于凤九新课标版备战高考数学二轮复习难点2.4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案理

2020年11月24日发(作者：袁鹤声)
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
数列的通项公式与求 和问题等综合问题
数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前
n
项和公式，等差、等比数列
.数列求和问题是的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累 乘、构造等差、等比数列法、取倒数等
数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列 、等比数列的求和主要是运用公式；而
非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化 归法、错位相减法、裂项相消法、分组
求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位 相减等转化为等差或等比数列的求和问
题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中 档题．
一、数列的通项公式
数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之 一，在高考中，等差数列和等比数列
的通项公式，前
n
项和公式以及它们的性质是必考 内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档
题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三 角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的
热点.
1.由数列的前几项归纳数列的 通项公式
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想 ，由不完
全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用
例1. 根 据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式
（1）-1,7，-13,19，…；
（2） 0.8,0.88,0.888，…；
(－1)或(－1)
nn
＋1
来调整．
11
（3）－
,,
24
5132961
,,,,...；
8163264
思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手：
(1)观察项 与项之间的关系；
(2)符号与绝对值分别考虑；
(3)规律不明显，适当变形．
马鸣 风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
－
2－32－32－32－32－3
，原数列化为－，…，∴
1
，
2
，－
3
，
4
22222
1234
2－3
n
a
n
＝(－1)·
n
.
2
(2)相邻项的变化特征；(3 )拆项
n
点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．
2.由数列的递推关系求通项< br>若一个数列首项确定，其余各项用
的递推公式．
由递推关系求数列的通项的基本思想是转 化，常用的方法：
a
n
与
a
n－
1
的关系式表示( 如
a
n
＝2
a
n－
1
＋1，(
n
>1)，则这个关系式称为数列
(1)
a
n
＋1
－
a
n
＝
f
(
n
)型，采用叠加法．
a
n＋1
(2)＝
f
(
n
)型，采用叠乘法．
a
n
(3)
a
n
＋1
＝
pa
n
＋
q
(
p
≠0，
p
≠1)型，转化为等比数列解决．
例2.对于数列
（1 ）求数列
a
n
,b
n
a
1
b
1
1 ,a
n1
n1a
n
n,b
n1
3b
n
2, nN
.
a
n
、
b
n
的通项公式；
2a< br>n
nb
n
n
1
S
n1
（2）令
c< br>n
，求数列
c
n
的前
n
项和
T
n< br>.
S
n
a
n
n
化简得
a
n
2
思路分析：（1）由
n1
1
a
n
2n1
，利用 累加法求得
a
n
n
，对
b
n1
3b
n2
利用配凑法求得通项公式为
b
n
2g3
n1
1
；（2）化简
c
n
15
4
2n5
4g3
n12n
2
n
n1
n1
3
n1
2ng3
.
，这是等差数列
除以等比数列，故用错位相减求和法求得前
n
项和为
T
n
（2）
c
n
2n
2
n
n1
2 n
g
3
n1
T
n
n1
,
3
20
3
3
1
3
4
2
3
...
n
3
n2
n1
n1
, ①
3
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
则
3T
n< br>2g3
3
0
3
3
0
4
3
1
...
n
3
n3
n1
3
n2
，②
②-①得
2T
n
6
1
1
3
1
2
3
1
...
n2
3
n1
n1
3
1
1
n1
3
6
1
1
3
n1
n1
3
15
2
2n5
n1
2
g
3
T
n
152 n5
.
n1
44
g
3
.对于
a
n
来说，
点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，
化简题目给定的含有
通项公式，对 于
考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法
S
n
的表达式后，得到1
a
n1
a
n
2n1
，这个是累加法的标准形式，故用 累加法求其
c
n
来说，由于它是等差数
b
n
来说，由于b
n
3b
n
2
，则采用配凑法求其通项公式，对于
. 列除以等比数列，故用错位相减求和法求和
3.由
S
n
与
a
n
的关系求通项
a
n
数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要 注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特
S
n
殊性．S
n
与< br>a
n
的关系为：
a
n
＝
（n＝1），
Sn
－S
n－1
（n≥2）.
例3. 【安徽省淮南市2018届第四次联 考】已已知数列
a
n
,
b
n
,
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和，且满足
nN
*
a
2
4b
1
,S
n
2a
n
2,
n b
n1
n1b
n
n
3
n
2
.
（ 1）求数列
（2）求
a
n
的通项公式；
b
n
的通项 公式
2a
n
2
的关系得
当n2时，S
n1
思路分析 ：（1）由
S
n
2a
n1
2
相减得
a
n< br>1
2a
n1
,a
n
2.n
n
2
检验
n1
时，
a
1
nn1
得
b
n1
2
适合上式即得数列
b
n
n
a
n
的通项公式（2）< br>Qnb
n
n1b
n
n
2
n
，两边同时除以< br>3
n1
n
累加法即得解.
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》》》》》》》》 》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
点评：已知数列前
n
项和与第
n
项关系，求数列通项公式，常用
a
n
S
1
,n1
S
n
S
n1
,n2
将所给条件化为关于
前
n
项和的递推关系或是关于第
列通项公式求出数列的通项公式，
n
项的递推关 系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数
否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 注意：利用
a
n
＝
S
n
－
S
n
－ 1
求通
项时，注意
n
≥2这一前提条件，易忽略验证
n
＝1 致误，当
n
＝1时，
a
1
若适合通项，则
n
＝1的 情况应并入
n
≥2时的通项；否则
a
n
应利用分段函数的形式表示．
4.等差数列前
n
项和的最值
等差数列的单调性与
（1）若
当
当
a
1
S
n
的最大或最小的关系
a
n< br>中有
a
n
.
d0
，则等差数列
S
n1(n
a
n1
d0
，即
a
n
a
n1，所以数列为单调递增；
a
1
a
1
a
2
0时，有
S
n
2)
，所以
S
n
的最小值为
S
.
k
，使
a
1
a
2
a
3< br>La
k
0a
k1
0
时，有则一定存在某一自然数
a< br>3
La
k
0a
k1
La
n
或
La< br>n
，则
S
n
的最小值为
S
k
.
a
n1
（2）若
当
d0
，则等差数列
a
n
中 有
a
n
d0
，即
a
n
a
3
La< br>k
a
n1
，所以数列为单调递减；
0a
k1
a
1
a
2
0
时，有则一定存在某一自然数
a
3
La
k
0a
k1
k
，使a
1
a
2
La
n
或
a
1
当
La
n
，则
S
n
的最大值为
S
k
.
a
1
0
时，有< br>S
n
S
n1
(n2)
，所以
S
n
的 最大值为
S
.
t
，
a
n1
例4.数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
12S
n
1
（
nN*
）．
（1）
t
为何 值时，数列
a
n
是等比数列？
b
n
的前
n
项和
T
n
有最大值，且
T
3
15
，又
a< br>1
b
1
，
a
2
b
2
，
a< br>3
b
3
（2）在（1）的条件下，若等差数列
等比数列，求
T
n
．
思路分析：（1）先由
a
n1
2S
n
1
求出
a
n1
3a
n
.再利用数列
a
n< br>为等比数列，可得
a
2
3a
1
，就可以求
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》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
出
t< br>的值；（2）先利用
T
3
15
求出
b
2
5< br>，再利用公差把
b
1
和
b
3
表示出来，代人
a
1
b
1
,a
2
b
2
,a
3b
3
成等
比数列，求出公差即可求
T
n
.
a
n
≥0
a
n
≤0
点评：求等差数列前
n
项 和的最值常用的方法;(1)先求
a
n
，再利用
a
n
＋1< br>≤0
或
a
n
＋1
≥0
求出其正负转折项，
最 后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前
n
项和的最值．②利 用等差数列
的前
n
项和
S
n
＝
An
2＋
Bn
(
A
，
B
为常数)为二次函数，根据二次函数的 性质求最值．
二数列的求和
数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法 求和、裂项相消法求和与并项法求和，
题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在 解答题中以考查错位相减法和裂项相消
法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清 项数求和．
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等 比数列求和．
常见类型及方法
(1)
a
n
＝
kn
＋
b
，利用等差数列前
n
项和公式直接求解；
(2)
a
n
＝
a
·
q
n
－1
，利用等比数列前
n
项和公式直接求解；
(3)
a
n
＝
b
n
±
c
n
，数列{
b
n
}，{
c
n
} 是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{
a
n
}的前
n
项和．< br>(4)
a
n
＝
b
n
·
c
n
，数列{
b
n
}，{
c
n
}分别是等比数列和等差数列， 采用错位相减法求和
1．公式求法
直接利用等差数列、等比数列的前
n
项和公 式求和．
(1)等差数列的前
n
项和公式：S
n（a
1
＋a
n
）
(n1)
n
＝
2
＝
na
n< br>1
2
d
；
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