梦你【最新整理】初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

2020年11月24日发(作者：房庆恺)
第12讲
考点·方法·破译
与相交有关概念及平行线的判定
.
.
.
几对对顶角？一共
D
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相 交与平行
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示 它们
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系
经典·考题· 赏析
【例1】如图，三条直线
构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻 补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线
有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
.
2对对顶角；
6对对顶角；
12对对顶角.
对顶角.
邻补角
C
P
A
F
Q R
B
D
E
⑴∠ARC的对顶角是
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直 线相交于一点时，共有
当三条直线相交于一点时，共有
当四条直线相交于一点时，共有
【例２】如图所示，点
∠AOC
．
⑴求∠EOF的度数；
⑵写出∠BOE的余 角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
角的数量关系，把它们 转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC
＝
1
2
1
2
∠AOC
BOC
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝
AOC
∴∠EOC＝
1
2
∠BOC＋
1
2
1
2
∠
∠
1
2
A O B
F
C
E
.
C
F
B
AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪
A
E
边的反向延长线.
是 .
问：当有100条直线相交于一点时共有
O是直线AB 上一点，OE、OF分别平分∠BOC、
定义，以及各
BOC，∠FOC
AOC＝又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠< br>AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】
01．如图，已知直线
A．20°B．
AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数 是（
40°C．50°D．80°
）
E
D
1
4
A
C
O
A
3 2
02．（杭州）已知∠1＝∠2 ＝∠3＝62°，则
（第1题图）
【例３】如图，直线
⑵画出表示点
（第2题 图）
∠4＝ .
l
1
、l
2
相交于 点O，A、B分别是l
1
、l
2
上的点，试用三角尺完成下列作图：
A
⑴经过点A画直线l
2
的垂线.
B到直线l
1
的垂线段.
O
B
l
1
l
2
1
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段
【变式题组】
.
）01． P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线 l的距离为（
A．4cmB．5cmC．不大于4cmD．不小于6cm
02如图，一辆汽车在 直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置 时距离村庄
P、Q的位置.
M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在
的路上距离村庄
【例４】如图，直线
N越来越近，而距离村庄
的路上距离M村越来越近..在
Ｍ
越来越远.
据，也可以作为该图
D
AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
AOF＝90°，OF⊥AB
．
A
E
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依
形具备的性质，由图可得：∠
O
C
E
F
B
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB 于O，直线CD过点O，∠EOD︰
AOC、∠AOE的度数.
∠EOB＝1︰3，求∠
A
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AO C，OC平分∠AOD
．
⑴求∠AOC的度数；
⑵试说明OD与AB的位置关系.
D O
C
B
D
C
B
03．如图，已知 AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE
请作出∠CBE的对顶角，并求其度数.
A
O
A
︰∠ABD＝1︰2，
B
D
A
E
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2：
∠1和∠3：
4
∠1和∠6：
A
D
2
5
E
3
6
B
2
F
1
C
∠2和∠6：
∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个< br>角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线
（）
A．4对B．8对C．12对D．16对< br>AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同
A
C
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
H
1
6
2
3
4
丙
．∠3
和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得 哪两条直线平行？并说明理由
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同
B
角，有“”即有内错角.
.
.
O
C
旁内
A
?
D
B
6 7
C
2
4
旁内角
B
A
1
3
5
F
03．如图，按各组角的位置
判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同
E
Ｇ
B
D
旁内角共有
3
4
7
8
2
1
6
5
甲
5
3
2
4
1
乙
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据 内错角相等，两直线平行
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补， 两直线平行
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行
【变式题 组】
01．如图，推理填空
⑴∵∠A＝∠
∴AC∥ED（
⑵∵∠C＝∠
∴AC∥ED（
⑶∵∠A＝∠
∴AB∥DF（
（已知）
）
（已知）
）
B
C
D
.
（已知）
）
E
F
A
.
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
3
解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）< br>又∵EF平分∠DEC（已知）
∴
∴
∴AB∥DE（
（
（）
）
）
B
D F
C
又∵∠1＝∠2（已知）
A
1
E
2
03．如图，已 知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD
．
∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD< br>．
A B
E
C
A
E
D
CD平分 ∠ACB，∠EBF04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，
＝∠EFB，求证：C D∥EF.
D
B
C
F
31°. 【例７】如图⑴，平面内 有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于
l
4
l
6
l
5
l
3
l
2
l
6
l
5
l
4
l
3
l
2
l
1
l1
【解法
证明：假设图⑵中的
这与一周角等于
【变式题组】
01 ．平面内有
图⑴图⑵
.
31°
指导】如图⑵，我们可以
将所有的直 线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵
12个角中的每一个角都不小于
则12×3 1°＝372°＞360°
360°矛盾
31°所以这12个角中至少有一个角小于
1 8条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．在同一平面内有
是 .
2010条直线a
1
,a
2
,…，a
2010
,如果a
1
⊥a2
,a
2
∥a
3
，a
3
⊥a
4
，a
4
∥a
5
……那么a
1
与a
2010
的位置关系
S
n
表示过这几个点中的任意03．已知n（n＞2）个点P
1
，P
2
，P
3
…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设
两个点所作的所有直线的条数，显然：
演练巩固·反馈提高
S
2
＝1 ，S
3
＝3，S
4
＝6，∴S
5
＝10…则Sn＝ .
4
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（
A．α的余 角只有∠B
C．∠ACF是α的余角
E
A
α
A
M
F
C
F
N
第2题图
D
B．α的邻补角是∠DAC
D．α与∠ACF互补
E
）
02．如图，已知直线
A
B
B
D
第4题图
C
同位角为（
A．∠AMF
D．∠END
）AB、CD
被直线EF所截，则∠EMB的
B．∠BMF
C．∠ENC
03．下列语句中正确的是
B
D
C
第1 题图
）（
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（
①AB⊥AC②A D与AC互相垂直
线段BA是点B到AC的距离
A．0 B．2 C．4
③点C到A B的垂线段是线段
⑥AD＞BD
D．6
P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5 cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距
D．不大于4cm
，则∠AOB＋∠DOC＝ .
c
C
D
B
G
B
A
第6题图
07．如图，矩形
O
1
H
第7题图第9题图
F
C
b
A
E
D
a
2
1
3
4
6
5
7
8
）
⑤垂AB④线段AB的长度是点B到AC的距离
05．点A、B、C是 直线l上的三点，点
离是（
A．4cm
）
B．5cmC．小于4cm
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合）
ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72 °，则∠AEG＝ .
a
1
∥a
2
,a
2
⊥a
3
,a
3
∥a4,…则a
1
a∥b的条件 的序号是 .
.
a
10
.（a
1
与a
10
不重合）
1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠ 2＋∠3＝180°，④a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠
08．在同一平面内，若直线
09．如图所示，直线
∠4＝∠7，其中能判断
11．如图，已知
10．在同 一平面内两条直线的位置关系有
BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC< br>．
试说明AB∥CD？
A
B
E
C
1
E
（已知）
2
C D
5
12．如图，已知BE平分 ∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与
CD的位置关系如何？
A
D
B
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝
F
∴AC∥ ED（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴AB∥FD
．
14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC
．
F
E
A
D
B
第14题图
C
培优升级·奥赛 检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10 条直线最多能把平面分成（
A．60 B．55 C．50 D．45
D
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6
A
最多还有（）个交点.
E
A．35 B．40 C．45 D．55
04 ．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
__________________交点.
C
F
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两
B
画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队
证明你的正确性.
a b
06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）
）部分.
个点之外，这些直线
边，现在要在图纸上
画出这条平行线，并
6
A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条 直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？
08．平面上 有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一 个正方体的2个面上画了两条对角线AB、
C
AC，那么两条对角线的夹
角等于（）
A．60°B．75°C．90°
A
D．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任 意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
B
第13讲平行线的性质及其应用< br>考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的 计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题
中的灵活应用.
经典·考 题·赏析
【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠
【 解法指导】
D
C的度数.
C
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
A
B
两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图 形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵AB∥CDBC∥AD
∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)
∴∠A＝∠ C∵∠A＝38°∴∠C＝38°
【变式题组】
01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延 长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）
A．155°B．50°C．45°D．25 °
E
F
C
A
3
2
D
2
l
1
α
1
A B
B
C
1
l
2
D
E
（第1题图）
（第2题图）（第3题图）
02．（安徽）如图，直线l
1 < br>∥l
2
,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）
A
．
5 0°B
．
55°C
．
60°D
．
65°
03．如图 ，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.
【 例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠
BCG的度 数.
A
B
G
C
D
E F
7
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清< br>角的位置.
【解】∵AB∥CD∥EF
＝45°∴∠BCD＝60°
∴∠BC G＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知
E
A
D
B
C
B
O
E
C
A
P
（第3题图）
N
D
AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________
A
B
M
∴∠B＝∠BCD∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等
∴∠ GCF＝90°（垂直定理）
)又∵∠B＝60°∠EFC
∴∠GCD＝90°－45°＝45 °∠FCD＝45°又∵GC⊥CF
F
C
（第1题图）
（第2题图）02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC
、
∠ACB， DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________
03．如图，已知AB∥MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2 ，∠C＝∠D
．
求证：∠A＝∠F.
【解法指导】
因果转化，综合运用
逆向思维：要证明∠
.
A＝∠F，即要证明DF∥AC
．
要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，
即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC
＝180°即要证明DB∥EC
．
要证明DB∥EC即要
证明∠1＝∠3.
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠
∠C＝180°（两直线平行，同旁内 角互补）∵∠C＝∠D
直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）
【变式题组】< br>01．如图，已知
E
F
C
F
A
1
2
D
3
B
1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等?两直线平 行）∴∠DBC＋
∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁内角，互补两
D
A C∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FG
2
3
1
B
C
A
E
G
（第1题图）
A
D
E
3
1
F
2
C
（第2题图）
α
O
θ
O
/
02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B
．求证：∠AED＝∠ACB
03．如图，两平面镜
、
β的夹角θα，入射光线AO 平行
O′Ｂ平行
B
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线
于α，则角θ等于_________.
B
β
8
【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.
E
A
1
3
求证：AD平分∠BAC
．
【解 法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图
∠1＝∠3）
证明：∵EG⊥BC，AD⊥BC ∴ ∠EGC＝∠ADC＝90°
（垂直定义）∴EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）
∴AD 平分∠BAC（角平分线定义）
【变式题组】
01．如图，若AE⊥BC于E，∠1＝∠2，求 证：DC⊥BC
．
.（题目中的：
B
∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD（两条直线平行，内错角相等）
G D
C
D
A
1
2
B E
C
02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E,DF⊥AB于F, AC∥ED，CE平分∠ACB
．
求证：∠EDF＝∠BDF.
A
E
F
B
D
C
3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的平分
数.
A
N
M
E
C
线. CM⊥CN，求：∠BCM的度
B
D
【例５】已知，如图，AB∥EF，求证：∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或 构造两组“互补”的角
过点C作CD∥AB即把已知条件
【证明】：过点C作CD∥AB
(两直线平行，同旁内角互补
∵CD∥AB
.
A
D
B
1
2
E
F
C
是关键.
ABC＝180°
（平行
9
AB∥EF联系起来，这
∴∠1＋∠
) 又∵AB∥EF，∴CD∥EF
于同 一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE＝180°(两直线平行，
同旁内角互补) ∴∠ABC＋∠ 1＋∠2＋∠CFE＝180°＋180°＝360°
即∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°【变式题组】
01．如图，已知，AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠
任意一个，说明 你探究的结论的正确性.
⑵____________________________
⑷____________________________
P
AB
A
P
P
C
⑴
D
C
⑵
D
C
⑶
D
B
P
C
⑷
AB
结论：⑴___________ _________________
⑶____________________________
A
B
AP C和∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出
D
【例６】如图，已知，AB∥C D，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
∠α＋∠γ＋∠ψ
－
∠β＝180°【解法指导】基本图形
A
α
＋β
P
∠P＝α
E
善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路
B
1
2
A
α
β
B
H
【解】过点E作EH∥AB
．
过点Fβ 作FG∥AB
．
∵AB∥EH
CD
FG∥AB ∴EH∥FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3
ψ
又∵AB∥CD
线 的两直线平行）∴∠
【变式题组】
01．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠ γ的关系是（
B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
）
A．∠β＝∠α＋∠γ
ψ＋ ∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠
C
∠1
－
∠2＝∠4＋ψ ＝180°
.
3
F
γ
4
∴∠α＝∠1（两直线平行， 内错角相等）又∵
∴FG∥CD（平行于同一条直
α＋∠γ＋∠ψ
－
∠β＝∠ 1＋∠3＋∠4
－
ψ
－
D
－
∠γC．∠α＋∠β＝90°< br>02．如图，已知，
A
α
C
－
∠αD．∠β＋∠γ＝90°< br>F，∠E＝140°，求∠BFD的度数. AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点
B
A
B
E
γ
D
F
A
BC
. A′
////
β
【例７】如图，平移三角形ABC，设点A移动到点A，画出平移 后的三角形
C
D
E
F
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定 ，找，移，连.
⑴定：确定平移的方向和距离
⑵找：找出图形的关键点.
.
l
.
B′
///
⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点
⑷连: 按原图形顺次连接对应点
【解】①连接AA
后的三角形A
BC
.
【变式题组】
01．如图，把四边形
A
D
ABCD按箭头所指的方向平移
///
/
A
C′
则点B就
就得到平移
/
.
C的对应点C.连接AB
，B
C
，C
A
/
//////
②过点B作A A的平行线l ③在l截取BB＝AA,
B
是的B对应点，用同样的方法作出点
C
.21cm，作出平移后的图形
10
B
C
02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A
BC
的位置，若平移距
A
A
/
///
离为3, 求△ABC与△A
BC
的重叠部分的面积
///
.
C
C
/
B B
/
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角 形沿着
面积.（单位：厘米）
A
D
BC方向平移BE的距离，就得到此图形，求阴影部分的
8
3
B
演练巩固
01．如图，由
5
E
C
F
A < br>）
30°
西
B．南偏东60°
D．北偏西60°
北
反 馈提高
A测B得方向是（
A．南偏东30°
C．北偏西30°
B
东
南
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平 行于同一条直线的两直线
垂直.其中的真命题的有（
A．1个B．2个
）
C． 3个D．4个
）
30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐
60°，第二次向左拐
130°
120°
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与 原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（
A．第一次向左拐
C．第一次向左拐
A．对 顶角相等
⑴—⑷]
P
.
P
30°，第二次向右拐
50°， 第二次向右拐
）
B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补
130°D．第一次 向左拐
04．下列命题中，正确的是（
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直 线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图
.
P
.
P
.
⑴
⑵
）
⑶
⑷
从图中可知，小敏画平行线的依据有（平行.
A．①②B．②③C．③④
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相 等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线
D．①④
A地测得B地的走向是南偏东 52°.现A、B两地要同时开工，06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从
11 若干天后，公路准确对接，则
A．北偏东52°
B地所修公路的走向应该是（
C． 西偏北52°
）
D．北偏西38°B．南偏东52°
07．下列几种运动中属于平移的 有（）
；③升降机上下做机械①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略 车轮的转动）
运动；④足球场上足球的运动.
A．1种B．2种C．3种D．4种
0 8．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格 ）
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）
10．如图，AD∥BC，AB∥CD，A E⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段
的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.
D
A
D
A
D
A
D
B
E
A
C
B
E
B
B
C
E
C
C
B E
D
C E
11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的 角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.
12 BC
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝15 0°，第三个拐弯处∠C，这时道路
. CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由
湖
E
120°
D
14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中
成的角∠BFD的度数吗？
1 50°
B
C
E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F
点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形
A
1
2
F
C
E
3
4
B
D
15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.
A
B
1
3
E
F
4
2
培优升级·奥赛检测< br>01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在
合的小三角形共有
（）个
A处看到足球从
25个，那么在△ABC内由△
C
A
D
E
F
P
D
△ABC内能与△DEF完成重
DEF平移得到的三角 形共有
02．如图，一足球运动员在球场上点
运动员立即从
B点沿着BO方向匀速滚来 ，
球.若足球滚动的速度与该运
及最快能截住足球的位置.
高AA
1
＝2cm. 将AC平
___________,平移的方
的边长均为
C
1< br>a，竖直方
A处以匀速直线奔跑前去拦截足
B
C
C
动员奔 跑的速度相同，请标出运动员的平移方向
（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）
03．如图， 长方体的长
向是___________.
04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向
向的边长为
个单位得到
AB＝4cm，宽BC＝3cm，
移到A
1< br>C
1
的位置上时，平移的距离是
.
A
D
A
b）；将线段A
1
A
2
向右平移1个
O
闭图形A
1
A
2
B
2
B
1
[即阴影部分如图⑴];将折B
1
B
2
B
3
，得到封闭图形A
1
A
2
.
D
B
1
.
B
单位得到B
1
B
2
，得到封
现A
1
A
2
A
3
向右平移1
A
3
B
3
B
2
B
1
[即阴影部分
A
1
B
1
13
如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移
出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S
1
＝________, S
2
＝________, S
3
＝________.
1个单位 ），
A
1
草地
草地
A
2
B
2
请你 猜想空白部分草地面积是
少？
⑴
⑵
A
3
B
3
⑶
⑷
A
4
B
4
⑸
A
2
A
3
B
1
B
2
B
3
⑶联想与探究：如图⑷，在一矩 形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是
A
1
B
1
A
1
B
1
A
2
B
2
1个单位，从 而得到1个封闭图形，并画
多
05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时 针旋转
次后发现赛车回到出发点，则
A．720°
06．两条直线
A．90
07．如图，已知
a
、
b互相平行，直线
B．1620
α°角为（）
C．144°B．108°或144°
α°（0°＜α°＜180°），被称为一 次操作，若
D．720°或144°
）
5
a上顺次有10个点A
1< br>、A
2
、…、A
10
，直线b上顺次有10个点B
1
、B
2
、…、B
9
，
.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的 交点个数是（
C．6480 D．2006
将a上每一点与b上每一点相连可得线段
AB∥CD，∠B＝100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF. 求∠BEG和∠DEG.
B
100°
A
G
F
D
E
C
08．如图，AB∥CD ，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三等分∠AEC
．
问：EF与EG中有没 有与AB平行的直
线？为什么？
A
F
B
E
G
C09．如图，已知直线
⑵若平行移动
值.
⑶在平行移动
由.
C
F
AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在 ，说明理
E
B
D
CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上， 且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.
AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变 化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比
⑴求∠EOB的度数；
14
OA
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这
请说明理由. 11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线
5条直线两两相交所成的角中，至少有一个 角不超过36°,
AC分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这
A
B
n 个小正方
形的周长之和为多少？
D
12．如图将面积为a的小正方形和面积为
22
C
b的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
F
A
第06讲
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
实数
E
B
若
x
＝
a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：
a的平方根为
3
2
C
D
a的平方根为x
＝
±
a
，其中x
＝
a
叫做a的算术平方根．
a的立方根为x
＝
3若x
＝
a，则x叫做a的立方根．记为：
a
．
2．无限不循环小 数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表
示为分数< br>p
q
（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数 的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即
数），
a
>0，
a
2n
≥0（n为正整
a
≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求
2m-4 ＋3m-l
＝
0，5m
＝
5，m
＝
l．
【变式题组 】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是
02．已知m是小于
__ __．
m的值．
2m-4与3m-l是同一个数的平方根，∴【解法指导】一个正数的平方根有 两个，并且这两个数互为相反数．∵
152
的最大整数，则m的平方根是____．
1 5
03．
9
的立方根是____．
x为64时，输出的y是____．04 ．如图，有一个数值转化器，当输入的
输入x
是无理数
取算术平方根输出y
是 有理数
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足
2a4b2a3b
2
4 2a
，则a＋b等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解法指导】若< br>a3b
2
有意义，∵a、b为非零实数，∴b
2
>0∴a
－< br>3≥0 a≥3
∵
2a4b2a3b
2
42a
∴
2 a4b2a3b
2
42a
，∴
b2a3b
2
0
．< br>∴
b20
a3
a3b
2
0
，∴
b2
，故选C．
【变式题组】
0l．在实数范围内，等式
2aa2b3
＝
0成立，则a
b
＝
____．
02．若
a9b3
2
0
，则
a
b
的平方根是____．
03．（天津）若x、y为实数， 且
x2y20
，则
x
2009
y
的值为（）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
04．已知x是实数，则
xx
x1
的值是( )
A．
1
1
B．
1
1
C．
1
1
D．无法确定
【例3】若a、b都为有理效，且满足
abb123
．求a＋b 的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的 和、差、积、商（除
数不为0）不一定是无理数．∵
abb123
，
∴
ab1
即
ab1
，∴
a13
12
b12
，
b23b
a＋b
＝
12 ＋13
＝
25．
∴a＋b的平方 根为：
ab255
．
【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理 数，且（
5
＋2）m＋(3
－
2
5
)n＋7
＝0求m、n．
16
02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（
1
23
）x＋（
1
32
）y-4-
＝
0，则x-y< br>＝
____．
【例4】若a为
17
-2的整数部分，b-1是9的平方 根，且
abba
，求a＋b的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，
17
-2
＝
整数部分＋小数部分．整数部分估算可得
数部分
＝
17
-2 -2
＝
17
-4．∵a
＝
2，b-1
＝
±3，∴b
＝
－2或4
∵
abba
．∴a＝
2，b
＝
4，即a＋b
＝
6．
【变式题组 】
01．若3＋
5
的小数部分是a，3-
5
的小数部分是b，则a＋ b的值为____．
02．
5
的整数部分为a，小数部分为b，则（
5
＋a）·b
＝
____．
演练巩固反馈提高
0l．下列说法正确的是( )
A．
－
2是(
－
2)
2
的算术平方根B．3是－9 的算术平方根
C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
02．设
a3，b
＝
－2，
c
5
2
，则a、b、c的大小关系是( )
A．a03．下列各组数中，互为 相反数的是( )
A．－9与81的平方根B．4与
3
64
C．4与
3
64
D．3与
9
????
04．在实数1.414，
2
，0.15
，5-
16
，，3.1
4
，
3
8
125
中无理数有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A．b>aB．
ab
C．－a＜bD．
－
b>a
06．现 有四个无理数
5
，
6
，
7
，
8
，其中在< br>2
＋1与
3
＋1之间的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2
07．设m是
9
的平方根，n
＝
3
．则m，n的 关系是( )
2，则小
17
A. m
＝
±nB.m
＝
nC .m
＝
－nD.
mn1和08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－
3
，点B关于点A的对称点 C，则点C所表示的数为( )
A．－2
3
B．－1
3
C．－2 ＋
3
D．l＋
3
3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的09．点A在 数轴上和原点相距
距离为____．
5
个单位，点B在数轴上和原点相距
10 ．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：
的和大于3，那么至少要选____个数．
1 ，
1
2
，
1
3
…，
1
19
，1
20
．如果从中选出若干个数，使它
11．对于任意不相等的两个数a、b，定 义一种运算※如下：a※b
＝
a
a
b
b
，如3※2
＝
32
32
＝
5
．那么12.※4
＝
____．< br>12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且
2
a<
7
＝
____．
a
≥
b
a
<
b，已知3*m
＝
36，则实数m＝____．
13．对实数a、b，定义运算“* ”，如下a*b
＝
ab
ab
2
14．设a是大于1的实数．若a，< br>序是____．
15.如图，直径为
的公共点为
a
3
2
，
2a1
3
在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为
－
1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周 后与数轴
P′，那么点P′所表示的数是____．
16．已知整数x、y满足
x＋2
y
＝
50
，求x、y．
17．已知2a-1的平方根是±3 ，3a＋b-1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏 ，如图有一圆心角为
在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，
60°，半径为1 个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形
(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．
18
19．若b
＝
3a15
＋
153a
＋3l，且a＋ 11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn-2）
的平方根与立方根．
20．若 x、y为实数，且（x-y＋1）
2
与
5x3y3
互为相反数，求
x
2
y
2
的值．
培优升级奥赛检测
01．（荆州市八年级数学 联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a-3，则a值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．0
02．（黄冈竞赛）代数式
x
＋
x1
＋
x 2
的最小值是( )
A．0 B．1＋
2
C．1 D．2
03． 代数式
53x
-2的最小值为____．
04．设a、b为有理数，且a、b满足等式 a
2
＋3b＋b
3
＝
21-5
3
，则a＋b
＝
____．
05．若
ab
＝
1，且3
a
＝4
b
，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．
06．已知实数a满 足
2009aa2010a
，则a- 2009
2
＝
_______ ．
m满足关系式
3x5y2mx3ymx199y199xy
，试确定m的值．
(3mn4)
19
＋
08．（全国联赛）若a、b满足
3a5b
＝
7，S
＝
2a3b
，求S的取值范围．
09．（北京市初二年级竞 赛试题）已知0a
1
30
a
2
30
a
3
30
a
28
30
a
29
30
18
，
求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．
10．（北京竞 赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋
x31a
，
x3
2
y1b
，求
2
2
xy
2
ab
的值．
20
第14讲平面直角坐标系（一）
考点．方法．破译
1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．
2．了解点与坐标的对应关系．
3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．
经典．考题 ．赏析
【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．
A(2，1)，B(1，2)，C(－1， 2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)
【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在 描点时要注意点的坐标的有序性．
【变式题组】
01．第三象限的点P(x，y)，满足|x| ＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．
02．在平面直角坐标系中， 如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.
03．指出下列各点 所在的象限或坐标轴．
A(－3，0)，B(－2，－
1
3
)，C(2，1
2
)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)
【例2】若点P(a ，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象 限
【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．
【变式题组】
01．若点G(a，2
－
a)是第二象限的点，则a的取值范围 是（）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2
02．如果点P(3 x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．
03．若点P(x，y) 满足xy＞0，则点P在第______________象限．
04．已知点P(2a－8，2－a) 是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．
【例３】已知A点与点B(－3，4)关 于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．
【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标( x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于
特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．
【变 式题组】
01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．
02． P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．
03．P(a，b)关于原点对 称的点的坐标为____________．
04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四 象限，则m的取值范围是____________．
y轴对称的点的坐标
21
05．如果点
Ｍ
(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称 的点在第______象限．
【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是___________ _．
【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4
【变式题组】
01．已知点P (3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P 到y轴的距离是点
到y轴的距离的________倍．
02．若x轴上的点
Ｐ
到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．
03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．
Q
04．若点(5－a，a－3)在一、三象 限的角平分线上，求a的值．
05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值， 并确定n的取值范围．
【例５】如图，平面直角坐标系中有
(1)它们的坐标分别是
A 、B两点．
_________；
y轴的直线上两点之间
___________，_ __________；
C、D的坐标．
A(x
1
，y
1
) ，B(x
2
，y
2
)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x
1
－x
2
|；若AB∥y，则
(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为
(3)求正方形的其他两个顶点
【解法指导】平行
|AB|＝|y
1
－y2
|
x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行
的距 离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：
，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3 )C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．
【变式题组】
01． 如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，
A、B、
说明，A、D两点
C、 D四点的坐标
____________．
边形ABCD，请根
标，你的答案是唯的___________坐标相等，请你依据图形写出
分别是_________、______ ___、____________、
02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画 出平行四
据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点
一的吗？
D的坐
03．已 知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．
【例6】平面直角坐标系，已知点
【解法指导】(1)三角形的面积＝
A(－3，－2 )，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．
1
2
×底×高．
规 则的图形割补成规则(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不
图形，然后计算其面积．则< br>【变式题组】
01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分
Ｓ
△
ABC
＝
Ｓ
△
ABD
＝
Ｓ
△
BC D
＝
1
2
·3·5－
1
2
·3·1＝6．
别为A(―3，―1)，B(1，
22
3)，C(2，－3)，△ABC的面积．
0 2．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．
03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y
D四点所组成的四 边形的面积为15，求D点的坐标．
轴上，且点A、B、C、
【例7】如图所示，在平面直角坐 标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形
A
2
B
2< br>C
2
D
2
……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形
【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数为
所以S
10
＝8×10＝ 80个．
【变式题组】
01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△
A
10
B
10
C
10
D
10
四条边上的整点共有S＝8n，
A
1
B
1
C
1
D
1
、
__________个．
OAB变换成△OA
1
B
1
，第二次将△OA
1
B
1
变换成△OA
2
B
2，第三次
2)，A
2
(4，2)，A
3
(8，
规律，按 此规律再
____________，B
4
得到三角形△
将△OA
2
B
2
变成△OA
3
B
3
．已知：A(1，2)，A
1
(2，
2)，B(2，0)，B
1
(4，0)，B
2(8，0)，B
3
(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找 出
将三角形△OA
3
B
3
变换成△OA
4
B
4
，则A
4
的坐标是
的坐标是_____________；
(2 )若按(1)题找到的规律将△
_____________．
【解法指导】由
的横坐 标乘以
AA
1
A
2
A
3
、BB
1
B
2
B
3
的坐标可知，每变换
B的横坐标乘以2，纵坐
OA B进行n次变换，
OA
n
B
n
，推测A
n
的坐标是 _____________，B
n
的坐标是
一次，顶点
标不变．
A
2，纵坐标不变，顶点
如图，已知A
1
(1，0)，A
2
( 1，1)，A
3
(－1，1)，A
4
(－1，－
1)…则点A
2010
的坐标为_______________．
演练巩固反馈提高
)
B．第二象限
D．第四象限
)
( )
D．第四象限
D．北纬26
，东经135
)
00
1)，A
5
(2，－
01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在(
A．第一象限
C．第三象限
A．(－2，7)
A．第一象限
A．六 楼6号
05．在坐标平面内有一点
02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标 是(
B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)
03．如果点A(a，b)，则点 B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是
B．第二象限
(
0
C．第三象限
)
C．文昌大道10号
04．下列数据不能确定物 体位置的是
B．北偏西40
P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是(
23 < br>A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上
MN∥x轴，则a＝______，b＝_____ _____；②若
06．已知点P(a，b)到x轴的距离为
07．已知平面直角坐标系内两点
08．如图，将边长为
2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是__ _____________．
M(5，a)，N(b，－2)，①若直线
直线MN∥y轴，则 a＝___________，b＝_________．
1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 010次，点P依次落在点P
1
，P
2
，P
3
，…，P2010
的位
置，则P
2010
的横坐标x
2010
＝ ___________?
09．按下列规律排列的一列数对，
A．(2，3)
－3)
11．点P位于x轴的下方，距
第n排，从左到右第
(2，1)，( 5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是
）
C．(－2，3) D．(－2 ，
______________?
10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（
B ．(2，－3)
y轴3个单位长度，距
m个数，则表示实数
x轴4个单位长度，则点
(n，m)表示
25的有序数对是
P的坐标是____________．
_ _____________．
12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对
13． 已知点A(－5，0)，B(3，0)，
(1)在y轴上找一点C，使之满足S
△
AB C
＝16，求点C的坐标；
(2)在平面直角坐标系内找一点
15．如图在平面直角坐 标系中
(1)求△ABC的面积；
C，使之满足S
△
ABC
＝16的 点C有多少个？这样的点有什么规律．
(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的___ _____________方向．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为
A(0，1)，B(2， 0)，C(2，1.5)
(2)如果在第二象限内有一点P(a，
1
2
)， 试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在(2)的条件下，是否存在一点
若不存在 ，请说明理由．
P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；24
16．如图所示，在直角坐标系
长度／秒得速度自
xOy中，四边形OAB C为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位
O→A→B→C→O运动，问何时S< br>△
Ｐ
BC
＝4？并求此时P点的坐标．
培优升级奥赛检测
N( a，b)在第_____________象限．01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点
02．若点A(6－5a，2a－1)．
(1)点A在第二象限，求a的取值范围；
(2)当a 为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；
(3)点A能否在坐标原点处？为什么？
03． 点P{－
1
2
，－[ －|1－
1
2
| ]}关于y轴对称 点的坐标是_____________．
a＋b＝__________．
________ 象限．
(－a＋b)
2010
04．已知点
Ａ
(2a＋3b，－2) 与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么
05．已知
ａ
＜０，那么点
Ｐ
(－a
－2，2－a)关于原点对称的点在第
06．已知点P
1
(a －1，5)在第一、三象限角平分线上，点
___________．
07．无论x为何实数值 ，点
2
P
2
(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则
＝
P(x＋1，x
－
1)都不在第_________象限?
P的坐标为______ ___．
A的坐标是__________．
B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．
08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点
10．若点A(2 x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点
11．已知线段
12．已知A (－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点
09．若点P(x，y)在第二象限 ，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．
AB平行于y轴，若点 A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．
13．如图，B(2， 4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．
25
(1)当D在OC上运动时，直线
请说明理由；
y
B C
BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，
D
A
－2
O
x
(2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△
1
矩形ABCO的面积？并求此时
ABD的面积等于
4
D点的坐标．
14．已知：A(a－
3
5
，2b＋
2
3
)，以A 点为原点建立平面直角坐标系．
(1)试确定a、b的值；
(2)若点B(2a－
7< br>5
，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值．
第15讲
考点?方法?破译
1．建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置
2．了解可以用不同 的方式确定物体的位置
3．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换
经典?考题?赏析
【例1】在平面直角坐标系中，将点
是 .
【解法指导】在平面直角 坐标系中，将点
－a,y），将点P（x,y）向上或向下平移
一句话：右、上作加，左、下作 减
【变式题组】
.
.
平面直角坐标系（二）
.
A（－ 2，3）先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后得到B点的坐标
P（x,y）向右或向左平移a个 单位，可以得到P’（x+a,y）或P’（x
b个单位长度，可以得到P’（x,y+b）或P’（x ,y－b）.
.即B点的坐标为（－4,5），所以B点的坐标为（－4,5）.
B的坐标是 .
，再向，而得到的.
B（a,－1），则ab＝ .
A
2
B
2
C
2
，求△A
2
B
2
C
2
三个顶点的
26
01．在平面直角坐标系中，将点A（5，－2）先向下平移3个单位，再向右平移2个单位得 到点
02. 在平面直角坐标系中，将点M（3，－4）平移到点N（－1,4），是经过了先向
3个单位，再向左平移2个单位长度后得到点
2个单位长度得到△
A（4,3）B（3,1） C（1,2）
03．点A（－5，－b）经过先向下平移
【例2】△ABC三个顶点坐标分别是
⑴将△ABC向右平移1个单位，得到△A
1
B
1
C
1，再向下平移
坐标.
⑵将△ABC三个顶点坐标的横坐标都减去
置上有什么关系 ？
⑶将△ABC三个顶点坐标的纵坐标都加上
置上有什么关系？
【解法指导】平移后得 到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同
解：⑴A
2
(5,1)B
2< br>（4，－1）C
2
（2,0）；
⑵△A
3
B
3
C
3
与△ABC大小相等，形状相同，△
个单位得到的.
【变式题目】< br>01.如图将三角形向右平移
个顶点的坐标是（
C（1,7），（2,2）（3,5）< br>02.将正方形向下平移
2个单位长度，再向上平移
）
B（1,7），（0,2 ）（4,5）
D（1,7），（2,2）（3,3）
5个单位长度，所得到的顶点坐
移 前该正方形的
3个单位长度，则平移后三
A
3
B
3
C
3
是△ABC向左平移5个单位得到的；
A
4
B
4
C4
是△ABC向上平移5⑶A
4
（4,8）B
4
（3,6）C< br>4
（1,7），△A
4
B
4
C
4
与△ABC 大小相等，形状相同，△
.
5，横坐标不变得到△A
4
B
4
C
4
，则△A
4
B
4
C
4
与△ABC的 大小、形状和位
5，纵坐标不变得到△A
3
B
3
C
3
，则△A
3
B
3
C
3
与△ABC的大小、形状和位
A
．
（1,7），（0,2）（3,5）
3个单位长度，再向左平移
标分别 是（－1,2），（3,2），（3，－2），（－1，－2），则平
四个顶点的坐标分别为：
3.如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是：A（0,0）B（6,0）C（5,5）
⑴ 求△ABC的面积；
⑵如果将△ABC向上平移1个单位长度，得到△
三个顶点的坐标；
⑶试说明△A
2
B
2
C
2
与△ABC的形状、大小有什么 关系？
A
1
B
1
C
1
，再向右平移2个单位长度得 到△A
2
B
2
C
2
，试求△A
2
B
2
C
2
【例3】在平面直角坐标中，点
变换符合这种规律（）
A< br>．
（3,2）→（4，－2）
A（1,2）平移后的坐标A’（－3,3），按照同样的 规律平移其它点，则下列哪种
B
．
（－1,0）→（－5，－4）
D(1.2 ,5) → (－3.2,6)
4，纵坐标增加1，再依A（1,2）→A’（－3,3），规律是： 横坐标减少
C（2.5，－1/3）→ (－1.5,2/3)
【解法指导】先仔细分析平移规律：点
据规律作出正确的判断
【变式题组】
01．在平 面直角坐标系中，点
到 .
.
C
．
【 解】依据坐标平移规律，故选
A（－2,3）平移后的坐标为A’（2，－3），按照同样的规律平移（ 1，－2），得
02．线段CD是由线段AB平移得到的,点A(－1,4)的对应点C（4,7），则 点B（－4，－1）的对应点D的坐标是 .
03．将点P(m－2,n+1),沿x 轴负方向平移
04．平面直角坐标系中，△
3个单位长度得到P
1
（1－m, 2）,求点P的坐标.
DEF是不是由△ABC
27
ABC个顶点的坐标分别是A （6,8），B（－2,0），C（－5，－3），△DEF各顶点的坐标是
D（0，3），E（8,1 1），F（－3,0），请仔细观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断△
平移得到的？如果是请回答 平移规律；如果不是，请说明理由
【例4】如图是某市市区几个旅游景点的示意图
画出直角坐标 系，并用坐标表示下列景点的位置
光岳楼
金凤广场
动物园
.
. < br>1个长度单位），请以某景点为原点，（图中每个小正方形的边长为
【解法指导】若以金凤广场为 坐标原点
正方向；过点O的竖直直线为
各景点坐标的位置就可以表示出来
【解】以金凤 广场为坐标原点
【变式题组】
.
O，过点O的水平线为x轴，取向右为
建立 平面直角坐标系，
.所以：⑴光岳楼（1,1）
y轴，取向上为正方向，即可
O，，建 立如图所示的直角坐标系
⑵金凤广场（0,0）；⑶动物园（6,5）.
01．如图为某市旅 游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用坐标表示各个景点的位置.
02．如图 是传说中的一个藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，现金的寻宝人没有原来的地图，但知
道在该图上有两块大石头A(2,1),B(8,2),而藏宝地的坐标是（6,6），试设法在地图上找到藏 宝地点.
【例5】某村是一个古树名木保护模范村，仅百年以
棵，第一棵古松树在小刚家的院 子里，第二棵古松树在小
米处，第三棵古松树在小刚家北偏西
画图表示这五棵古树的位置. < br>x轴，
30方向1000米处，
45方
?
?
上树龄的古树就有
刚家东南方向
5
2000
第四棵古松树在小
向1500米处，请你刚 家正东1000米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西
【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为正东方 向为正方向，
再根据这五棵树的
28
取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面直 角坐标系，
方位和数量关系即可确定它们的位置
直角坐标系，比列尺为
【变式题组】< br>.
x轴，正东方向为正方向，取竖直线为y轴，正北方向为正方向建立平面
.
园，B为猴山，C为鹦
孔雀园来说：
确定猴山的位置，还需
园？
OAB变换 成OA
1
B
1
，第二次将OA
1
B
1
变换 成
OA
3
B
3
变换成
OA
n
B
n
,推测A
n
的坐标是
OA
2
B
2
，第三次 将
【解】以小刚家为坐标原点，水平线为
1:50000，即1厘米表示500米.那么五棵数 的位置如图所示
A为孔雀01．如图，为一公园内运动园的平面示意图：
鹉园，D为天鹅园，E 为熊猫园，F为师虎园.现以
⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想
要什么数据？⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么
⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺 、量角器，说出狮虎园距鹦鹉园的位置？
【例6】如图，早直角坐标系中，第一次将
OA
2
B
2
变换成
是
是 .
【解法指导】此题 为猜想题，解这类题一般步骤是：
⑴＜1＞观察：高清观察的对象；
＜2＞分析：分析个数之间 的关系，如：和、倍、分等数量关系；
＜3＞对比：在分析个数据的情况下，找出个数据之间的区别和联 系，为归纳作准备；
＜4＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；
⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法
分析：观察图形，可知
解：⑴A
4
(16,3),
【变式题组】
01.（菏泽.淄博）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为 整数的
中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜想由里
（实线）四条边上的整点 个数共有个.
n
OA
3
B
3
，已知A（1,3），A1
（2,3），A
2
（4,3）A
3
（8,3），B（2,0） ，B
1
（4,0），B
2
（8，0），B
3
（16,0）.
OA
4
B
4
，则A
4
的坐标
，B
n
的坐标
；
OAB进行了
n
次变换，得到
⑴观察每次变换前 后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再次将
，B
4
的坐标是
⑵若按 ⑴题找到的规律，将
.
2
n
+1
A
n
的横坐标是 2,而B
n
的横坐标是按
A
n
(2,3),B
n
( 2
nn
+1
变化的.
B
4
(32,0);,0). 点称为整点，观察图
向外第10个正方形
【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，将坐标 为（
(1,3), (0,0),的点用线段依次连接起来形成一个图案，不画图
若每个点的横 坐标保持不变，纵坐标变成原来的
连接起来，那么所得的图案与原来图案相比有什么变化？
0, 0), (5,0), (4,3),
.形，回答下列问题
2倍，将所得各点用线段依次
29
若横坐标保持不变， 纵坐标分别加
若纵坐标保持不变，横坐标分别加
若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－
若 纵坐标保持不变，横坐标分别乘－
2呢？
2呢？
1呢？
1呢？
2倍；
2个单位；
2个单位；
【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被 拉长为原来的
⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了
⑶ 所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了
⑷所得图案与原图案相比， 新图案与原图案关于
⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于
演练巩固反馈提高
x轴成轴对称.
y轴成轴对称.
欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的形状 变化之间关系的规律即可
01．将三角形ABC各顶点的横坐标不变，而纵坐标分别加
A
．
向左平移4个单位得到
.
ABC（）4，连接三个点所得到三角形是三角形B
．
向上平移4个单位得到
ABC（）
C
．
向右平移4 个单位得到D
．
向下平移4个单位得到
02. 将三角形ABC各顶点的纵坐标不变， 横坐标分别减5，连接三个点所得到三角形是由三角形
A
．
向左平移5个单位得到C
．
向上平移5个单位得到
03.（日照市）在平面直角坐标系中，把点
A
．
（－2,2）B
．
（－1,1）
04．如右图，将三角形向左平 移
A
．
（2,2），（3,4），（1,7）
B
．
向右平移 5个单位得到
D
．
向下平移5个单位得到
P(－2,1)向右平移一个单位， 则得到的对应点
C
．
（－3,1）D
．
（－2,0）
P的坐 标是（
’
）
）1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（
B
．
（－2,2），（4,3），（1,7）
－1）
下⑴根据具角坐标系内
C
．
（－2,2），（－5,－3），（0,－1）D
．（－2,2），（－5,3），（0，
05．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面 图的过程如
体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直
画出各点.其中顺 序正确的是（
A
．
⑴，⑵，⑶
C
．
⑶，⑴，⑵
06 ．如图，图是由图
）
B
．
⑵，⑴，⑶
D
．
⑴，⑶， ⑵
1经过变换得到的，下列说法中错误的是（）
A
．
将图1先向右平移4个单 位，再向上平移
B
．
将图1先向上平移6个单位，再向右平移
C
．< br>将图1先向上平移6个单位后，再沿
D
．
将图1先向右平移4个单位后，再沿< br>6个单位得到图
4个单位得到图
?
2
2
y轴翻折180
可得到图2
?
x轴翻折180
可得到图2
图中“马”现在的位置用（6,2）
步，写出“马”所走的路线（只要写出一种） .
1个单位长度），请以某景点为原点，
.
’‘
07．在象棋中，“马走 斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个顶点，
表示，要想“马”走现在“帅”的位置 （如图），至少需要
建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹）
⑴动物园，⑵烈士陵园 .
AB平移，使得点09.（永州）如图所示，要把线段
08.（泸州）如图是某市市区四个 旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为
，请用坐标表示下列景点的位置
‘
A到达 点A(4,2)，点B到达点B，那么点B的坐标是 .
10．华英学校七年级二班的三位 同学：李丽，王明，张倩，他们从家到学校的路线分别是：
30
⑴李丽出家门口向东走
⑵王明出家门口向西
⑶张倩出家门口向东走
50米，再向南走
100米，再向南走< br>100米，再向北走
100米，可到学校；
150米，可到学校；
50米，可到 学校.
. 根据以上条件建立坐标系，画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置
11. 在平面直角坐标系中，△
⑴计算△ABC的面积；
ABC的位置如图所示.
⑵将△A BC向右平移5个单位长度，再向上平移
A
1
B
1
C
1，请画出△A
1
B
1
C
1
，并写出△A
1B
1
C
1
各顶
⑶写出所得△A
1
B
1
C
1
和△ABC的形状、大小有什
3个单位长度，得到△
点的坐标；
么关系？
培优升级奥赛检测
2m,m－4）在第四象限内，且m为偶数，那么m的值为 .
P
2
（2，b－8）在二、四象限角平分线上，则
01. 在平面直角坐标系内，已知点（
（－a+b）
2004
02. 已知点P
1
（a－1,5）在第一、三象限角平分线上；点
＝ .
.
03．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，以矩形的对角线交点为坐 标原点，平行于边的直线为坐标轴，建立直角坐标系，
则四个顶点的坐标为
04．在正方形AB CD中，A、B、C三点坐标分别为（
05．无论x为何实数值，点
06．如果点A(
A
．
一
A
．
原点上
A
．
原点上
1 ,2）、（－2,1）、（－1，－2），则顶点D的坐标为 .
p(x+2,x－2)都不在第象限.
B(－a,ab)在第（
C
．
三
P必在（
B
．
x轴上
2
2
b
a
,1)在第一象限，则点
B
．
二
）象限.
D
．
四
C
．
y轴上
2
07．若点的坐标满足，则点）.
D．
x或y轴上
）
D
．
x轴负半轴上
.设坐标轴的单位长 度为1厘
08．已知x、y实数，且P(x,y)的坐标满足x+y＝0，则点p必在（
B．
x轴正半轴上C
．
y轴正半轴
09．（遵义）如图所示，在平面直角坐 标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点
米，整点P从原点O出发，速度为
关系如下表 “
1厘米/秒，且整点P作向上或向右运动，运动的时间（秒）与整点（个）的
整点P从原点O 出发的时可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个
31
间（秒）
1
2
3
…
(0,1)(1,0)
(0,2)(1,1)(2,0)
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
…
2
3
4 …
P的个术士为
数
根据上表中的规律，回答下列问题：
⑴当整点P从点O 出发4秒时，可以得到的整点
⑶当整点P从点O出发秒时，可以到达整点（
个；
⑵当整 点P从点O出发8秒时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连接这些整点；
16,4）的 位置.
32
第18讲二元一次方程组及其解法
考点·方法·破译
1．了解 二元一次方程和二元一次方程组的概念；
2．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；
3．熟练掌握二元一次方程组的解法
经典·考题·赏析
【例1】已知下列方程2x
m
－
1
.
n
＋
3
＋3y＝5是二元一次方程，则m＋n＝ .
【解法辅导】 二元一次方程必须同时具备三个条件：
⑴这个方程中有且只有两个未知数；
⑵含未知数的次数是 1；
. ⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式
【解】根据二元一次方程的概念可知：【变式题组】
01．请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由
⑴ 2x＋5y＝16 (2)2x＋y＋z＝3
02．若方程2x
a
＋
1m11
n31
，解得m＝2,n＝－2,故m＋n＝0.
.
(3)
1
x
＋y＝21 (4)x＋2x＋1＝0 (5)2x＋10xy＝5
a＝,b＝.
2
＋3＝y
2b
－5
是二元一次方程，则
03．在下列四个方程组①
4x
2x
2< br>3y
4y
10
9
，②
4x
7xy
y1229
1
，③
x
2x
2y
3y
0
4，④
7x8y
x45y
5
0
中，是二元一次方
程组的有
A
．
1个
（）
B
．
2个C
．
3个 D
．
4个
【例2】（十堰中考）二元一次方程组
3x
x
2y
2y
7
5
x
y
的解是（）
A
．
x
y
3
2
B
．
x
y
1
2
C
．
4
2
D
．
x
y
3
1
【 解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程组，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方 程不成
立，则不是该方程组的解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案
本例中，方程组 较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选
【变式题组】
01．（杭州）若x=1，y= 2是方程ax－y＝3的解，则a的值是
A
．
5 B
．
－5 C
．
2 D
．
1
（）
.
D
．
33
02．（盐城）若二元一次方程的一个解为
x2
y1
，则此方程可以是（只要求写一个）
03.（义乌）已知：∠A、∠B互余，∠A比∠B大 30°，设∠A、∠B的度数分别为x°,y°,下列方程组中符合题意的是
（）
A
．
xy180
xy30
B
．
xy180
xy30
C< br>．
xy90y90
xy30
D
．
x
xy30
4．（连云港）若
x2
3
，是二元一次方程组
2
axby5
y1
，的解，则a＋2b的值为.
axby2
【例3】解方程组
xy7①
3x5y17
②
【解法辅导】当二元一次方程组的一个方程中，有一个未知数的 系数为1或－1时，可选用带入法解此方程，此
例中①变形得y＝7－x③,将③带入②可消去y,从而 求解.
解：由①得，y＝7－x③
将③带入②，得3x＋5(7－x)＝17, 即35－2x＝17 x＝9
故此方程组的解是
x9
y2
【变式题组】1.解方程组：
（南京）⑴
2xy44y1
x2y5
（海淀）⑵
x
2xy16
（花都）⑶
2xy4
（朝阳）⑷
3xy5
x2 y55x2y23
2．方程组
xy5
2xy5
的解满足x＋y＋a＝0,则a 的值为（）
A
．
5 B
．
－5 C
．
3 D
．
－3
【例4】解方程组
2xy3
①
3x5y11②
【解法辅导】用加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的“元”来消去，原则上尽量选择系 数绝对值较小的
未知数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值的比为整数时，就选择该未知数为宜，若 两系数符号相同，则相减，
若系数符号相反，则相加.
本题中，y的系数绝对值之比为5：1 ＝5，因此可以将①×5，然后再与②相家，即可消去y.
解：①×5得，y＝7－x ③
③＋②,得，13x＝26 ∴x＝2 将x＝2代入①得y＝－1
∴此方程组的解是
x2
y1
.
【变式题组】
34
01．(广州)以
x
y
y
y
1
1
0
1< br>为解的二元一次方程组是（）
A
．
x
x
B
．
x
x
y
y
0
1
C
．
x
x
y
y
0
2
D
．
x
x
y
y
0
2
02．解下列方程组：
（日照）⑴
x
3x
2y
8y
3
13
axby
axby
4
2
（宿迁）⑵2x3y
3x2y
2
1
5
12
）
03．（临汾 ）已知方程组
A
．
4
04．已知
B
．
6
的解为
x
y
，则2a－3b的值为（
C
．
－6
①
，那么x－y的值为
②
D
．
－4
，x＋y的值为 .
2x
x
y
2y
5
6
【例5】已知二元一次方程组
3x2y2k
4k
12
①
2
②
4x3y
的解满足x＋y＝6,求k的值.
k而得一个二元一次方程，此方程与
k的值.
由x＋y＝6，得2x＋2y＝12 ⑤，⑤－④,
3×4＋2×2＝2k＋12 ∴k＝2.
x＋y＝6联立，【解法辅导】此题 有两种解法，一中是由已给的方程组消去
求得x、y的值，从而代入①或②可求得
解：①×2， 得，
得
k的值；另一种是直接由方程组解出
③－②,得2x＋7y＝22 ④
x＝4 将
x、y，其中x、y含有k,即用含k的代数
式分别表示x、y，再代入 x＋y＝6得以k为未知数的一元一次方程，继而求
6x＋4y＝4k＋24 ③
－5y＝－10 ∴y＝2
【变式题组】
将y＝2代入x＋y＝6得
x< br>y
4
2
带入①得
01．已知⑴
mx3ny1
5xny
x
2x
y
y
5
5
n2
与⑵
3x< br>4x
y
2y
6
8
有相同的解，则m＝,n＝.
02．方程组
A
．
5
的解满足方程x＋y－a＝0, 那么a的值为（
D
．
－3
）
B
．
－5 C
．
3
03．已知方程组
3x2yk
k32x3y
的解x与y的和为8，求k的值.
【例6】解方程组
4(x3y)3(x
3(x3y)5(x
y)
y)
16
①
12
②
x＋3y）和（x－y）,如果我们将这两类代数式整 体
x＋3y和x－y的值后，再组成新的
【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式 ，即（
方程组可求出x、y的值，此种方法称为换元法.
不拆开，而分别当作两个新的未知数 ，求解则将会大大减少运算量，当分别求出
解：设x＋3y＝a, x－y＝b, 则原方程组可变形为
35
4a3b16
3a5b12
③
④
④×4, 得12a－20b＝48 ⑥－⑤,得29b＝0,∴b＝0 将b＝0代入③×3，得12a＋9b＝12 ⑤
③，得a＝4 ∴ 可得方程组
x
x
3y
y
4
0
故原方程组的解为x
y
1
1
.
【变式题组】
01．解下列方程组：x
⑴
yxy
4
6
y)2
⑵（湖北十堰）
3y
7
y
2
4(x
3
y)5(x
x
9< br>x
10
5
02．（淄博）若方程组
2a3b13
3a5bB
．
30.9
x
的解是
a8.3
b1.2
C< br>．
，则方程组
4(x2)3(y1)
5(y1)
10.3
0. 2
13
30.93(x2)
D
．
的解是（）
A
．< br>x
y
6.3
2.2
8.3x
y
10.3
2. 2
x
yy1.2
03．解方程组：
1
x1
1
2x2
2
6x3
1
2y1
1
①
0
②
ax by
cx20y
.
【例7】（第二届“华罗庚杯”香港中学邀请赛试题）已知：方程 组
16
224
的解应为
x
y
8
10
，小明 解
此题时把c抄错了，因此得到的解是
x
y
12
13
，则a ＋b＋c的值为
222
【解法辅导】
x
y
8
10
是 方程组的解，则将它代入原方程可得关于c的方程，由题意分析可知：
a、b、c的值.
x< br>y
12
13
是方
程ax
＋
by＝－16的解，由此可 得关于
解：34
【变式题组】
01．方程组
a、b的又一个方程，由此三个 方程可求得
ax2y
cxdy
7
4
时，一学生把a看错后得到
x
y
5
1
，而正确的解是
x
y
3
1，则a
、
c
、
d的值是（）
A
．
不能确定B< br>．
a＝3, c＝1, d＝1 C
．
c
、
d不能确定D
．
a＝3, c＝2, d＝－2
02．甲、乙良人同解方程组
Ax
Cx
By
3y
2
2
，甲正确解得
x
y
1
1
，乙因抄错C，解得
x< br>y
2
6
，求A
、
B
、
C的值.
36
演练巩固反馈提高
01．已知方程2x－3y＝5,则用含x的式子表示y是， 用含y的式子表示x是.
02．(邯郸)已知
x1axby1
y1
是方程组
4xby2
的解，则a＋b＝.
03．若(x－y)
2
＋|5x－7y－2|＝0, 则x＝, y＝.
0 4．已知
x2
y1
是二元一次方程组
axby7
4xby1
的解，则a－b的值为.
05．若x
3m
－
n
＋y
2n< br>－
m
＝－3是二元一次方程，则m＝,n＝.
06.关于x的方程（m
2
－4）x
2
＋(m＋2)x＋(m＋1)y＝m＋5, 当m＝时，它是一元一次方程，当
它是二元一次方程.
07．（苏州）方程组
3x7 y9
4x7y5
的解是（）
2
x2x2x2
A
．
x
y1
B
．
y
3
C
．
3
D
．
7
y
7
y
3
7
08．（杭州）已知
x1
y1
是方程2x－ay＝3的一个解，那么a的值是（）
A
．
1 B
．
3 C
．
－3 D
．
－1
09．（苏州）方 程组
xy1
2xy5
的解是（）
A
．
x1x22
y 2
B
．
2x
y3
C
．
y1
D
．< br>x
y1
10．（山东）若关于x、y的二元一次方程组
xy5k
xy9 k
的解也是二元一次方程3x＋3y＝6的解，则
A
．－
34
4B
．
3
4
C
．
3
D
．－
4< br>3
11．（怀柔）已知方程组
axby2x3
a2b
axby4
的解为
y2
，求
a2b
的值为多少？
12.解方程组：
⑴ （滨州）
2x2y6x4y19
x2y2
⑵（青岛）
3
xy4
6(
2
y)3)6
⑶
3
7(x
18(x3)5(
2
3
y)5
m＝时，
k的值为（）
37
13．已知方程组
2x5y6by4
3x5y16
和方程组
ax
bxay8
的 解相同，求代数式3a＋7b的值.
14．已知方程组
3x2yk
2x3yk3
的解x与y的和为8，求k的值.
15．（希望杯试题）m为正整数，已知二元一次方程组
mx2y10
2
3x 2y0
有整数解，求m的值.
培优升级奥赛检测
01．当k、b为何值时，方程组< br>ykxb
①
y(3k1)x2
②
⑴有唯一一组解⑵无解⑶有无穷多组解
02．.当k、m的取值符合条件时，方程组
ykxm
y(2k1)x4
至少 有一组解.
03．已知：m是整数，方程组
4x3y6
6xmy26
有整数 解，求m的值.
22
04．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0, (xyz≠0 ),则式子
5x2yz
2
2x
2
3y
2
10z2
的值等于（）
A
．
－
119
2
B
．
－
2
C
．
－15 D
．
－13
05．（ 信利杯赛题）已知：三个数a、b、c满足
ab
ab
＝
1
3
，
bc1ca
ac
＝
4
，
ca
＝
1
5
，
则
abc
abbcca
的值为（）
A
．1
6
B
．
1
C
．
2
1215
D
．
1
20
06．（广西赛题）已知：满足方程2x－3y＋4m＝11和3 x＋2y＋5m＝21的x、y满足x＋3y＋7m＝20,那么m的值为
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
07．（广西赛题）若 |a＋b＋1|与（a－b＋1）
2
互为相反数，则a与b的大小关系是（）
A
．
a
＞
b B
．
a
＝
b C
．
a
＜
b D
．
a≥ｂ
08．（“华罗庚杯”竞 赛题）解方程组
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3
x
4
x
1997
x
1998
x1998
x
1999
1
x
1
x
2
x< br>1998
x
1999
1999
）
38
（
x
09.（全国竞赛湖北赛区试题）方程组
A
．
1 B
．
2 C
．
3
y
y
12
6x
的解的组数为（）
D
．
4
10．对任意实数
A
．
20
x、y定义运算x※y＝ax＋by， 其中a、b为常数，符号右边的运算是通常意义的加乘运算，已知
）
D
．
14 B
．
18 C
．
16
1※
2＝5且2※3＝8，则4※5 的值为（
11．（北京竞赛题）若a、b都是正整数，且143a＋500b＝2001,则a＋b＝.
12．(华杯赛题）当m＝－5,－4,－3,－1,0,1,3,23,124,1000时，从等式 （2m＋1）x＋(2－3m)y＋1－5m＝0可以得到10
10个方程有无公共解？若有，求出这些 公共解. 个关于x和y的二元一次方程，问这
13．下列的等式成立：
求x
1
，x
2
，
…
x
1
x
2
＝x
2< br>x
3
＝
x
3
x
4
＝
x
10 0
，x
101
的值.
…　
＝
x
99
·x< br>100
＝
x
100
·x
101
＝
x
101
·x
1
＝
1,
第19讲实际问题与二元一次方程组
考 点·方法·破译
1．逐步形成方程思想，进一步适应列方程
2．学会用画图，列表等途径分析应 用题的方法
3．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系
经典·考题·赏析
【例1】甲、 乙两地相距
车、拖拉机各自走了多少千米
160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而 行，
?
1小时20分钟相遇，相遇后，
拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后 调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽
.
.
(组)解决实际问题的新思路
.
.
4．学会找出每道应用题中所蕴藏的各 种等量关系，并依此列出方程组
【解法指导】(1)画出直线型示意图理解题意
39
(2)本题有两个未知数——汽车的行程和拖拉机的行程
1
.有两个相等关系：①相向而行:汽 车行驶
1
小时的路程+拖
3
1
小时的路程＝拖拉机行驶
2< br>1
(1+
)小时的路程.
2
1
拉机行驶
1
的路程＝160千米；②同向而行：汽车行驶
3
(3)本题的基本数量关系有:路程＝速度×时 间.
1
解：设汽车的速度为每小时x千米，拖拉机的速度为每小时y千米，根据题意，得1
3
(
x
(1
y
)
1
2
16 0
)
y
解这个
1
2
x
方程组，得
x
y
90,
30.
90(1
1
3
1
2
)1 65千米，30（1
85千米.
1
3
+1
1
2
） =85千米。
答:汽车走了】65千米，拖拉机走了
【变式题组】
01．A、B两地相 距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从
甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到
B地向A地 前进，2小时后二人在途中相遇，相遇后，
. A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人的平均速度
02．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他开车以每小时
小时75干米的速度行驶， 那么可提前
50千米的速度行驶，就会迟到
.
24分钟；如果以每
24分钟 到达乙地，求甲、乙两地间的距离
03．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车 从开始上桥到完全过桥共用了
40s.求火车的速度和长度.
1min，整列火车完全
在桥上的时间共
【例2】一项工程甲单独做需
甲、乙各做多少天?
12天完成，乙 单独做需18天完成，计划甲先做若干天后离去，再由乙完成，实际
2倍，则原计划上甲只做了计划时间 的一半便因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的
【解法指导】⑴由甲、乙 单独完成所需的时间可以看出甲、
1
乙两人的工作效率，设总工作量为1，则甲每天完成，12
乙每天完成
1
18
；
40
(2)若总工作量没有 具体给出，可以设总工作量为单位“
作效率x工作时间”列出方程
解:设原计划甲做
.
1
1”，然后由时间算出工作效率，最后利用“工作量＝工
x天，乙做y天，则有12
1
12
x
1
2
1
18
y
1
18
1
2
y
1
，解方程组，得
x
y8,
6.
答:原计划甲做8天，乙
x
做6天.
【变式题组】< br>01．一批机器零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合做，再做
?
8天正好 完成；如果乙先做5天后，甲加入合
做，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件
02 ．为北京成功申办2008奥运会，顺义区准备对潮白河某水上工程进行改造，若请甲工程队单独做此项工程需< br>12万元；若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月要耗资5万元.
?耗资多少万元?
3个
月完成，每月要耗资
⑴若甲、乙两工程队合做这项工程，需几个月完成
⑵ 因种种原因，有关领导要求最迟
节省资金.(时间按整月计算)
4个月完成此项工程，请你设 计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度
【例3】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走， 它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴
子抱怨负担太重，骡子说:“你抱怨干吗?如果你 给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰
?
+1＝2×(驴子的袋数－1)，驴子的袋教+1＝骡子的袋数－1
好驮的一样多！”那么驴 子原来所驮货物的袋数是多少
【解法指导】找出本题中的等量关系为：骡子的袋数
解:设骡子所 驮货物有
子原来所驮货物有7袋.
x袋，驴子有y袋，则依题意可得
x
x< br>1
1
2(
y
1)
1
y
，解这个方程组，得< br>x
y
7
5
.答:驴
【变式题组】
01．第一个容器有 水44升，第二个容器有水56升.若将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是
4 1
该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第二个容器，
的容量.
那么第一个容器 剩下的水是该容器的三分之一.求两个容器
02．(呼市)《一千零一夜》中有这样一段文字
鸽 子对地上觅食的鸽子说：
:有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的
.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?
1
；若从树上飞下去一只，
3
则树上、树下的鸽子就一样多了
【例4 】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套
天平均可以加工螺钉
包装运进库房?
【解法指导】这里有两个未知数
产螺母的人数＝总人数(81名)；
.
12 0个或螺母96个，该车间共有工人
(一个螺钉配一个螺母)时就可以运进库房.若一名工人每
81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时
.有两个相等关系：(1)生产螺钉的人数 +生——生产螺钉的人数和生产螺母的人数
(2)每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数
解:设 生产螺钉的工人有x名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得
x
120
x
y
81
解方程组，得
,
96
y
.
x
y36
45
.
答:有36名工人生产螺钉.有45名工人生产螺母，才能使每天生产 出来的零件及时包装运进库房
【变式题组】
01．某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每 人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，使生产
? 的螺栓和螺母配套（一个螺栓套 两个螺母
02．木工厂有28人，2个工人一天可以加工
4把椅子配套?
)，则应分 配多少人生产螺栓，多少人生产螺母
3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子，现在如何安排劳动力 ，使
生产的一张桌子与
03．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底， 一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，问用
? 多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制 成一批完整的盒子
【例5】一名学生问老师:“你今年多大?”老师风趣地说:“我像你这样大时，你才 出生；你到我这么大时，我已
.
.
:
过去
师
生
差
y
0
y－0
现在
x
y
x－y
经37岁了”.请问老师今年多少岁，学生今年多少岁
个等量关系 ，其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等
【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关 健，也是难点，本题中，老师的两句话分别蕴含着两
师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的 年龄差，可列表帮助分析
【解】设现在老师x岁，学生y岁，依题可列方程组
x
37< br>y
x
37
x
①
0②
y
解此方程组得
x
y
25
13
答:老师今年25岁，学生今年12岁.
42 【变式题组】
01．甲、乙两人聊天，甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁.”乙 对甲说:“当我的岁数是你现在的岁
. 数时，你将61岁”.同学们，你能算出这两人现在各是多少岁 吗？试试看
02．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的两倍，A现在的年龄是(
A
．
12岁
03．甲对乙风趣地说
人现在的岁数分别为
B
．
18岁
___________.
C
．
24岁D
．30岁
:“我像你这样大岁数的那年，你才
)
38岁了.甲、乙两
94万元的A，B
?
2岁，而你像我这样大岁数的那年 ，我已经
.我市某企业向灾区捐助价值【例6】(威海)汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援 灾区
两种账篷共600顶.已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶
【解法指导】本题等量 关系有两个：
940000，若设A、B两种帐篷数分别为x、y，即可得方程组.
1300 元，则A、B两种帐篷各多少顶
A种帐篷数＋B种帐篷数＝600，1700×A种帐篷数＋1300× B种帐篷数＝
【解】设A种帐篷有x顶，B种帐篷有y顶，依题意可列方程组
xy
60 0①
940000②
x
1700
y
1300
解这个方程组< br>可得
x
y
400
200
答：A种帐篷400顶，B种帐篷20 0顶.
【变式题组】
01．(桂林)某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销 售.该公司加工该种蔬莱的能力是
吨或粗加工8吨.现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排 几天精加工，几天粗加工
:每天可以精加工
?
4
02．(济南)教师节来临 之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由
中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬 的水仙花两种鲜花，
的信息，求出第三束鲜花的价格.
同一种鲜花每支的价格相同
4 支鲜花包装而成，其
.请你根据第一、二束鲜花提供
03．（云南）在“家电下乡”活动期间， 凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价
李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣 机，两人一共得到财政补贴
比A型洗衣机售价多500元.求:
?
?
( 1)A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元
13%的财政补贴.村民小
351元，又知B型 洗衣机售价
(2)小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元
43
【例7 】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为
供12头牛吃4个星期，第二块牧场可供< br>3
1
3
公顷、10公顷和24公顷.第一块牧场可
18个星期? 21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃
:
【解法指导】此题涉及的草量有三种 ，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长出的草量，三是每头牛每周吃掉
的草量，分析相等关系时要注 意草量“供”与“销”之间的关系
第一块牧场:原有草量+4周长出的草量＝12头牛4周吃掉的草量；
第二块牧场:原有草量+9周长出的草量＝21头牛9周吃掉的草量；
第三块牧场:原有草量+ 18周长出的草量＝？头牛
解:设牧场每公顷原有草x吨，每公项每周新长草
18周吃掉的草量 .
y吨，每头牛每周吃草
10
x
a吨，依题意，得
3
10
x
10
y
4412
a
3
10
y
9 921
a
解这个关于x、y的二元一次方程组，得
设
则:
z
第三块牧场18周
x
y
的
10.8
a
0.9
a总草量可供z头牛吃18个星期，
24
x
24
y
18
a
1824(10.8
a
18
a
0.9
a
18)36(头)
答:第三牧场可供
【变式题组】
36头牛吃18个星期.
4 0分钟可01．某江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽 水，
抽完；如果用
机多少台?
4台抽水机抽水，16分钟可抽完.若想尽快处理好险 情，将水在10分钟内抽完，那么至少需要抽水
02．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量(即单位时间 里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定
;若用两台A型抽水机则要
?
20分钟正好把池深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完
塘中的水 抽完;若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完
演练巩固
一、填空：
反馈提高
6本，则剩下9本;每个同学8本，又差了3本，则这一摞笔记本共01．将一摞笔记 本分给若于名同学，每个同学
___________本.
02．一个两位数的十位数字与个 位数字的和是
后的两位数，则这个两位数是
7，如果这个两位数加上45，则恰好组成这个个位 数字与十位数字对调
akg和bkg，将其配成16%的盐水100kg，
_________ _.
03．现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水
则a＝ _______，b＝__________.
04．在2006—2007西班牙足球甲级联赛中， 凭借最后几轮的优异成绩，皇家马德里队最终夺得了冠军，已知联赛积
44