必修四数学电子课本2016年全国大学生数学建模竞赛A题

2020年11月24日发(作者：凌瑚)
A题 系泊系统的设计
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成 （如图1所示）。某型
传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为10 00kg。系泊
系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg， 锚链选
用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度
1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海
床的 夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长
1m、外径750 px的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，
下接电焊锚链。钢桶 竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工
作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与 竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了
控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可 悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）
系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游
动区域及钢 桶的倾斜角度尽可能小。
问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的 质量为1200kg。现将该型
传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×10< br>3
kg/m
3
的海域。若海水静止，
分别计算海面风速为12m/s和 24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃
水深度和游动区域。
问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形
状和浮标的游动区 域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点
与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速
度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系
泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区
域。
说明 近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv
2
(N)计算，其中S为物 体在风向法平面的投影
面积(m
2
)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公 式F=374×Sv
2
(N)计算，其中S为物体在
水流速度法平面的投影面积(m< br>2
)，v为水流速度(m/s）。