

＿×AB×BC×sinζCBA
山u」
c
1
7飞n
=-x15×5../3×一＝一二二... ...............…….........….........……·12分
2 2 4
解法二：由C
I
）求得AB=3x=l5,BC＝乒7丁否＝
s--/3.
…….......…..
g分
因为AC=5.f?J，所以为等腰三角形．
因为cosζCBD＝一一＝二二， 所以=30
BC ...
n


BD
2
.
.................……..........
10分
所以AABC底边AB上的高h=-BC＝」二．
1飞I飞
2 2
所以s
山LJ」
AA
Ur
=
_!_
2
×
AB
×
h
1
2

2 4 .......................…….......…........…·12分＝一 ×15×一一－＝一一一.
理科数学试题第7页（共22页）
解法三：因为AD的长为5
,
所以cosζCDB＝一一＝一一＝一，
CD 5
1π
解得ζCDB＝一．…..........................…·8分
BD 2x 2 3
2π？气、／飞
所以Sunr＝一×AD×CD×sin一一＝一」二．
山~ν
2 3 4
？气／气
S山rn＝一×BD×CD×sin一＝一」二... ......…........….........………··10分
山山
2 3 2
所以SMBC
=
SM川Sl':.BCD＝寸二
7气、n
时
(18）解：（
I
）设区间［75,85］内的频率为X,
则区间［
55, 65), [ 65, < br>75）内的频率分别为4x和2x.….......…..............…1分
依 题意得（
0.004+ 0.012+ 0.019 + 0.03
)×
10+4x+2x+x
=
1，…···············3分
解得x
=0.05.
………· .....
所以区间［75,85］内的频率为0.05…………·4分
门口从该企业生产的 该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X服从二项分布B（矶时，其中n=3 .
由（
I
）得，区间［
45,
75）内的频率为0.3
+ 0.2+0.1=0.6,
将频率视为概率得p=0. 6.………………………………………………………5分
因为X的所有可能取值为0,
L 2,
3，……………........….........…··········6分
且P(X =O）＝叫×0.6°×0.43
= 0.064,
P(X
= 1) = C
;×
0.61
×
0.42 = 0.288'
P(X
= 2) =C~
×
0.62
×
0.41 = 0.432 ,
P(X
= 3) =
C：×0.63×0ρ＝0.216.
所以X的分布列为：
x
p
0
0.064 0.288
2
3
0.432 0.216
…10分
所以X的数学期望为E X=O×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=
1.8.
（或直接根据二项分布的均值公式得到EX
=np=3
×
0.6 = 1.8)
........……·
12分
理科数学试题第8页（共22页）
C1 9) C I
）证明：因为AiOi平面ABCD,
BD
c平面ABCD,
所以AIO. .lBD.··················！分
cl
Ai
所以…D
因为ABCD是菱形，
2分／g二，：ro二；二二三
4
’'
j，，乙： ，，，，－／~工7c
因为AP门CO=O,
2ζ二二，，，，，，，苟，、、、、、‘
A
所以BD..l平面A1co.
B
········….........… .........……........................……·3分
因为BDc平 面BBIDID,
所以平面BB,D,Di平面A,CO.·················……. ........….........…………·4分
C
T

I）解法一：因为AiOi平面ABCD,
CO
..l
BD，以0为原点，OB'
oc'
OAI方
向为x
'
y,
z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系..................... ...…·S分
因为AB＝儿叫＝2,LBAD=60。，
所以OB=OD=LOA=OC=. J3，问＝）AA,2
-OA2
=1.
…···············6分
则B(l,0,0),
c( 0,-J],0),
A(
0,-- J],0
),<(
0,0,1),
…………
DI
所以高＝石；二（
o,.Ji,,1),
再；二司＋豆豆；＝(1，二巧，1)设平面OBBI的法向量为n＝（川，z)
····7分
cl
因为再＝(1，州，再；＝(1，♂，1)'
所以t:~y+z二。
令y
/ I
////
D，：二－－」＿＿＿＿，，，.：：一－－－马
，、目’二，一
/)<
',,J＿＇.＇二二，，，，，f二二／C
=
1,
乞二二J””σ一＼、
A
B
得n＝（以－./3).
同理可求得 平面OCBI的法向量为m=(1,0，一1).
..:.
.Ji,
J6
·9分
.
..............….......…········10 分
所以cos2飞／2
4
理科数学试题第9页（共22页）
因为二面角B-OBI-C的平面角为钝角，< br>所以二面角B-08,
’
C的余弦值为一一一．…........…........ .…............
, ..
,12分
Ji
4
解法二：由C
I
）知平面A,COi平面BB,D,D,
cl
连接A,C，与BIDI交于点。l’
连接co1,
001
’
因为 儿叫＝CCI’儿叫／／CCI’
所以OAp1C为平行四边形．且OIC=O｝飞＝l.
因为 平面A,con平面BBIDID
=001
’
过点C作CH1-001于H，则CH i平面BB,D,D.
过点H作HKl_OBI于K，连接CK，则CK
J_
OBI.
所以ζCKH是二面角B-OBI-C的平面角的补角.........…... ...............…·6分
在Rt牟OCOI中，CH＝一一一一一＝一一一＝一一.. ............................……·7分
01CxOC lxsJ3
001 2
sJ3
2
在牟oαl中，因为AIO_l_咐，所以OB1 =Jo矿＋冉冉2
因为冉冉＝CD,
=ls.
AB1/ICD,
所以BIC＝。＝归02
+OD2 =Ji
因为BIC2
+OC2
=0Bl2，所以t,,.OCBI为直角三角形．…........…................ ...3分
所以CK＝二」」－＝－＝一一一一＝一
Ji
×
OBI
'13
Ji
…................….......…….............
Js Js.
9分
所以KH
='1CK2
-CH2一~…………………………………………………10分
-2Js
理科数学试题第10页（共22页）
KH
-..!
F、
所以＝一 一＝二二..................…........................….. .......…·11分
CK
4
所以二面角B- OB,-C的余弦值为一一一．
.
J6
4
…........….........….........……·12分
(20)
C I
）解法一：设椭圆C的方程为~＋什＝
1
（α＞
b
>
0),
α。
x
v
因为椭圆的左焦点为町（
-2,
o），所以矿－b2
=4
.........….................…. ·
1分
设椭圆的 右焦点为Rρ，协己知点s(2,h）在椭圆C上，
由椭圆的定义知IB罚l+IB乓1=2α，
所以2a=3.J2+.J2
=4.J2 ···· ··· ····· ··· ····· ··· ·
………·阶
所以α＝2.J2，从而b=2…………………………………………… …………阶
所以椭圆C的方程为一＋一＝1.…··…………………………………………4分
x 2
y2
8 4
解法二设椭圆C的方程为~＋仨二1（α＞
b
>
0),
α。
x
v
因为椭圆的左焦点为Fi
(
-2，的，所以α2
-b2
=4 < br>因为点Bl2，但l在椭圆C上，所以－－－－：；－＋－：－：；－＝l.
飞Jα。
( ................…..
l分
I
c、4
2
② …….......……··2分
由①②解得，a=2.J2,b=2.…………………………………… ……………阶
所以椭圆C的方程为一＋一＝1.…··…………………………………………4分
x2
y2
8 4
C
I

I）解法一：因为椭圆C的左 顶点为A，则点A的坐标为（－2」2,o)
因为直线y
…·
····5分
=
kx
(k
=t=
0）与椭圆一＋一＝1交于两点E,
8 4
x2
y2
F, < br>设点E（布，Yo)C不妨设X0>0），则点F(-xo,-Yo)
f
I
l< br>l
－
－
气
i
l
l
－
组
联立
方
在
口
至
于
什
L
兰
8
一
4
2
x
户
帆
消
去
I
MP
J
B
X
d
/
可
8
-
－

一
2
L
＋
κ

所以Xo＝一二工二一，则Yn＝一二二－
‘/')
2
‘/')/.,
J石F
JO~·
理科数学试题第11页（共22页）