找星星高考数学复习3 (12)

2020年11月24日发(作者：沈柏年)
第4节　数列求和
最新考纲　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数 列、非
等比数列求和的几种常见方法.
知 识 梳 理
1.求数列的前n项和的方法< br>(1)公式法
①等差数列的前n项和公式
S
n
＝＝na
1＋d.
②等比数列的前n项和公式
(ⅰ)当q＝1时，S
n
＝na
1
；
(ⅱ)当q≠1时，S
n
＝＝.
(2)分组转化法
把 数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(3)裂项相消法
把 数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写 和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减法
主要用于一个等差 数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比
数列求和公式的推导过程的推广.
( 6)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a
n
＝(－1)
n
f(n)
类型，可采用两项合并求解.
例如，S
n< br>＝100
2
－99
2
＋98
2
－97
2＋…＋2
2
－1
2
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1 )
＝5 050.
2.常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3 )＝－.
[常用结论与微点提醒]
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.1
2
＋2
2
＋…＋n
2
＝.
3.应用裂项相消法时，应注意消项 的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面
剩倒数第几项.
诊 断 自 测
1.思考辨 析(在括号内打“√”或“×”)
(1)如果数列{a
n
}为等比数列，且公比不等于 1，则其前n项和S
n
＝.(　　)
(2)当n≥2时，＝(－).(　　)
(3)求S
n
＝a＋2a
2
＋3a
3
＋…＋na
n
时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位
相减法求得.(　　)
(4)若数列a
1
，a
2
－a
1
，…，a
n
－a
n
－
1
是首项为1，公比为3的等比数列，则数
列{a
n
} 的通项公式是a
n
＝.(　　)
解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨 论求解.
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.(2017·咸阳二模)已知数 列{a
n
}满足a
n
＋
1
－a
n
＝2，a
1
＝－5，则|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
6< br>|
＝(　　)
A.9 B.15 C.18 D. 30
解析　由题意知{a
n
}是以2为公差的等差数列，又a
1
＝－ 5，所以|a
1
|＋|a
2
|＋…
＋|a
6
|＝| －5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
答案　C
3.若 数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝2
n
＋2n－1，则数列 {a
n
}的前n项和为(　　)
A.2
n
＋n
2
－ 1 B.2
n< br>＋
1
＋n
2
－1
C.2
n
＋
1＋n
2
－2 D.2
n
＋n－2
解析　S
n
＝＋＝2
n
＋
1
－2＋n
2
.
答案　C
4.(教材习题改编)数列{a
n
}中，a
n
＝，若{a
n
}的前n项和S
n
＝， 则n等于________.
解析　a
n
＝＝－，
S
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝ .
令＝，得n＝2 018.
答案　2 018
5.(2018·河北“五个一”名校 联盟质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，a
n
＝f(0)＋f＋…＋f
＋f(1) (n∈N
+
)，则数列{a
n
}的通项公式为________.
解 析　由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f＋f＝4，所以2a
n＝(f(0)
＋f(1))＋＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即a
n＝2(n＋1).
答案　a
n
＝2(n＋1)
考点一　公式法求和
【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的前n
项和为T
n
，a
1
＝ －1，b
1
＝1，a
2
＋b
2
＝2.
(1)若a< br>3
＋b
3
＝5，求{b
n
}的通项公式；
(2)若T
3
＝21，求S
3
.
解　(1)设{a
n
}公差为 d，{b
n
}公比为q，
由题意得
解得或(舍去)，
故{b
n
}的通项公式为b
n
＝2
n
－
1
.
(2 )由已知得解得或
∴当q＝4，d＝－1时，S
3
＝－6；
当q＝－5，d＝ 8时，S
3
＝21.
规律方法　1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.
2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.
【训练1】 (2 017·北京卷)已知等差数列{a
n
}和等比数列{b
n
}满足a
1
＝b
1
＝1，a
2
＋a
4
＝10，b
2
b
4
＝a
5
.
(1)求{a
n
}的通项公 式；
(2)求和：b
1
＋b
3
＋b
5
＋…＋b2n
－
1
.
解　(1)设{a
n
}的公差为d，由a< br>1
＝1，a
2
＋a
4
＝10得1＋d＋1＋3d＝10，所以 d
＝2，所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n－1.
(2 )由(1)知a
5
＝9.设{b
n
}的公比为q，由b
1
＝ 1，b
2
·b
4
＝a
5
得qq
3
＝9，所 以q
2
＝3，
所以{b
2n
－
1
}是以b
1
＝1为首项，q 2＝q
2
＝3为公比的等比数列，
所以b
1＋b
3
＋b
5
＋…＋b
2n
－
1
＝＝ .
考点二　分组转化法求和
【例2】 (2018·济南质量预测)已知数列{a
n< br>}的前n项和S
n
＝，n∈N
+
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)设b
n
＝2a
n
＋(－1)
n
a
n
，求数列{b
n
}的前2n项和.
解　(1)当n ＝1时，a
1
＝S
1
＝1；
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝－＝n.
a
1
也 满足a
n
＝n，故数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n.< br>(2)由(1)知a
n
＝n，故b
n
＝2
n
＋(－1 )
n
n.
记数列{b
n
}的前2n项和为T
2n
，
则T
2n
＝(2
1
＋2
2
＋…＋2
2n< br>)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
记A＝2
1
＋2
2
＋ …＋2
2n
，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝2
2n
＋
1
－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.< br>故数列{b
n
}的前2n项和T
2n
＝A＋B＝2
2n
＋
1
＋n－2.
规律方法　1.若数列{c
n
}的通项公式为c< br>n
＝a
n
±b
n
，且{a
n
}，{b
n
}为等差或等比数
列，可采用分组求和法求数列{c
n
}的前n项和.< br>2.若数列{c
n
}的通项公式为c
n
＝其中数列{a
n}，{b
n
}是等比数列或等差数列，可
采用分组求和法求{a
n
}的前n项和.
【训练2】
＝，S
6
＝63.
(1)求{an
}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N
+
，b
n
是 log
2
a
n
和log
2
a
n
＋
1
的等差中项，求数列{(－1)
n
b}的前2n
项和.
解　(1) 设数列{a
n
}的公比为q.
由已知，有－＝，
(2016·天津卷)已知{ a
n
}是等比数列，前n项和为S
n
(n∈N
+
)，且－< br>解得q＝2或q＝－1.
又由S
6
＝a
1
·＝63，知q≠－ 1，
所以a
1
·＝63，得a
1
＝1.
所以a
n< br>＝2
n
－
1
.
(2)由题意，得b
n
＝(l og
2
a
n
＋log
2
a
n
＋
1
)＝(log
2
2
n
－
1
＋log
22
n
)＝n－，
即{b
n
}是首项为，公差为1的等差数列.< br>设数列{(－1)
n
b}的前n项和为T
n
，则
T
2 n
＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝b
1
＋b
2
＋b
3
＋b
4
＋…＋b
2n
－
1
＋b
2n
＝＝2n
2
.
考点三　裂项相消法求和
【例3】 (2018·上饶模拟)已知数列{a
n
}为等差数列，其中a
2
＋a
3
＝8，a
5
＝3a
2
.
(1)求数列{a
n< br>}的通项公式；
(2)记b
n
＝，设{b
n
}的前n项和为S
n
.求最小的正整数n，使得S
n
>.
解　(1)设等差数列{a< br>n
}的公差为d，
依题意有解得
从而{a
n
}的通项公式为a
n
＝2n－1，n∈N
+
.
(2)因为b
n
＝＝－ ，
所以S
n
＝＋＋…＋
＝1－，令1－>，
解得n>1 009，故取n＝1 010.
规律方法　1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第 一项和
最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
2.将通项公式裂项后，有时候需要调 整前面的系数，使裂开的两项之差和系数
之积与原通项公式相等.
【训练3】 设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，已知S
3
＝a
7
，a
8
－2a
3
＝3.
(1)求a
n
；
( 2)设b
n
＝，求数列{b
n
}的前n项和为T
n
.
解　(1)设数列{a
n
}的公差为d，
由题意得
解得a
1
＝3，d＝2，