七年级上册数学配套练习册最终版本 2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛优秀范文

2020年11月24日发(作者：周海媚)
CT系统参数标定及成像问题研究
摘 要
CT机扫描部分主要由X线管和不同 数目的控测器组成，用来收集信息。X线束对所
选择的面层进行扫描，其强度因和不同密度的组织相互作 用而产生相应的吸收和衰减。
[1] 探测器将收集到的信息经过一系列的转变，最后经过计算机的储存 和处理，得到
CT值可以排列成数字矩阵。
通过对题目所提供材料进行分析，提出了较为合理 的假设，对各组附件数据进行了
拟合处理制成各种图像并分析说明，且建立模型来求解CT系统拟合处理 问题。
在对问题一的分析中，对附件一模拟实体立体化建立模型Ⅰ，并对数据进行处理及
排差 ，假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种
问题的情况下，建立起 了一个模拟CT系统的仪器。运用数学几何知识作图，通过建立
相似图形（模拟CT系统运行）等比例来 确定几个系统参数之间的关系（CT系统旋转中
心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该 CT系统使用的X射线的180
个方向）。在对建立的模型Ⅰ进行改进的基础上，对附件2进行拟合处理 建立模型Ⅱ，
利用数学中的傅里叶变换算法等比对图2模板示意图进行平面配对。借助数学算法和
MATLAB软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适
当补充，并 随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果
与数据模拟结果吻合。 在对问题二的分析中，对附件3模拟建立模型Ⅲ。利用上述CT系统得到的某未知
介质的接受信息还 有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几
个系统参数之间的关系（CT系统旋 转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸
收率等信息）。借助数学算法和MATLAB软件，利 用图3所给的10个位置，对附件4
中所提供的数据（对附件4模拟建立模型Ⅳ）进行了筛选，去除异常 数据，对残缺数据
进行适当补充，并随机抽取了其中几组数据对理论结果进行了数据模拟推测其的吸收< br>率。
在对问题三的分析中，对附件5模拟建立模型Ⅴ。利用上述CT系统得到的某未知
介质的接受信息还有结合问题一所得到的标定参数，通过建立相似图形等比例来确定几
个系统参数之间的 关系（CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、几何图形以及该吸
收率等信息）。借助数学算法和MA TLAB软件，利用图3所给的10个位置，进行了数据
模拟推测其的吸收率。
在对问题四的 分析中，借助数学算法和MATLAB软件，分析问题一中参数标定的精
度和稳定性，并借助问题一的条 件设计出新的模板、建立所对应的标定模型，以改进精
度和稳定性。


关键词：数字矩阵 拟合处理 傅里叶变换算法 平面配对 标定参数 吸收率
1



1.问题重述
CT(Computed Tomogr aphy)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸
收特性对生物组织和工程材料的样品进 行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一
种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂 直于探测器平面，每个探测器
单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定 不变，整个
发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线
能量，并经过 增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对 安装好的CT系统进
行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对 未
知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：
(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图
2所示，相应的数据文件见 附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称
为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见可 附件2。请根据这一模板及其接收信息，
确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间 的距离以及该CT系统使
用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得 到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标
定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几 何形状和吸收率等信息。另外，请
具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4 。
(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到
的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处
的吸收率。
(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应
的标定 模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

(1)-(4)中的所有数值结果均保留4 位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸
收率的数据文件（大小为256×256，格式同附 件1，文件名分别为和
）


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图1. CT系统示意图 图2. 模板示意图（单位：mm） 图3. 10个位置示意图



2．问题分析
问题一：
本题 的误差主要在于工业CT系统的安装过程。CT系统安装时往往存在误差，从而
影响成像质量，而且探测 器自身的缺陷，载物台自身的不足等，通通都会成为CT系统
测量的不完全的因素，所以在分析问题时， 模型是假定处于理想状态下去根据数据以及
利用几何知识来实现CT系统参数标定。
问题二：
根据分析，载物台很有可能会是倾斜的，而载物台可以等效为探测器投影绕一个点
在竖直方向旋 转。由附录一可得知其图像，又由其图像可以推测其误差来源，从而可以
进行修正，最终可以给出准确的 CT系统参数标定。
问题三：
根据分析，载物台是倾斜的，探测器也可能本身有缺陷，此为 机械误差，而载物台
可以等效为探测器投影绕一个点在竖直方向旋转。由附录可得知其图像，又由其图像 可
以推测其误差来源，从而可以进行修正，最终可以给出准确的CT系统参数标定。





3．模型假设
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
假设数据来源真实有效，能够反映实际情况。
各组数据在相同条件下进行，无其他人为因素影响。

题中有并未明确给出但又容易得到的数据，若可测量，不列入考虑范围。

在数据的采集过程当中，我们认为CT系统的自身参数不会变化。

在此实验中光的衍射现象不明显，在假定光以直线传播的情况下进行数据处理。
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4．符号说明
符号
错
误！未找到
引用源。
定义及说明
原点到该射线的垂直距离


错误！未
找到引用
源。错误！
未找到引
用源。








探测单元之间的距离
模板收到射线的相对长度
接收到信息的探测器的个数
圆的直径
椭圆的短轴
4

5． 建模过程


假设载物台在理想状态下是水平并与探测器无偏差，而且不考虑机械系数或各种问题的情况下，
利用 PROE建立起了一个模拟CT系统的仪器。




下图为利用附件一的数据以及MATLAB做成的附件1散点图像。
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图2


对比分析：其与图2的形状大致吻合
说明附件一数据基本无偏差，完成排差工作。





2、对附件2模拟实体立体化建立模型Ⅱ
下图为利用附件2的数据以及MATLAB做成的附件2立体图像。
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模型求解
（1） 运用数学几何知识作图，通过建立相似图形（模拟CT系统运行）等比例来确定几
个系统参数之间的关系 。
①CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置
[1]平行投影（傅里叶变换算法）【2】
将模板看成图像函数f(x,y),穿过f(x,y)的一条线称为射线，f(x,y) 沿某一射线的 积
分称为射线积分,而射线积分的集合则组成投影。若从坐标原点向射线作一垂线,以此垂
线作 为新坐标的一个轴t,并构成新坐标系(t, s)坐标仅是(x,y)坐标系旋转θ角的结果,
二者存在下列变换关系:




因此射线积分可表达为：



其中射线方程可写为

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其中t是原点到该射线的垂直距离。
傅里叶变换进行二维图像的重建
设错误！未找到引用源。为一二维图像，其傅里叶变换为



设该图像在x轴的投影为：


现求其傅里叶变换




通过傅里叶变换，此公式为傅里叶变换的中心剖面。
当满足

时，只需对投影的傅里叶变换进行反变换，就可以得
到重建的模型。



② 计算探测单元之间的距离
当512个探测器处于模板的正上方时，可以利用公式



S：探测单元之间的距离 L：模板收到射线的相对长度
n：接收到信息的探测器的个数
从模板示意图可以分析出，当512个探测器处于模板正上方 时，某一个探测器必定有
最大吸收率，通过excel的新建规则，可以找出最大的吸收率，位置是EU 223，数值为
141.7794。
即EU这一列的数据为我们假设模板处于正上方时512 个探测器的吸收信息，通过统
计可知，模板椭圆的短轴对应的探测器个数为29，模板圆的直径对应的探 测器的个数
为109。
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(1)
(3)
(2)

联立上述3式得s=0.2755mm。




① CT系统使用的X射线的180个方向
通过MATLAB 对数据进行模拟图像



< br>（2）在对建立的模型Ⅰ进行改进的基础上，利用对称投影相关法还有数学中的傅里
叶变换算法等 比对图2模板示意图进行平面配对。

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