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期末复习 ( 一)
直角三角形
各个击破
命题点 1
【例 1】
直角三角形的性质与判定
在 Rt △ ABC中，∠ BAC＝ 90°， AD⊥ BC于点 D.
1
(1) 如图 1，若∠ C＝ 30°，求证： BD＝ BC；
4
(2) 如图 2，若∠ C＝ 45°，写出点 D到△ ABC的三个顶点 A， B， C的距离的关系；
(3) 在 (2) 的基础上， 如果点 M，N分别在线段 AB，AC上移动， 在移动过程中保持
AN＝ BM，请判断△ DMN的形状，
(1) 先由同角的余角相等可以得到∠
BAD＝∠ C＝30°，再根据直角三角形中
30°角所对的直角边等
BD与 AB，AB 与 BC
请证明你的结论．
【思路点拨】
于斜边的一半，可以在
的关系，从而得出
Rt △ ABD和 Rt △ ABC中分别找出
BD与 BC的数量关系；
(2) 根据∠ C＝ 45°，∠ BAC＝ 90°，可得△ ABC是等腰直角三角形．又
AD⊥ BC，由等腰三角形三线合一的性质可知，
D为直角三角形斜边的中点．再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出
给的条件证明△ BDM≌△ ADN，从而得到
【解答】 (1) 证明：∵∠ BAC＝90°， AD⊥ BC，
∴∠ B＋∠ C＝ 90°，∠ B＋∠ BAD＝90° .
∴∠ BAD＝∠ C＝30° .
1
∴在 Rt△ ABD中， BD＝
2
AB，
1
在 Rt△ ABC中， AB＝
2
BC.
1
∴ BD＝
4
BC.
(2) ∵∠ C＝ 45°，∠ BAC＝ 90°，
∴△ ABC是等腰直角三角形．
AD， BD，DC之间的关系； (3) 先由题目所
MD＝ DN及∠ BDM＝∠ ADN，进而可得∠ MDN＝∠ ADB＝ 90°.
∵ AD⊥BC，
∴ D 为 BC的中
点． ∴ AD＝BD＝
CD.
(3) △ DMN是等腰直角三角形．
证明：∵ BM＝ AN，∠ B＝∠ DAN＝ 45°， BD＝AD，
∴△ BDM≌△ ADN(SAS)．
∴ MD＝ND，∠ BDM＝∠ ADN.
∴∠ MDN＝∠ ADB＝ 90° .
∴△ MDN是等腰直角三角形．
【方法归纳】 (1) 由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系； (2) 由角来判断一个三角形是直角三角
形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．
1．如图，△ ABC中， CD⊥ AB 于 D，且 E 是 AC的中点．若
AD＝ 6， DE＝ 5，则 CD的长等于 (D)
1
A． 5
B． 6
C． 7
D． 8
3∶3∶ 6，则这个三角形是等腰直角三角形．
2．一个三角形的三个角的度数之比是
3．在△ ABC中， AB＝ AC，∠ A＝120°， AB的垂直平分线交 BC于点 D，交 AB于点 E. 如果 DE＝ 1 ，求 BC的长．
解：连接
AD.
∵ DE垂直平分
AB，
∴ AD＝BD，∠ DEB＝ 90° .
∵ AB＝AC，∠ BAC＝ 120°，
∴∠ B＝∠ C＝ 30° .
在 Rt△ BDE中，∠ B＝ 30°，
1
∴ DE＝
2
BD.∴ BD＝ 2.
∵ AD＝BD，∴∠ BAD＝∠ B.
∴∠ DAC＝∠ BAC－∠ BAD＝120°－ 30°＝ 90° .
又∵∠ C＝ 30°，
1
∴ AD＝
2
CD.∴ CD＝ 2AD＝ 2BD＝ 4.
∴ BC＝CD＋ BD＝4＋ 2＝ 6.
勾股定理及其逆定理
命题点 2
【例 2】
如图，四边形
ABCD， AB＝ AD＝ 2， BC＝3， CD＝1，∠ A＝90°，求∠ ADC的度数．
【思路点拨】
首先在 Rt △ BAD中，利用勾股定理求出 BD的长，而由题意可知，△
ABD为等腰直角三角形，则
∠ ADB＝ 45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD是直角三角形，即可求出答
案．【解答】 连接 BD.
在 Rt△ BAD中，∵ AB＝ AD＝ 2，
2
2
2
2
2
2
2
∴∠ ADB＝ 45°， BD＝ AD＋ AB ＝ 2
2.
在△ BCD中，
DB
＋CD＝ (2
∴△ BCD是直角三角形．
∴∠ BDC＝ 90° .
【方法归纳】
2) ＋1
＝ 9＝CB ，
∴∠ ADC＝∠ ADB＋∠ BDC＝ 45°＋ 90°＝ 135° .
当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．
4．已知三组数据：① 2，3， 4；② 3，4，5；③ 1，
三角形的有 (D)
3，2. 分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角
A．② B ．①② C ．①③ D ．②③
5．如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”
，这条中线为“有趣
2
中线”．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°，较短的一条直角边 BC＝ 3，且△ ABC是“有趣三角形” ，求△ ABC的“有趣
中线”的长．
解：“有趣中线”有三种情况：
①若“有趣中线”为斜边
AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半，不合题意；
②若“有趣中线”为
BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；
③若“有趣中线”为另一直角边
AC上的中线 BD，如图所示， BC＝
3，
设 BD＝ 2x ，则 CD＝ x.
2
2
2
2
2
2
在 Rt△ CBD中，根据勾股定理，得
BD＝ BC＋ CD，即 (2x)
＝ (
3) ＋ x ，
解得 x＝ 1.
则△ ABC的“有趣中线”的长等于
2.
命题点 3
直角三角形全等的判定
【例 3】
如图，已知
AB⊥ BD， CD⊥BD， AD＝CB，求证： AD∥ BC.
【思路点拨】
要证 AD∥ BC，可证∠ ADB＝∠ CBD，这由 Rt △ ADB≌ Rt △CBD(HL)可以得到．
【解答】
∵ AB⊥ BD， CD⊥ BD，
∴∠ ABD＝∠ CDB＝ 90° .
在 Rt△ ADB和 Rt△ CBD中，
AD＝ CB， BD＝ DB，
∴ Rt △ADB≌ Rt△
CBD(HL)． ∴∠ ADB＝∠ CBD.
∴ AD∥BC.
【方法归纳】
用 HL 证明三角形全等时，需指明直角三角形．
6．如图，已知
AB＝ AD，∠ ABC＝∠ ADC＝90°， EF 过点 C， BE⊥ EF 于 E， DF⊥EF 于 F， BE＝DF. 求证：
△ DCF.
证明：连接
AC.
在 Rt△ ABC中和 Rt △ ADC中，
AB＝AD，
AC＝AC，
∴ Rt △ABC≌ Rt△ ADC(HL)．
∴ BC＝DC.
∵ BE⊥EF， DF⊥EF，
∴∠ E＝∠ F＝ 90° .
在 Rt△ BCE和 Rt△ DCF中，
BC＝ DC，
BE＝ DF，
△ BCE≌ Rt
3
Rt
∴ Rt △BCE≌ Rt△ DCF(HL)．
命题点 4 角平分线的性质与判定
【例 4】
如图，在△ ABC中，∠ ABC的平分线与∠
ACB的外角的平分线交于
P 点，
PD⊥AC于 D，PH⊥ BA 于 H，求证：
AP平分∠ HAD.
【思路点拨】
的判定可得结论．
过 P 作 PF⊥ BE于 F，根据角平分线的性质可得
PH＝ PF， PF＝ PD，有 PD＝ PH，再根据角平分线
【解答】
过 P作 PF⊥BE于 F.
∵ BP平分∠ ABC， PH⊥ BA， PF⊥
BE， ∴ PH＝PF.
∵ CP平分∠ ACE， PD⊥ AC， PF⊥
BE， ∴ PF＝PD.
∴ PD＝PH.
又 PH⊥ BA， PD⊥ AC，
∴ AP平分∠ HAD.
【方法归纳】 此题主要考查角平分线定理及逆定理；准 确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关
的问题常常用到作垂线之类的辅助线．
7．如图， OC是∠ AOB的平分线， P 是 OC上一点， PD⊥ OA于点 D，PE⊥ OB于点 E，若点 Q是 OC上与点 O， P 不
重合
的另一点，则以下结论中，不一定成立的是
(D)
A． PD＝ PE
B． OC⊥ DE且 OC平分 DE
C． QO平分∠ DQE
D．△ DEQ是等边三角形
8．( 株洲中考 ) 如图，在 Rt△ ABC中，∠ C＝90°， BD是△ ABC的一条角平分线．点 O， E，F 分别在 BD，BC，AC上，
且四边形 OECF是正方形．
(1) 求证：点 O在∠ BAC的平分线上；
(2) 若 AC＝ 5， BC＝ 12，求 OE的长．
解： (1) 证明：过点
O作 OM⊥ AB 于点 M.
∵四边形
OECF是正方形，
∴ OE＝OF， OE⊥BC， OF⊥AC.
∵ BD是∠ ABC的平分线，
∴ OE＝OM.
∴ OF＝OM.
又∵ OM⊥ AB， OF⊥ AC，
∴ AO是∠ BAC的平分线，即点
O在∠ BAC的平分线上．
(2) 连接 OC.
∵在 Rt△ ABC中， AC＝ 5， BC＝ 12，
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本文更新与2020-11-24 19:20，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/461396.html