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数学打电话教学设计广州高考一模试题数学试卷

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-24 15:58
tags:高考, 高中教育

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2020年11月24日发(作者:丁魏)
2016广州高考一模试题,数学试卷

2016年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)
一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符 合题目要求的.
1.已知集合 A={x |﹣ 1≤ x ≤ 1}, B={x |x 2﹣ 2x ≤ 0},则 A ∩ B=( ) A . {x |﹣
1≤ x ≤ 2} B . {x |﹣ 1≤ x ≤ 0} C . {x |1≤ x ≤ 2} D . {x |0≤ x ≤ 1} 2.已知复数 z 满
足 z=
(i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知函数 则 f (f (﹣ 2) )的值为( )
A . B . C . D .
4. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, 且 =2
, 则△ PAB 与△ PBC 的面积之比是 ( )
A .
B .
C .
D .
5.如果函数 (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为 ,则 ω的值
为( ) A . 3 B . 6 C . 12 D . 24
6.执行如图所示的程序框图,如果输入 x=3,则输出 k 的值为( )
A . 6 B . 8 C . 10 D . 12
7.在平面区域 {(x , y ) |0≤ x ≤ 1, 1≤ y ≤ 2}内随机投入一点 P ,则点 P 的坐标
(x , y )满 足 y ≤ 2x 的概率为( ) A .
B .
C .
D . 8.已知 f (x ) =sin(x +) ,若 sin α=(<α<π) ,则 f (α+) =( )
A .
B .﹣
C .
D .
9.如果 P 1, P 2, … , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点,它们的横坐标依次为
x 1, x 2, … , x n ,
F 是抛物线 C 的焦点,若 x 1+x 2+… +x n =10,则 |P 1F |+|P 2F |+… +|P n F
|=( ) A . n +10 B. n +20 C. 2n +10 D . 2n +20
10.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 1,顶点都
在同一个 球面上,则该球的体积为( ) A . 20π B .
C . 5π
D .
11.已知下列四个命题:
p 1:若直线 l 和平面 α内的无数条直线垂直,则 l ⊥ α; p 2:若 f (x ) =2x
﹣ 2﹣ x ,则 ? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) p 3:若
,则 ? x 0∈(0, +∞ ) , f (x 0) =1;
p 4:在△ ABC 中,若 A >B ,则 sinA >sinB . 其中真命题的个数是( ) A . 1 B .
2 C . 3 D . 4
12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则
该四面体 的表面积为( )
A . 8+8+4 B . 8+8+2 C . 2+2+ D . ++
二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分.
13.函数 f (x ) =x3﹣ 3x 的极小值为 .
14. 设实数 x , y 满足约束条件 , 则 z=﹣ 2x +3y 的取值范围是 .
15.已知双曲线 C :(a >0, b >0)的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B (0, b ) ,
且 ,则双曲线 C 的离心率为 . 16.在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ⊥
BC , , CD=5, BD=2AD,则 AD 的长 为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列 {a n }是等比数列, a 2=4, a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项. (Ⅰ)
求数列 {a n }的通项公式;
(Ⅱ)设 b n =2log2a n ﹣ 1,求数列 {a n b n }的前 n 项和 T n .
18. 从某企业生产的某中产品中抽取 100件, 测量这些产品的质量指标值. 由
测量结果得到 如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 [55, 65) , [65,
75) , [75, 85]内的频率 之比为 4:2:1.
(Ⅰ)求这些产品质量指标落在区间 [75, 85]内的概率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 [45, 75)内抽取一个容量为 6的样本,将该样本看
成一个 总体,从中任意抽取 2件产品,求这 2件产品都在区间 [45, 65)内的概率.
19. 如图, 四棱柱 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形, AC ∩
BD=O, A 1O ⊥底面 ABCD , AB=AA1=2.
(Ⅰ)证明:BD ⊥平面 A 1CO
(Ⅱ)若∠ BAD=60°,求点 C 到平面 OBB 1的距离.
20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F
1(﹣ 2, 0) , 点 B (2, )在椭圆 C 上,直线 y=kx(k ≠ 0)与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线
AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠ MPN 为直
角若存 在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f (x ) =mex ﹣ lnx
﹣ 1.
(Ⅰ)当 m=1时,求曲线 y=f(x )在点(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 m ≥ 1时,
证明:f (x )>1.
请考生在第 22、 23、 24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计
分.作答时请 写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】
22.如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长
线于点 D , 过点 D 作 DE ∥ CA 交 BA 的延长线于点 E . (I )求证:DE 2=AE? BE
(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF=4, EA=2,求线段 AC 的长.
选修 4-4:坐标系与参数方程
23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 0为极点, x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系,曲 线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ, θ∈ [0, 2π) . (1)求曲线 C 的直角坐标
方程;
(2)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l :, (t 为参数, t ∈ R )的距离最短,
并求出点 D 的直角坐标.
选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f (x ) =|x +
|﹣ |x ﹣
|.
(I )当 a=1时,求不等式 f (x )≥ 的解集;
(Ⅱ)若对任意 a ∈ [0, 1],不等式 f (x )≥ b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符 合题目要求的.
1.已知集合 A={x |﹣ 1≤ x ≤ 1}, B={x |x 2﹣ 2x ≤ 0},则 A ∩ B=( ) A . {x |﹣
1≤ x ≤ 2} B . {x |﹣ 1≤ x ≤ 0} C . {x |1≤ x ≤ 2} D . {x |0≤ x ≤ 1} 【考点】 交集
及其运算.
【分析】 求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】
解:B={x |x 2﹣ 2x ≤ 0}={x |0≤ x ≤ 2}, 则 A ∩ B={x |0≤ x ≤ 1}, 故选:D
2.已知复数 z 满足 z=
(i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为( )
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】 复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】 根据复数的几何意义,即
可得到结论. 【解答】 解:z==
=
,对应的坐标为(2,﹣ 1) ,
位于第四象限, 故选:D .
3.已知函数 则 f (f (﹣ 2) )的值为( )
A . B . C . D .
【考点】 函数的值.
【分析】 利用分段函数的性质求解.
【解答】 解:∵函数
,
∴ f (﹣ 2) =(﹣ 2) 2﹣(﹣ 2) =6, f (f (﹣ 2) ) =f(6) =
=﹣ .
故选:C .
4. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, 且
=2, 则△ PAB 与△ PBC 的面积之比是 ( )
【考点】 向量数乘的运算及其几何意义.
【分析】 由 =2可知 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点.
【解答】 解:∵ =2,∴ P 为边 AC 靠近 A 点的三等分点,∴△ PAB 与△ PBC 的面
积比 为 1:2. 故选:B .
5.如果函数
(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为
,则 ω的值
为( ) A . 3 B . 6 C . 12 D . 24
【考点】 y=Asin(ωx +φ)中参数的物理意义.
【分析】 根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期,即可求
得 ω的值. 【解答】 解:函数 (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为
,
∴ T=2×=,

=
,
解得 ω=6. 故选:B .
6.执行如图所示的程序框图,如果输入 x=3,则输出 k 的值为( )
A . 6
B . 8
C . 10 D . 12
【考点】 程序框图.
【分析】 根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到满足条件 x >100,跳
出循环体, 确定输出 k 的值.
【解答】 解:模拟执行程序,可得 x=3, k=0 x=9, k=2
不满足条件 x >100, x=21, k=4 不满足条件 x >100, x=45, k=6 不满足条件
x >100, x=93, k=8 不满足条件 x >100, x=189, k=10
满足条件 x >100,退出循环,输出 k 的值为 10. 故选:C .
7.在平面区域 {(x , y ) |0≤ x ≤ 1, 1≤ y ≤ 2}内随机投入一点 P ,则点 P 的坐标
(x , y )满 足 y ≤ 2x 的概率为( )
【考点】 简单线性规划;几何概型.
【分析】 作出不等式组对应的区域,利用几何概型的概率公式,即可得到结论.
【解答】 解:不等式组
表示的平面区域为 D 的面积为 1,
不等式 y ≤ 2x 对应的区域为三角形 ABC , 则三角形 ABC 的面积 S=
=,
则在区域 D 内任取一点 P (x , y ) ,则点 P 满足 y ≤ 2x 的概率为 , 故选:A .
8.已知 f (x ) =sin(x +) ,若 sin α=(<α<π) ,则 f (α+) =( )
A .
B .﹣
C .
D .
【考点】 两角和与差的正弦函数.
【分析】 根据同角的三角函数的关系,以及两角和的正弦公式,即可求出. 【解
答】 解:∵ <α<π, sin α=,
∴ cos α=﹣ ∵ f (x ) =sin(x +) , ∴ f (α+
) =sin(α+
+
) =sin(α+
)
=sinαcos +cos αsin
=﹣
(﹣ )
=,
故选:C .
9.如果 P 1, P 2, … , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点,它们的横坐标依次为 x 1,
x 2, … , x n , F 是抛物线 C 的焦点,若 x 1+x 2+… +x n =10,则 |P 1F |+|P 2F |+…
+|P n F |=( )
A . n +10 B. n +20 C. 2n +10 D . 2n +20
【考点】 抛物线的简单性质.
【分析】 由抛物线性质得 |P n F |==xn +1,由此能求出结果.
【解答】 解:∵ P 1, P 2, … , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点, 它们的横坐标依
次为 x 1, x 2, … , x n , F 是抛物线 C 的焦点, x 1+x 2+… +x n =10,
∴ |P 1F |+|P 2F |+… +|P n F |
=(x 1+1) +(x 2+1) +… +(x n +1) =x1+x 2+… +x n +n =n+10. 故选:A .
10.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 1,顶
点都在同一个 球面上,则该球的体积为( ) A . 20π B .
C . 5π
D .
【考点】 球的体积和表面积.
【分析】 作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面, 设正六棱柱的上下底面中
心分别为 O 1, O 2,球心为 O ,一个顶点为 A ,如右图.可根据题中数据结合勾股定理
算出球的半径 OA , 再用球的体积公式即可得到外接球的体积.
【解答】 解:作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面, 如右图, 则该截面矩形
分别以底面 外接圆直径和六棱柱高为两边,
设球心为 O ,正六棱柱的上下底面中心分别为 O 1, O 2,则球心 O 是 O 1, O 2
的中点. ∵正六棱柱底面边长为 1,侧棱长为 1, ∴ Rt △ AO 1O 中, AO 1=1, O
1O=,可得 AO==
,
因此,该球的体积为 V=π? () 3=
.
故选:D .
11.已知下列四个命题:
p 1:若直线 l 和平面 α内的无数条直线垂直,则 l ⊥ α; p 2:若 f (x ) =2x ﹣ 2
﹣ x ,则 ? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) p 3:若
,则 ? x 0∈(0, +∞ ) , f (x 0) =1;
p 4:在△ ABC 中,若 A >B ,则 sinA >sinB .
其中真命题的个数是( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
【考点】 命题的真假判断与应用.
【分析】 p 1:根据线面垂直的判断定理判定即可; p 2:根据奇函数的定义判定
即可; p 3:对表达式变形可得
=x+1+
﹣ 1,利用均值定理判定即可;
p 4:根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立.
【解答】 解:p 1:根据判断定理可知,若直线 l 和平面 α内两条相交的直线垂直,
则 l ⊥ α, 若没有相交,无数的平行直线也不能判断垂直,故错误; p 2:根据奇函数的
定义可知, f (﹣ x ) =2﹣ x ﹣ 2x =﹣ f (x ) ,故 ? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) , 故正
确; p 3:若
=x+1+
﹣ 1≥ 1,且当 x=0时,等号成立,故不存在 x 0∈(0, +∞ ) ,
f (x 0) =1,故错误;
p 4:在△ ABC 中,根据大边对大角可知,若 A >B , 则 a >b , 由正弦定理可知,
sinA >sinB , 故正确. 故选:B .
12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则
该四面体 的表面积为( )
A . 8+8+4 B . 8+8+2 C . 2+2+ D . ++
【考点】 由三视图求面积、体积.
【分析】 由三视图可知几何体为从边长为 4的正方体切出来的三棱锥. 作出直
观图, 计算各 棱长求面积.
【解答】 解:由三视图可知几何体为从边长为 4的正方体切出来的三棱锥 A ﹣
BCD . 作出直 观图如图所示:
其中 A , C , D 为正方体的顶点, B 为正方体棱的中点. ∴ S △ ABC ==4, S △
BCD =
=4.
∵ AC=4
, AC ⊥ CD ,∴ S △ ACD =
=8,
由勾股定理得 AB=BD=
=2
, AD=4
.
∴ cos ∠ ABD==﹣ ,∴ sin ∠ ABD=.
∴ S △ ABD =
=4.
∴几何体的表面积为 8+8+4
.
故选 A .
二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分. 13.函数 f (x ) =x3﹣ 3x 的极小
值为 ﹣ 2 . 【考点】 利用导数研究函数的极值.
【分析】 首先求导可得 f ′ (x ) =3x2﹣ 3,解 3x 2﹣ 3=0可得其根,再判断导
函数的符号分析 函数的单调性,即可得到极小值.
【解答】 解析:令 f ′ (x ) =3x2﹣ 3=0,得 x=±1,可求得 f (x )的极小值为 f (1)
=﹣ 2. 故答案:﹣ 2.
14. 设实数 x , y 满足约束条件 , 则 z=﹣ 2x +3y 的取值范围是 [﹣ 6,
15] . 【考点】 简单线性规划.
【分析】 由题意作平面区域,化简 z=﹣ 2x +3y 为 y=x +,从而结合图象求解.
【解答】 解:由题意作平面区域如下,
化简 z=﹣ 2x +3y 为 y=x +,
故结合图象可知,
在点 B (3, 0)处有最小值,在点 C (﹣ 3, 3)处有最大值, 故﹣ 2×3+3×0≤ z ≤
﹣ 2×(﹣ 3) +3×3, 即 z ∈ [﹣ 6, 15],
故答案为:[﹣ 6, 15].
15.已知双曲线 C :
(a >0, b >0)的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B (0, b ) ,
且 ,则双曲线 C 的离心率为
.
【考点】
双曲线的简单性质.
【分析】 设出 A , F 的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,结合 a , bc 的
关系和离心率公 式,计算即可得到所求值.
【解答】 解:由题意可得 A (﹣ a , 0) , F (c , 0) , B (0, b ) , 可得 =(﹣ a ,﹣
b ) , =(c ,﹣ b ) , 由 ,可得﹣ ac +b 2=0, 即有 b 2=c2﹣ a 2=ac, 由 e=,可得 e
2﹣ e ﹣ 1=0, 解得 e=(负的舍去) .
故答案为:
.
16.在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ⊥ BC , , CD=5, BD=2AD,则 AD
的长 为 5 .
【考点】 三角形中的几何计算.
【分析】 根据题意画出图象,延长 BC 、过 A 做 AE ⊥ BC 、垂足为 E ,根据平
行线的性质和 勾股定理依次求出 AE 、 CE 、 BC 、 BD ,由条件求出 AD 的长.
【解答】 解:如图所示:延长 BC ,过 A 做 AE ⊥ BC ,垂足为 E , ∵ CD ⊥ BC ,∴ CD
∥ AE , ∵ CD=5, BD=2AD,∴
,解得 AE=
,
在 RT △ ACE , CE===,
由 得 BC=2CE=5,
在 RT △ BCD 中, BD==
=10,
则 AD=5, 故答案为:5.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列 {a n }是等比数列, a 2=4, a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项. (Ⅰ)
求数列 {a n }的通项公式;
(Ⅱ)设 b n =2log2a n ﹣ 1,求数列 {a n b n }的前 n 项和 T n . 【考点】 数
列递推式;等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (Ⅰ)等比数列 {a n }中, a 2=4, a
3+2是 a 2和 a 4的等差中项,有等比数列的首项和公 比分别表示出已知条件, 解
方程组即可求得首项和公比, 代入等比数列的通项公式即可求得 结果;
(Ⅱ)把(1)中求得的结果代入 b n =2log2a n ﹣ 1,求出 b n ,利用错位相减法求
出 T n . 【解答】 解:(Ⅰ)设数列 {a n }的公比为 q , 因为 a 2=4,所以 a 3=4q,
. )
因为 a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项,所以 2(a 3+2) =a2+a 4. 即 2(4q +2)
=4+4q 2,化简得 q 2﹣ 2q=0. 因为公比 q ≠ 0,所以 q=2. 所以
(n ∈ N *) .
(Ⅱ)因为 ,所以 b n =2log2a n ﹣ 1=2n﹣ 1.
所以 .

, ① , , ② ,
① ﹣ ② 得, .
=,
所以 .

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