伊恩萨默海尔德(完整版)高考数学冲刺专题复习之——求数列通项公式(教师版).doc

2020年11月24日发(作者：窦皇后)






高考数学（文）冲刺复习之——求数列的通项公式


一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法 .这种方法适用于已知
数列类型的题目，此题目是必须掌握的基本运算，一般有“知二求一”的方程思想 .
例题

等差数列
a
n
是递增数列，前 n 项和为
S
n
，且
a
1

,a
3

, a
9
成等比数列，
S
5
a
5
2
．求数列
a
n
的通项公式 .









训练

【 2017 新课标 1 文】记
S
n

为等比数列
a
n
的前 n 项和，已知 S =2， S =-6 ．

2 3






（ 1）求
a
n
的通项公式；（
2）求 S
n
，并判断 S
n+1
， S
n
， S
n+2
是否成等差数列
【答案】（ 1）
a
n

( 2)
n

；（

2），证明见解析．
【解析】
．
S
n



















2
3
( 1)
n
2
n 1
3
（ 2）由（ 1）可得
S
n
a
1
(1 q
n
)

1 q
4
( 1)
n
2
3

2
( 1)
n
2
n 1
．
3

3

由于
S
n 2
S
n 1







n 3
2
n 2
3
2[
2
3

( 1)
n
2
n 1

]2S
n

，
3
故
S
n 1

，
S
n

，
S
n 2

成等差数列．
【考点】等比数列
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、
等比数列问题既




















二、利用
S
n

和
a
n

的关系求
{ a
n
}
的通项公式
解法：巧用 a
n


S
1
，n 1
S
n
.使用是根据具体条件和结论，正用、逆用或同
S
n 1
， n
2







时使用，对等式退（进）一步作差 .
1、形如 f(S
n
,n)=0 型

可利用公式：
a
n



























2
n
例题 1 已知数列 { a
n
的前

n 2
n
n 项和为（1）S =2n

-n；（ 2）S =n +n+1 ，分别求数列 { a }
}

的通项公式；
S
n
S
n 1
S
1


直接求出通项
a
n

；（讨论
a
1

能否被吸收 ）
( n
(n 1)

2)
例题 2 已知数列
{ a
n

}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
公式；
2a
n
( 1)
n
, n

1.
求数列
{ a
n
}
的通项
变式 1 数列
{ a
n
}
的前 n 项和
S
n
满足：
S
n




2a
n
3n
（n

N
+
），求数列
{ a
n

}
的通项
公式











n
；
变式 2 已知数列
a
n

的前 n 项和为 S
n
, a
1

1
且 S
n
S
n 1
a
n 1
1
，数列 b
n
满足
b
1

且
3b
n
b
n 1
n (n 2且 n
119
4

4 2

N )
．（１）求
a
n

的通项公式；（２）求证：










数列 b
n
a
n
为等比数列；









变式 3 若前 n 项和为 S
n
且满足














a =

n
2S
n
2
2S
n

且
1
，求数列的通项公式；
( n 2) ,
a =1

1

2、形如 f(S
n
,S
n+1
)=0 型









方法（ i ）. 看成 {S
n
的递推公式，求
n
的通项公式，再由
求出
S
n

}
n
.

S

（ii ）. （逆用）利用 a
n
n n-1 转化成关于
n
和
n-1 的关系式再求。
例题 1 已知数列 { a
n
的首项
=S -S

} a =1

常数且 t>0，n=2,3,4 ）

1
，前

项和
n

S



a


n
满足关系式
a






n

n-1

（


为
3tS -(2t+3)S =3t

t




（1）求证：数列 {a
n


是等比数列；

（ ）设数列


n
的公比为




，作数列



n
，
}

f (
2 { a }


f(t)


{b

}


使 b
1
=1
，
b
n

1
) ( n 2, n N )
，求
n
b














b
n

1

变式 1：若前 n 项和为 S
n
方程 x
2
-a
n
x-a
n
=0 有一根为 S
n
-1,
n

项公式













1,2,3

求数列的通
n
；
变式 2：已知下列各数列
a
n
的前
n
项和
S
n
的公式，求 a
n
的通项公式；


n
3
n
2

2

（1）
S

；（2）
S
n
n a
n
n 2 , a
1
1
，

n
2
时，

a
n






2
1

【解析】（1）当
n
1
时，
a
1
S
1


2







S
n
S
n 1
2 ?3
n 1
，












a
n

1, n 1

2? 3
n 1
,
n

（ 2）当
n 2
时，
a
n



2
S
n
S
n 1
n
2
a
n
a
n

n 1 a
n 1

，

即
n
2
1 a
n
n 1 a
n 1
,

n 1
n 1



a
n 1






a
n
a
n


a
1
a
n 1
a
4
aa
?
n 1
?
n
2
?...?
?
3
?
2
aa
n 2n
3
aa
n
1
?
n
2n 3
?
n 1
2
?...? ?
3 2 1
?
5 4 3
2
n n 1
a
3
a
2
2
a
1
n 1 n
a
n















2
n n 1


，又
a
1
1
，
a
n
n N
1 1 1

n n 1
3、形如 f(S
n

利用 a
n n

,a )=0
n-1
n

转化为

型


n n-1



型或

n

n-1
型
=S -S



例题 数列 { a


g(a ,a )=0

n


S ，已知 a
1
h(S ,S )=0


n
} 的前 n 项和记为
1, a
n 1
列 {






s
n
n

n 2
n
S
n
(n 1,2,3 ).证明：数
} 是等比数列 .


















变式：数列


的各项均为正数， 是
的前 n 项和，对于任意
，总有
成等差数列

①求数列



的通项公式 ；








②设数列


的前 n 项和为
，且 ，求证：对任意实数
和
，总有










点评：利用公式 a
n

S
1
L L L L L L L n 1
S
n
S
n 1
L L L L L n 2
求解时，要注意对进行分类讨论，

但若能合写时一定要合并 .另外，此种方法的原理适合所有多写一项， 逐项对齐，两
式相减的题目



四、由递推式求数列通项法
对于递推式确定的数列的求解，通常可以通过地推公式 的变换，转化为等
差数列或等比数列，有时也用到特殊的转化方法与特殊数列；

类型 1：

a
n 1
a
n
f (n)
，
f (n)
为可求和的式子

.







解法：把原递推公式转化为







a
n 1
a
n
f (n)
，利用累加法（逐差相加法） 、迭代
法或左边构造
s
n

来求解
例题 1 已知数列
{ a
n

}
，求
a
n
（ 1）
a
1
2, a
n 1
a
n
n
1
，求通项
a
n
（ 2） a
1
1








, a
n 1
a
n
1
，
n
2

n 2

例题 2 已知数列 { a
n
} 满足
a
1

1, a
n









3
n 1

a
n 1
(n 2)
,

证明
a
n

3
n
1
2





＝1.求 { a
n
的通项公式；
变式 设数列 { a
n
满足
1
1
－
＝0 且 1－a
n
＋
1

1－a
n
}
a }

1
类型 2
a
n 1
f (n)a
n

，
f ( n)
为可求乘积的式子
a
解法：把原递推公式转化为


n 1

a
n

f (n)
，利用累乘法（逐商相乘法）或迭代法


求解
例题 1
已知数列
{ a
n
}
满足
a
1




2 n
, a
n 1
a
n

，求
a
n

.
3
n 1


例题 2 已知数列
{ a
n

}
满足
a
1

3, a
n 1
3n










1
a
n
(n 1)
，求
a
n

.

3n 2
变式 1 （全国 I）已知数列
{ a
n

}
满足
a
1

1,a
n

a
1

2a
2

3a
3

L (n 1)a
n 1
(n 2),
求
{ a
n
}
的通
项
a
n

；












变 式 2
(n 1)a
n
2
1
（ 全 国 I ） 设 数 列
{ a
n

}
是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 ， 且
na
n
2
a
n 1
a
n 1
0(n 1,2,3L )
，求它的通项公式
a
n

；





























































变式 3 （2017 年四川·全国卷三）


























































































































































































































































































































































































类型
3


a
n 1
pa
n
f (n)
，
p 为非零常数，
f (n)
一般有下列三种情况：
pa
n
q( p 1, pq 0)
1、
f (n)
当为常数时，即
a
n 1
点评：求递推式形如
a
n 1



pa
n
q
（
p 、
q 为常数）的数列通项，是近年高考考
得很多的一种题型 .
解法一（待定系数—累加法） ：用待定系数法构造辅助数列或构造一个新数列，
可转化为特殊数列
{ a
n
k}
的形式求解

.一般地，形如
a
n
的递推式均可通过待定系数法对常数
较系数可得
pk k q
，即
k
1
pa
n
q( p 1, pq
0)
k)
与原式比
p 分解法：设
a
n 1
k
p(a
n
q
，从而利用换元法构造等比数列
{ a
n
k}

p 1








解法二（ 特征 根法 ）：设已知数列
{ a
n
}
的项满足
a
1
c 0, c
1,
求这个数列的通项公式。 作出一个方程
x cx
a
1
当 x
0

b, a
n 1
ca
n
d ,
则当
x
0
d
,

其中
a
1

时，
a
n
为常数列，即
a
n
a
1
时 ,
a
n

b
n

x
0

，其中
{ b
n
}
是以

c

为公比的等比数列，

即
b
n
b
1
c
n 1
, b
1
a
1
x
0

.











例题 1
已知数列
{ a
n
}
中
a
1
1,a
n 1
2a
n
3
，求
a
n

.

例题 2 数列
{ a
n

}
满足
a
1

1,3a
n 1
a
n
7

0
，求数列
{ a
n
}
的通项公式
变式 已知数列








a
n


} 满足，


＝

’

＝

2, a
n
＋ 2
aa
nn 1

*

a
1
1 a
2

2
, n N


. 求

a
n


} 的通项公
式。
变式 1：（2006，福建）

已知数列
{ a
n
}
满足
a
1
1,a
n 1
2a
n
1(n N *)


（Ⅰ）求数列
{ a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
{ b
n
}
满足
4
b
1

1
4
b
2
（Ⅲ）证明 :



1

L 4
b
n
1
( a
n
1)
b
n
(n N*)
,证明

:
{b
n
}
是等差数列；
n
2
1
a
1
3
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n 1
n
( n
N *)
2



（ I）解：∵ a
n+1
=2 a
n
+1（ n∈ N）,
∴a
n+1
+1=2(a
n
+1),
∴ | a
n
+1| 是以 a
1
+1=2 为首项， 2 为公比的等比数列。
∴ a
n
+1=2，
既 a
n
=2
n
－1(n∈N) 。
b1
－
1b2
－
2bn
－
1bn
（ II）证法一：∵ 4
4 4 =(a+1)
，
2

n ①
n
∵

∴ 2[(b
1

4
k1+k2+ ?+kn
=2
nk

,

+b +

+b )-n]=nb,
2[(b
1
+b
2
+
+b
n+1
)-(n+1)]=(n+1)b
n+1
② -①,得 2(b
n+1
-1)=(n+1)b
n+1
-nb,
即 (n-1)b
n+1

②
③ n
-nb +2=0.
nb
n+2
=(n+1)b
n+1
+2=0.
④ -③，得 nb
n+2
-2nb
n+1-
nb
n
=0,

④













即 b
n+2
-2b
n+1
+b=0, ∴
b
n-2
-b
n+1
=b
n
(n∈N
*
),
∴ {b
n
} 是等差数列 . 证
法二：同证法一，得
(n-1)b
n+1
=nb
n
+2=0
令 n=1，得 b
1
=2.
设 b
2
=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 b
n
=2+(n-1)d.
(1)当 n=1,得 b
1
=2.
(2)假设当 n=k(k≥ 2)时， b
1
=2+(k-1)d, 那么
k 2 k
( 2 (k 1)d)
2
k 1 k 1 k 1 k 1
这就是说，当 n=k+1 时，等式也成立
.

*
n∈N 都成立 .
根据 (1)和 (2)，可知 b
n
=2(n-1)d 对任
何 ∵ b
n+1
-b
n
=d, ∴{b
n
} 是等差数列 .
k+1
b =b 2 (( 1) 1)d .




(3)证明：∵






a
k
a



2
k


1






2
k


1
k 1
2
k 1

1

2( 2
k



1

＜
, k
1,2,..., n,

1

2


)












2
























∴



a
1
a
2


a
n
a
2

a
3



a
n

＜
.

2



n 1


∵








a
k

a

2
k


1




k 1

2

k 1


1



1
2


1



2(2


k 1
1)





1

1
2
·
k
k
3 2 2








≥
2
1
1
(
1
),k=1,2, ,n,
2 3
2
k





变 式 2 ： 设 正 数 列
a
0

, a
1

, a
2

L , a
n

,L
满 足 a
n
a
n 2












aa


n 1n 2
2a
n 1
(n 2) 且

a
0
a
1
1
，求
{ a
n
}
的通项公式；

2、 当 f (n) 为
n
的一次式时，可转化为特殊数列

{ a
n
An B}
的形式求解，也可
以同除以
p
n 1

或
q
n 1

转化为前面的类型求解

；


解法：利用待定系数法，再利用换元法构造等比数列
{ a
n
设
b
n
a
n
An B
，即构造

a
n 1
+A
An B}
n 1 B
p a
n
+An
B
例题
设数列
{ a
n
}
：
a
1
4, a
n
3a
n 1
2n 1,(n
2)
，求
a
n

；











变 式 ： 在 数 列 {a
n

}

中 ，
a
1



3
2


,
a
1
4,2a
n
— a
n 1
=6n 3,
求 通 项


a .( a
n

n
9 (














1
)
n
2



6n 9
.)

说明：若 f (n) 为 n 的二次式，则可设 b
n













a
n
An
2
Bn C ，利用待定系数法进

而求解

3、 当 f (n) q
n
时，则递推公式为

a
n 1
pa
n

q
n

（其中

p

、

q

均为常数）
解法：一般地，（1）在原递推公式两边同除以

p
n 1
（累加法）或
q
n 1
（构造等比

数列）转化为前面的类型求解
（ 2）待定系数法：
n+1

n

n λq 则
n
1


则 c
n+1 n
=pc








设 a
n+1
n

=p(a +
是等比数列，可求
+λq


).

a
n+1
=pa + (p-q)q
n 通项。
n
λ

，

p q

，
a
c
令
n
1

n
n
p q


q


{c }

{c }






范例 已知数列
{ a
n
}
满足
a
1
1,a
n
3
n
2a
n 1
(n 2)
，求
a
n

；

变式 1 （1）已知数列
{ a
n

}
中， a
1






5
,a
n 1
1
a
n
( )
n 1
，求
a
n
；
2
2
n

．求数列
b
n

；
1

6 3
（2）在数列 a
n
中，
a
1

1
，
a
n 1
2a
n
（3）设 a
0
为常数，且 2a
n
=3
n-1
-3a
n-1

(n

N )
．求通项

a
n
.






变式 2 在数列
a
n

中
，a
1
（1）求证：数列
{







2, a
n 1
a
n
n 1
(2 ) 2
n
(n N ,
0)
a
n
n

( )
n
}
是等差数列；（2）求数列
a
n
的前 n 项和
S
n
；

2
变式 3（全国）






设数列

4
a
n
的前 n 项和 S
n
a
n
3


1
3 2


n 1

2
3 , n 1,2,3,L

（ 1） 求首项
a
1
与通项
a
n
；

n

n
（ 2） 设 T
n




















T
i
2 , n 1,2,3,L
,证明：

S
n

i 1
3
2
类型 4


a
n 2
pa
n 1
qa
n

型（其中

p,q

均为常数）。
（二阶递推如果在高考中出现，可以不用特征根法， 因为不是高考要求，一定
能转化成前面一阶递推的形式，只要有整体和转化思想。 ）

解法一（分解系数法）递推式





a
n 2
pa
n 1

qa
n

中含相邻三项，因而考虑每相邻
两项的组合， 即把中间一项
a
n 1

的系数分解成两个数， 适当组合，换元法构造等
比数列
{ a
n
a
n
1
}
。

解法二（待定系数法） ：先把原递推公式转化为
a
n 2
sa
n 1
t (a
n 1
其中 s,t 满足

sa
n
)
s t
st
p
，高考中常用此法 ；














q
解法二（特征根法）：对于由递推公式
a
n 2

a
，方程
x
2
px
q 0
，叫做数列

a

n

pa
n 1
qa
n
, a
1
,a
2
给出的数列

的特征方程。若
x
1
, x
2
是特征方程的两
n

个根，①当
x
1
x
2
时，数列 a 的通项为
a
n

n
Ax
1
n 1
Bx
2
n

1
，其中 A、B 由

a
1

, a
2
决定（即把
a
1
, a
2
, x
1
, x
2

和

n=1,2，代入
a
n
Ax
1
n 1
Bx
2
n 1

，得到关于
A 、B 的方程组）；②当
x
1

x
2
时，数列 a
n
的通项为
a
n
B 由
a
1
, a
2
( A
Bn) x
1
n 1

，其中

A

、
( A
Bn) x
1
n 1

，得到



决定（即把
a
1
, a
2
, x
1
, x
2

和

n=1,2，代入
a
n

关于 A 、B 的方程组）。
例题 已知数列

2
a
n
中， a
1
1, a
2
2,a
n 2
3
a
1
n 1
3
a
n
，求
a
n
。
















变式 1、数列
a
n
中，
a
1

1, a
2
2,3a
n 2


解：由
3a
n 2
2a
n
1

a
n

得
a
n
2


2a
n
1
a
n

，求数列
a
n

的通项公式。
2
3

a
n 1

比较系数得
k
h


若取
k

1, h

1

2
， kh


，解得
k
1, h

3

3

2
1
1

a
n
,
设
a
n 2
ka
n 1
h(a
n 1
ka
n
)

3

1
，则有 a
n
a
n 1
1

或
k
3



1 , h
3





1











3

∴
{ a
n 1
a
n
}
是以

1
(a
n
1

a
n
)

3




2

为公比，以
a
2
a
1
3











2

1
1
为首项的等比数列


















∴
a
n 1
a
n


(
1
)

n 1

3

由逐差法可得
a
n



(a
n

a
n
1
)
3
(a
n 1
a
n
)


)

(a
2
a
1
)

a
1









=(




1
n 2
)

(



1
n 3















3

1
2
1

( ) (
) 1 1

3
3










1 (

1
)
n 1
31
n 1

=

3

1=
1 (

)

4

3

1

1

3


1


7 3
(
1
)

n 1
4 4 3


说明：若本题中取
k

1




, h
1
，则有

a
n 2

3

a
n

3

a
n 1




a
n
1
3

1

3

1
1

a

n 1

1


为常数列 ,

a
1

n 1
3
n
a
1






a
2


1

a
故可转化为例
。
1
13
2
3 3










7
a
n
即得
{ a
n 1
a
n
}
3

3
1
变式 2：（2006，福建）

已知数列 a


满足
a
1

1,a
2

3, a
n
2
3a
n

2a
n
(n

N )

n





（ 1） 证明：数列 a
n 1
a
n
是等比数列；
（ 2） 求数列 a
n
的通项公式；
（ 3） 若数列 b
n
满足
4
b
1

1
4
b
2

1

K 4
bn 1

(a
n

1)
b
n

(n N )
，证明 b
n
是等差数列。















变式 3：（四川）设数列的 a
n
前 n 项和为
S
n
，已知
ba
n

2
n
(b 1)S
n

，求

a
n

的
通项公式
类型 5
a
n 1


f (n)a
n
g(n) a
n
h(n)

型







解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
a
n 1
例题 已知数列
a
n
满足：
a
n










pa
n
q
。
a
n

1

3a
n 1

, a
1
1,
，求数列

a
n
的通项公式。
1

变式 1 （江西）
已知数列 a
n
满足： a
1


3

，且 a
n

3na
n 1







2a
n
1
2

1
(1)求数列 a
n
的通项公式；

（ ）证明：对于一切正整数 ，不等式
a
1
? a
2
?L L a
n
2 ?n!
2 n

n
(n 2,n N )
类型 6
a
n 1
pa
n

qa
n 1
a
n
( pq
0)型

解法： 两端除以
a
n 1
a
n

得：


1
a
n
p 1
a
n 1

q

















例题 已知数列 {
a
n
} 满足
a
1

1, n 2
时，
a
n 1
a
n
2a
n 1
a
n

，求通项公式
a
n

。
变式变式 4：在数列 { a
n
中，
1
＝

n n
－
1
＋
n
－
n
－
1
＝
≥ ， ∈ ．
a 1,3a a a a

0(n
2 n
N)

}

1
，求数列 { b
n
的
试判断数列
1
是否为等差数列； 设
n
满足

n
(1) {
a
} (2)
{ b }

b ＝
a }




n

n

前 n 项为 S
n
；










类型 7a
n 1

型（不动点法）
pa
n
ra
n
h
q







解法：（特征根法）如果数列
{ a
n
}
满足下列条件：已知
a
1

的值且对于

n

N ，都


有 a
n 1

pa
n
q
、 、 、

ra
n
h
（其中 p
q r h
均为常数， 且
ph qr , r

h
0, a
1
r
），那么，

可作特征方程
x

px

q
,①当特征方程无根时，则数列为周期数列；②当特征

rx h
1
方程有且仅有一根
x
0

时

,则
是等差数列； ③当特征方程有两个相异的根
a
n

x
0


x
1

、
x
2

时，则
a
n
x
1

是等比数列。













a
n
x
2

例题 1
已知数列
{ a
n
}
满足性质：对于

n

N, a
n 1
a
n
2a
n

项公式 .

4
, 且
a
1
3,
求
{ a
n
}
的通
3









13a
n
例题 2 已知数列
{ a
n

}
满足：对于
n

N ,
都有
a
n 1

a
n
25
.
3

（ 1）若
a
1

5,
求
a
n

;
（2）若
a
1
值时，无穷数列
{ a
n
}
不存在？

解：作特征方程
x

3,
求
a
n

（3）若
a
1
6,
求
a
n

（

4）当
a
1

取哪些

13x
x 3
25
.
变形得
x
2
10 x 25 0,








特征方程有两个相同的特征根
(1) ∵
a
1
(2) ∵
a
1
∴
b
n
1

5. 依定理 2 的第（ 1）部分解答 .

5;



5,
a
1

3, a
1

.
对于
n

N ,
都有
a
n
.






(n


















a
1



(n 1)

p r

r

1
3 5
1)
1
13 1 5
1
2
n 1
,

8




令
b
n
0
，得

n 5 . 故数列
{ a
n

}
从第 5 项开始都不存在，


n ≤ ，
当
4 n


N 时，
a
n
1
b
n
5n 17
n 5
a
1
.
.
(3)

∵
a
1
6,5,
∴ ∴