88db中考(九年级)数学巩固提升辅导讲义资料(共19讲附详细解答)

2020年11月24日发(作者：卢弼)
中考（九年级）数学巩固提升辅导讲义资料
第一讲 实数与二次根式及其运算
命题点分类集训
命题点1 实数的相关概念
【命题规律】1.实数的相关概念是实 数部分的常考知识点，考查内容有：①相反数、绝对值、倒数；②负数、
有理数和无理数；③平方根、算 术平方根、立方根；2.相反数、绝对值、倒数考查频次较高，一般以－10 到
10之间的数设题；3.题位常设置在选择题和填空题中第1个，选择题较多
1. 下列各数中，－3的倒数是( )
11
A. － B. C. －3 D. 3
33
11
A 【解析】∵－3×(－)＝1，∴－3的倒数为－.
33
2.－6的绝对值是( )
11
A. －6 B. 6 C. D. －
66
B 【解析】∵－6小于0，∴－6的绝对值为－(－6)＝6.
3.－
1
的倒数的绝对值是( )
2016
11
A. －2016 B. C. 2016 D. －
20162016
1
C 【解析】－的倒数是－2016，－2016的绝对值是2016.
2016
4.四个数－3，0，1，2，其中负数是( )
A. －3 B. 0 C. 1 D. 2
A 【解析】正数前面添上负号就是负数，∴－3是负数．
5.下列实数中的无理数是( )
1
A. 0.7 B. C. π D. －8
2
1
C 【解析】0.7是有限小数，是有理数；是分数；π是无理数；－8是负整数．
2
6. 4的平方根是( )
1
A. ±2 B. －2 C. 2 D. ±
2
A 【解析】∵(±2)
2
＝4，∴4的平方根是±2.
7. (－2)的平方根是( )
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 2
C 【解析】∵(－2)
2
＝4，∴4的平方根是±2.
8.冰箱冷藏室的温度零上5 ℃，记作＋5 ℃，保鲜室的温度零下7 ℃，记作( )
A. 7 ℃ B. －7 ℃ C. 2 ℃ D. －12 ℃
B 【解析】零上记为正数，则零下记为负数，零上5℃记为＋5℃，则零下7℃记为－7℃.
1

2
3
9. 8＝________．
33
2 【解析】8＝2
3
＝2.
10. |－0.3|的相反数等于________．
－0.3 【解析】|－0.3|＝0.3，而0.3的相反数是－0.3.
命题点2 科学记数法
【命题规律】1.考查内容与形式：①大数科学记数法(数字一般在万位以上，或带单位万 、亿)，②小数科
学记数法(绝对值大于0小于1的数)；2.设题材料：大数科学记数法的设题一般以 当下时事热点新闻、当地人
文、财政等信息为主；小数科学记数法设题一般以细胞、花粉的直径等为主； 3.选择和填空均有考查，以选择
题居多，在做题时，可直接用a的取值(1≤a<10)排除选项正误 ．
【命题预测】科学记数法既可以准确方便地表示日常生活中遇到的一些极大或极小的数，同时也很好 地体现了
时下热点信息
11.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车 后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘
潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据9 5500用科学记数法表示为( )
A. 0.955×10 B. 9.55×10 C. 9.55×10 D. 9.5×10
C 【解 析】将一个大数表示成a×10
n
的形式，其中1≤a＜10，故a＝9.55，n等于原数的 整数位数减1，所以
n＝5－1＝4，故数字95500用科学记数法表示为9.55×10
4
.
12.宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学 记数法表示为( )
A. 0.845×10元 B. 84.5×10元 C. 8.45×10元 D. 8.45×10元
C 【解析】1亿＝10
8
， 84.5亿＝84.5×10
8
＝8.45×10
9
，故本题选C.
13.人体中红细胞的直径约为0.0000077 m，将数0.0000077用科学记数法表示为( )
A. 77×10 B. 0.77×10 C. 7.7×10 D. 7.7×10
C 【解析】将一小数表示为a×1 0
－
n
－5－7－6－7
108910
5544
的形式，其 中1≤a＜10，n等于原数左起第一位非零数字前所有零的个
－
数(含小数点前的零)，则0 .0000077用科学记数法表示为：7.7×10
6
.
14. 2015年7 月，第四十五届“世界超级计算机500强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二
号”以 每秒3386×10次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将3386×10用科学记数法表示成
a×10的形
式，则
n
的值是________．
16 【解析】科学记 数法的表示形式为a×10
n
，其中1≤a＜10，∴3386×10
13
＝ 3.386×10
16
，则n＝16.
命题点3 实数的大小比较
【命题 规律】常考形式：1.①下列各数中最大(小)的是；②下列各数中，比a大(小)的是；③比较a和b的
大小；2.选择、填空均有考查，近年选择居多；3.以第①种形式为主．
【命题预测】实数的大小 比较仍会考查，是命题的方向，尤其以“下列各数中最大(小)的是”和“比a大
(小)的是”的形式命 题的值得关注．
15.下列实数中小于0的数是( )
1
A. 2016 B. －2016 C. 2016 D.
2016
B
1
16.在实数－，－2，0，3中，最小的实数是( )
3
1
A. －2 B. 0 C. － D. 3
3
2

1313
n
1
A 【解析】正 数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2＜－＜0＜3，故答
3
案为A.
17.下列四个数中，最大的数是( )
1
A. －2 B. C. 0 D. 6
3
1
D 【解析】四个数中选择最大的数可直接在正数中选，比较＜6，故最大的数为6.
3
18.实 数
a
，
b
在数轴上的对应点的位置如图所示．把－
a
，－< br>b
，0按照从小到大的顺序排列，正确的是( )
A．－
a
＜0＜－
b
B．0＜－
a
＜－
b

C．－
b
＜0＜－
a
D．0＜－
b
＜－
a

C 【解析】由数轴可知：a＜0＜b, ∴－a＞0＞－b，即 －b＜0＜－a.
19.比较大小：－2________－3.(选填>，＝或<)
＞ 【解析】∵负数比较大小，绝对值大的反而小，∴－2＞－3.
命题点4 二次根式及其运算
【命题规律】1.考查内容：①二次根式有意义的条件；②二次根式的简单运算；③二次根式的估值；2.二< br>次根式有意义的条件常与分式化简求值结合，在分式化简后为字母取值的计算中涉及．
【命题预测】二次根式及其运算仍会考查，尤其是实数运算或分式化简求值中涉及到的，值得我们关注
20.若二次根式
a
－2有意义，则
a
的取值范围是( )
A.
a
≥2 B.
a
≤2 C.
a
>2 D.
a
≠2
A
21.实数2的值在( )
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
B 【解析】∵1＝1<2<4＝2，∴1<2<2，故选B.
22.下列计算正确的是( )
A. 12＝23 B.
33
32
＝ C. －
x
＝
x
－
x
D.
x
＝
x

22
A 【解析】逐项分析如下：
选项
A
B
C
D
23. (3－7)(3＋7)＋2(2－2)．
解：原式＝9－7＋22－2
＝22.

命题点5 实数的运算
逐项分析
12＝4×3＝23
3363
＝＝≠
22
2
2
∵－x
3
≥0，∴x≤0，－x
3
＝x
2
·－x＝－x－x≠x－x
x
2
＝|x|≠x
正误
√
错
错
错
【命题规律】1.考查内容：①有理数加减乘除的简单运算； ②实数的混合运算；2.实数混合运算一般涉
及：①零次幂，②负整数指数幂(含－1次幂)；③ －1的奇偶次幂；④去绝对值号；⑤开平方；⑥二次根式运
3

算；⑦特殊角的三角 函数值；3.选择题和填空题中常以两项运算考查为主，解答题常考查三项或四项的混合运
算．
【命题预测】实数的运算是常考内容，尤其是混合运算，体现了实数部分知识的综合，是重要的命题点．
1
24.计算：(－)×2( )
2
A. －1 B. 1 C. 4 D. －4
11
A 【解析】(－)×2＝－(×2)＝－1. 22
25.如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品(单位：mm)，其中不合格的是( )
A. 45.02 B.44.9 C.44.98 D.45.01
B 【解析】加工零件的尺寸要求，
出B选项的尺寸不合格．
31
－2
26.计算：|8－4|－()＝________．
2
－2 【解析】原式＝|2－4|－4＝2－4＝－2.
27.计算：
51
－20
－(2－5)＋().
2
5
45
－
0.03
0.04
意思是合格产品的 直径最大不超过45＋0.03，最小不低于45－
≤45.03，∴可判断
＋
0.0 4，从而确定合格产品的范围，进而得出结果．由题意得：合格尺寸的范围为44.96≤
解：原式＝5 －1＋4
＝5＋3.

13
0
2
3
28.计算：(－1)＋|－|－(－)×(－)．
223
12
解：原式＝－1＋－1×(－)
23
12
＝－＋
23
1
＝.
6


1
－10
29.计算：|－3|－(2016＋sin30°)－(－).
2
解：原式＝3－1＋2
＝2＋2
＝4.

1
－10
30.计算：()＋(sin60°－1)－2cos30°＋|3－1|.
2
解：原式＝2＋1－2×
＝2＋1－3＋3－1
4

3
＋3－1
2
＝2.


31.计算：2－2cos60°＋|－12|＋(π－3.14).
11
解：原式＝－2×＋23＋1
42
1
＝－1＋23＋1
4
1
＝＋23.
4

－20
中考冲刺集训
一、选择题
1. 化简|－2|得( )
1
A. 2 B. －2 C. ＋2 D.
2
2.－2的相反数是( )
A. 2 B. －
2
C. －2 D. －2
2
3.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记 作负数，从轻重的角度看，最接
近标准的工件是( )
A. －2 B. －3 C. 3 D. 5
4.下列四个选项中，计算结果最大的是( )
1
0
A. (－6) B. |－6| C. －6 D.
6
3
5. 8的算术平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 2 D. ±2
6. ±2是4的( )
A. 平方根 B. 相反数 C. 绝对值 D. 算术平方根
7.据市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为4470000人．数据“4 470000”用科学记数法可表示为
( )
A. 4.47×10 B. 4.47×10 C. 0.447×10 D. 447×10
8. 下列实数中，有理数是( )
3π
A. 8 B. 4 C. D. 0.1010010001
2
9. 世界上最 小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有
0.0000 00076克．将数0.000000076用科学记数法表示为( )
A. 7.6×10 B. 7.6×10 C. 7.6×10 D. 7.6×10
10. 实数
a
，
b
在数轴上对应点的位置如图所示，化简|
a
|＋ （
a
－
b
）的结果是( )
5

2
－9－898
6774
A. －2
a
＋
b
B. 2
a
－
b

C
. －
b
D.
b

11. 下面实数比较大小正确的是( )
A. 3>7 B. 3>2 C. 0<－2 D. 2<3
12. 下列计算正确的是( )
A.
x
＋3
x
＝4
x
B.
xy
·2
x
＝2
xy
C. (6
xy
)÷(3
x
)＝2
x
D. (－3
x
)＝9
x

13. 下列运算正确的是( )
3
22248
A. (
a
－3)＝
a
－9 B.
a
·
a
＝
a
C. 9＝±3 D. －8＝－2
14. 13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有7位 老妇人，每人赶着7头毛驴，每
头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀， 每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为
( )
A. 42 B. 49 C. 7 D. 7
二、填空题
15.实数－27的立方根是________．
16.数轴上表示－2的点与原点的距离是________．
17.计算：|1－3|－12＝________．
31
－20
18.计算：－8＋()＋(π－1)＝________．
3
19.若两个连续整数
x
、
y
满足
x
<5＋1<< br>y
，则
x
＋
y
的值是________．
20.超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
67
22423632222
2
测试项目

测试成绩(分)

创新能力

70

综合知识

80

语言表达
92
将创新能力、 综合知识和语言表达三项测试成绩按5∶3∶2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是
______ __分．
21.按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为________．

三、解答题
6

1
－2
22.计算：()＋|3－2|＋3tan30°.
2




1
－120
23.计算：(－3)－()－8×2＋(－2).
5




24.计算：(－1)





25.计算：8－(－2016)＋|－3|－4cos45°.






26.计算：2sin30°＋3＋(2－1)－4.







27.计算：|3－2|＋(2015－1)＋2sin45°－2cos30°＋(




7

0
－10
0
2016
＋2sin60°－|－3|＋π.
0
1
－1
).
2015
答案及解析：
1. A 2. A
3. A 【解析】最接近标准的工件是绝对值最小的数，－2的绝对值是2，－3和3的绝 对值是3，5的绝
对值是5，所以最接近的是－2.
1
4. B 【解析】A.(－6)
0
＝1，B.|－6|＝6，D.≈0.17, ∵6＞1＞0.17＞－6，∴|－6|的计算结果最大．
6
5. C
6. A 【解析】∵(±2)
2
＝4，∴±2是4的平方根．
7. A 【解析】把一个大数 用科学记数法表示为a×10
n
的形式，其中1≤a＜10，故a＝4.47，n等于原数的整数位数减1，即n＝7－1＝6，∴4470000＝4.47×10
6
.
8. D
9. B 【解析】把一个小数用科学记数法表示成a×10
动的位数，n ＝8，所以0.000000076＝7.6×10
8
，故选B.
10. A 【解 析】由数轴可知，a＜0，b＞0，所以a－b＜0，所以
|
a
|
＋（a－b ）
2
＝－a＋
|
a－b
|
＝－a－(a
－b)＝－ a－a＋b＝－2a＋b.
11. B 【解析】∵3＜7，选项A错误；比较两个正数的算术平方根 ，被开方数越大，这个数的算术平方根
就越大，∵3＞2，∴3＞2，选项B正确；负数小于0，所以0 ＞－2，选项C错误；∵2
2
＝4 ，4＞3，∴2
2

＞3，选项D错误．故选B.
12. D 【解析】逐项分析如下：
－
－
n
的形式，1≤a＜10，故a＝7.6，n为小数点向右移
选项
A
B
C
D
逐项分析
x
2
＋3x
2
＝4x
2
≠4x
4

x
2
y·2x
3
＝2x
23
y＝2x
5< br>y≠2x
6
y
(6x
3
y
2
)÷(3x) ＝2x
31
y
2
＝2x
2
y
2
≠2x2

(－3x)
2
＝(－3)
2
·x
2
＝9x
2

－
＋
正误



√
3
13. D 【解析】A.(a－3)
2
＝a
2－6a＋9，故错误；B.a
2
·a
4
＝a
6
，故错误 ；C.9＝3，故错误；D.
－8＝－
2，故正确．
14. C 【解析】根据题意，得7×7×7×7×7×7＝7
6
，故选C.
15. －3 【解析】∵(－3)
3
＝－27，∴－27的立方根为－3.
16. 2 【解析】数轴上的点到原点的距离即为该数的绝对值，|－2|＝2.
17. －3－1 【解析】原式＝3－1－23＝－3－1.
18. 8 【解析】原式＝－2＋9＋1＝8.
19. 7 【解析】∵4<5<9，∴2<5<3，∴3<5＋1<4，∴满足x<5＋1是3和4.∴x＋y的值是7.
20. 77.4 【解析】5＋3＋2 ＝10，70×
532
＋80×＋92×＝35＋24＋18.4＝77.4.
101010
21. 55 【解析】将3代入程序框图，先计算其平方为9，比10小，按程 序操作：加上2，等于11，再乘
以5，得55.
22. 解：原式＝4＋2－3＋3×
＝6－3＋3
＝6.
23. 解：原式＝9－5－4＋1
＝1.
8

3

3
24. 解：原式＝1＋2×
＝1＋3－3＋1
＝2.
3
－3＋1
2
25. 解：原式＝22－1＋3－4×
＝22－1＋3－22
＝2.
11
26. 解：原式＝2×＋＋1－2
23
1
＝1＋＋1－2
3
1
＝.
3
27. 解：原式＝3－2＋1＋2×
＝3－2＋1＋2－3＋2015
＝2016.

2

2
23
－2×＋2015
22

第二讲 整式及其运算
命题点分类集训
命题点1 整式的运算
【命题规 律】1.考查内容：①整式的加减乘除运算；②幂的运算；③乘法公式；④整式化简求值.2.常见考
查 形式：①计算…的结果是；②下列计算正确(错误)的是；③化简：…；④先化简再求值：….3.三大题型均有
设题，其中选择题考查形式以“下列计算正确(错误)的是”居多，解答题多考查整式化简求值．
【命题预测】由分析可知，整式运算是全国命题趋势之一，形式以“下列计算正确(错误)的是”为主．
1.计算
a
·
a
正确的是( )
A. ɑ B. ɑ C. ɑ D. ɑ
B 【解析】原式＝a
32
＝a
5
.
2.计算(－
xy
)的结果是( )
A. －
xy
B.
xy
C. －
xy
D.
xy

D 【解析】(－x
3
y)
2
＝(－1)< br>2
(x
3
)
2
y
2
＝x
6
y
2
，故选D.
3.下列计算中，结果是
a
的是( )
A.
a
＋
a
B.
a
·
a
C.
a
÷
a
D. (
a
)
D 【解析】A.a
2
、a
4
不能 合并；B.a
2
·a
3
＝a
23
＝a
5
； C.a
12
÷a
2
＝a
122
＝a
10
； D.(a
2
)
3
＝a
6
.
4.运用乘法公式计算(
x
＋3)的结果是( )
A.
x
＋9 B.
x
－6
x
＋9 C.
x
＋6
x
＋9 D.
x
＋3
x
＋9
C 【解析】原式＝x
2
＋2x· 3＋3
2
＝x
2
＋6x＋9，故选C.
5.下列计算正确的是( )
A. 2×5＝10 B.
x
÷
x
＝
x
C. (2
a
)＝6
a
D. 3
a
·2
a
＝6
a

9

82 433326
2222
2
＋－
242312223
6
563 262
32
＋
569
32
A 【解析】逐项分析如下：
选项
A
B
C
D

6.下列计算正确的是( )
逐项分析
2×5＝2×5＝10
－x
8
÷x
2
＝x
82
＝x
6
≠x4

(2a)
3
＝2
3
·a
3
＝8a
3
≠6a
3

3a
3
·2a
2
＝ 3×2·a
32
＝6a
5
≠6a
6

＋
正误
√
×
×
×
A.
a
＋
b
＝
ab
B. (－
a
)＝－
a
C. (
a
－2)＝
a
－4 D.
a
÷
b＝
×
22422
a
(
a
≥0，
b
＞0 )
b
D 【解析】a、b不能进行合并，故选项A错误；(－a
2
)
2
＝(－1)
2
a
22
＝a
4
，故选项B错误； (a－2)
2
＝a
2
－4a
＋4，故选项C错误；a÷b＝
7.下列运算正确的是( )
A.
x
＋
x
＝
x
B.
a
·
a
＝
a
C. (－
x
)＋
x
＝1 D. (－
xy
)·(－
xy
)＝－
xy

D 【解析】 A.x
3
、x
2
不是同类项，无法合并，故此选项错误；B.a
3< br>·a
4
＝a
34
＝a
7
≠a
12
， 故此选项错误；C.(－
x
3
)
2
＋x
5
＝x6
＋x
5
≠1，故此选项错误；D.(－xy)
3
·(－xy)
2
＝(－xy)
32
＝－xy，故此选项正确．故选D.
8. 计算：3
a
－(2
a
－1)＝________．
a＋1
9. 计算：(－5
a
)·(－8
ab
)＝________．
40a
5
b
2

10. 化简：(2＋
m
)(2－
m
)＋
m
(
m
－1)．
解：原式＝4－m
2
＋m
2
－m
＝4－m.



11.先化简，再求值：
a
(
a
－2
b
)＋(
a
＋
b
)，其中
a
＝－1，
b< br>＝2.
解：原式＝a
2
－2ab＋a
2
＋2ab＋b
2

＝2a
2
＋b
2
.
当a＝－1，b＝2时，原式＝2×( －1)
2
＋(2)
2
＝2＋2＝4.


12.先化简，再求值：(
a
＋
b
)(
a
－
b
)－(
a
－2
b
)，其中
a
＝2，
b＝－1.
解：原式＝a
2
－b
2
－(a
2
－ 4ab＋4b
2
)
＝a
2
－b
2
－a
2
＋4ab－4b
2

＝4ab－5b
2
.
当a＝2，b＝－1时，原式＝4×2×(－1)－5×(－1)
2
＝－13.


13.先化简，再求值：(
x
＋2)(
x
－2 )＋(2
x
－1)－4
x
(
x
－1)，其中
x＝23.
10

2
2
2
42
－－
＋
32534123253－2
a
(a≥0，b＞0)．故选项D正确．
b
解：原式＝x
2
－4＋4x
2
－4x＋1－4x
2
＋4x
＝x
2
－3.
当x＝23时，原式＝(23)
2
－3＝9.



命题点2 因式分解
【命题规律】1.考查内容：①提公因式法；②公式法；③提公因式法和 公式法结合.2.考查题型为选择和填
空，在进行因式分解时，要注意方法和顺序，一般都是先提公因式 ，再运用公式法．
【命题预测】因式分解是全国考试的重要内容之一，且常考查提公因式法与公式法结合．
14.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式
a
＋1的是( )
A.
a
－1 B.
a
＋
a
C.
a
＋
a
－2 D.(
a
＋2)－2(
a
＋2)＋1
C
15.因式分解 ：
mn
－6
mn
＋9
n
＝________．
n(m－3)
2

16.分解因式：
ax
－
ay
＝________．
a(x＋y)(x－y)
17.分解因式
x
(
x
－2)＋ (2－
x
)的结果是________．
(x－2)(x－1)
18.多 项式
x
＋1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是________(任 写一个符合条件的
即可)．
11
1
2x(或－2x或x
4
) 【解析】x
2
＋ 2x＋1＝(x＋1)
2
；x
2
－2x＋1＝(x－1)
2
；x
4
＋x
2
＋1＝(x
2
＋1)
2
.
42
4
19.分解因式：(2
a
＋
b
)－(
a
＋2
b
)＝________．
3(a＋b)(a－b) 【解析】( 2a＋b)
2
－(a＋2b)
2
＝[(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a ＋b)－(a＋2b)]＝(3a＋3b)(a－b)＝3(a＋b)(a
－b)．
命题点3 列代数式及代数式求值
【命题规律】1.主要考查形式：①应用乘法公式(平方差和完全平方公式)对 代数式进行变形化简，然后代
入数字计算求值，②结合非负数对所给式子进行计算或变形，再代值计算. 2.选择、填空和解答均会涉及，主
要运用整体代入思想来解题．
【命题预测】代数式求值近年来受到命题人的青睐，尤其是整体代入思想，应引起重视．
20 .若－
xy
与
xy
是同类项，则
a
＋
b
的 值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
?
b＝3
?
C 【解析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指 数相同，∴
?
，则a＋b＝1＋3＝4.
?
a＝1
?
3< br>22
2
22
2
2222
ab
21.若
a＝2，
b
＝－1，则
a
＋2
b
＋3的值为( )
A. －1 B. 3 C. 6 D. 5
B 【解析】将字母的值代入计算便可．当a＝2，b＝－1时，原式＝2＋2×(－1)＋3＝3.
22 .某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为
x
，则 该文具店五月份
销售铅笔的支数是( )
A. 100(1＋
x
) B. 100(1＋
x
) C. 100(1＋
x
) D. 100(1＋2
x
)
11

22
B 【解析】三月份1 00支，四月份比三月份增长x，∴四月份为100(1＋x)支；五月份比四月份增长x，∴五
月份为 100(1＋x)(1＋x)＝100(1＋x)
2
支；∴选项B正确．
23.若< br>mn
＝
m
＋3，则2
mn
＋3
m
－5
nm
＋10＝________．
1 【解析】2mn＋3m－5nm＋10＝(2mn－ 5mn)＋3m＋10＝－3mn＋3m＋10＝－3(m＋3)＋3m＋10＝－3m－9
＋3m＋1 0＝1.
24.若
x
＋
y
＝10，
xy
＝1，则
xy
＋
xy
的值是________．
98 【解析】∵x＋y＝ 10，xy＝1，∴x
3
y＋xy
3
＝xy(x
2
＋y2
)＝xy[(x
2
＋y
2
＋2xy)－2xy]＝xy[(x ＋y)
2
－2xy]＝1×(10
2
－2×1)＝98.
25.已 知|
x
－
y
＋2|＋
x
＋
y
－2＝0，则
x
－
y
的值为________．
－4 【解析】由题意可得x－ y＋2＝0，x＋y－2＝0，即x－y＝－2，x＋y＝2.∴x
2
－y
2
＝(x＋y)(x－y)＝－4.
1
26.先化简，再求值：(
x
＋2)(
x
－2)＋
x
(4－
x
)，其中
x
＝.
4
解：原式＝x
2
－4＋4x－x
2

＝4x－4.
11
当x＝时，原式＝4×－4＝1－4＝－3.
44


27.已知2
a
＋3
a
－6＝0 ，求代数式3
a
(2
a
＋1)－(2
a
＋1)(2
a
－1)的值．
解：原式＝6a
2
＋3a－4a
2
＋1
＝2a
2
＋3a＋1.
∵2a
2
＋3a－6＝0，
∴2a
2
＋3a＝6，
∴原式＝6＋1＝7.
2
22
33
中考冲刺集训
一、选择题
1.下列单项式中，与
ab
是同类项的是( )
A. 2
ab
B.
ab
C.
ab
D. 3
ab

2.已知方程
x
－2
y
＋3＝8， 则整式
x
－2
y
的值为( )
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
3.下列等式错误的是( )
A. (2
mn
)＝4
mn
B. (－2
mn
)＝4
mn
C. (2
mn
)＝8
mn
D. (－2
mn
)＝－8
mn

4.下列运算正确的是( )
A.
a
·
a
＝
a
B. 5
a
－2
a
＝3
a
C. (
a
)＝
a
D. (
x
＋
y
)＝
x
＋
y

5. 下列计算正确的是( )
A. (
ab
)＝
ab
B.
a
÷
a
＝
a
C. (3
xy
)＝6
xy
D. (－
m
)÷(－
m
)＝－
m

6.把多项式
x
＋
ax
＋
b
分解因式，得(
x
＋1)(
x
－3)，则
a
，
b
的值分别是( )
A.
a
＝2，
b
＝3 B.
a
＝－2，
b
＝－3 C.
a
＝－2，
b
＝3 D.
a
＝2，
b
＝－3
7. 当1＜
a
＜2时，代数式|
a
－2|＋|1－
a
|的值是( )
A. －1 B. 1 C. 3 D. －3
12

2
22226232224725
23623412222
222 2222236622355
2222
2
8. 某企业今年1月份产值为
x< br>万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产
值是( )
A. (1－10%)(1＋15%)
x
万元 B. (1－10%＋15%)
x
万元
C. (
x
－10%)(
x
＋15%)万元 D. (1＋10%－15%)
x
万元
二、填空题
9.端午节期间，“惠民超市 ”销售的粽子打8折后卖
a
元，则粽子的原价卖________元．
10.若整式
x
＋
ky
(
k
为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分 解，则
k
的值可以是________(写出一个即
可)．
11.分解因式：
xy
－4
y
＝________．
12 .分解因式：
ab
－4
ab
＋4
ab
＝________．
1
2
13.已知
x
－＝4，则
x
－4
x< br>＋5的值为________．
432
2
22
x
14.已知
x
＋
x
－5＝0，则代数式(
x
－1)－
x
(
x
－3)＋(
x
＋2)(
x
－2)的值为______ __．
三、解答题
15. (
x
－
y
)－(
x
－2
y
)(
x
＋
y
)．






16.先化简，再求值：
x
(
x
－2)＋(
x
＋1)，其中
x
＝1.






17.先化简，再求值：(
a
＋
b
)(
a
－
b
)－
b
(
a
－b
)，其中，
a
＝－2，
b
＝1.





18.先化简(
a
＋1)(
a
－1 )＋
a
(1－
a
)－
a
，再根据化简结果，你发现该代数式 的值与
a
的取值有什么关系？(不必
说理)


13

2
2
22



19.先化简，再求值 ：(2
x
＋1)(2
x
－1)－(
x
＋1)(3
x
－2)，其中
x
＝2－1.





20.求值：已知4
x
＝3
y
，求代数式(
x
－2
y
)－(
x
－
y
)(
x
＋
y)－2
y
的值．





21. 先化简，再求值：(2
a
＋
b
)－
a
(4
a
＋3
b
)，其中
a
＝1，
b
＝2.




22.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示一个 二次三项式，形式如下：

－3
x
＝
x
－5
x
＋1.

(1)求所捂的二次三项式；
(2)若
x
＝6＋1，求所捂二次三项式的值．
2
2
22







1. A 【解析】根据所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的项称为同类项，进行解答便可．A .符合
同类项的定义，正确；B.b的指数不相同，错误；C.a、b的指数不相同，错误；D.a的指 数不相同，错误．故
选A.
2. A 【解析】∵x－2y＋3＝8，∴x－2y＝8－3＝5.
3. D 【解析】D选项(－2m
2
n
2
)
3
＝－2
3
m
23
· n
23
＝－8m
6
n
6
，故选D.
14

××
4. C 【解析】逐项分析如下：
选项
A
B
C
D
故选D.
逐项分析
a
2
·a
3
＝a
5
≠a
6

5a－2a＝3a≠3a
2

(a
3
)
4
＝a
34
＝a
12

×
正误


√

(
x＋y
)
2
＝x
2
＋2xy＋y
2
≠x
2
＋y2

5. D 【解析】选项A的结果是a
4
b
2
；选 项B的结果是a
4
；选项C的结果是9x
2
y
4
；选项D的 结果是－m
5
.
6. B 【解析】(x＋1)(x－3)＝x
2
＋ ax＋b，即x
2
－2x－3＝x
2
＋ax＋b，所以a＝－2，b＝－3， 故选B.
7. B 【解析】由1＜a＜2知a－2＜0，1－a＜0，∴|a－2|＋|1－a|＝ －(a－2)＋[－(1－a)]＝1.
8. A 【解析】由题意知，2月份产值是1月份的(1－ 10%)，可表示出2月份产值为(1－10%)x，3月份产
值是2月份的(1＋15%)，即可表示 出3月份产值为：(1－10%)(1＋15%)x万元．
5
5
9. a 【解析】设原价卖x元，则80%x＝a，解得x＝a.
4
4
10. －4(答案不唯一) 【解析】根据平方差公式确定k的值．当k＝－a
2
(a为非零的有理数 )时，原式＝x
2
－a
2
y
2
＝(x－ay)(x＋ay) ．
11. y(x＋2)(x－2) 【解析】原式＝y(x
2
－4)＝y(x＋2)(x－2)．
12. ab
2
(b－2)
2
【解析】原式＝ab
2
(b
2
－4b＋4)＝ab
2
(b－2)
2
.
1
13. 6 【解析】∵x－＝4，∴x
2
－1＝4x，∴x
2< br>－4x＝1，∴x
2
－4x＋5＝1＋5＝6.
x
14. 2 【解 析】∵x
2
＋x－5＝0，∴x
2
＋x＝5，∴(x－1)
2
－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)＝x
2
－2x＋1－x
2
＋3x＋ x
2
－4＝x
2
＋x－3＝5－3＝2.
15. 解：原式＝x< br>2
－2xy＋y
2
－x
2
－xy＋2xy＋2y
2< br>
＝－xy＋3y
2
.
16. 解：原式＝x
2
－2x＋x
2
＋2x＋1
＝2x
2
＋1.
当x＝1时，原式＝2×1
2
＋1
＝3.
17. 解：原式＝a
2
－b
2
－ab＋b
2

＝a
2
－ab.
将a＝－2，b＝1代入得，
原式＝(－2)
2
－(－2)×1
＝4＋2＝6.
18. 解：原式＝a
2
－1＋a－a
2
－a＝－1，
∴代数式的值与a无关．
19. 解：原式＝4x
2
－1－3x
2
－3x＋2x＋2，
＝x
2
－x＋1.
当x＝2－1时，原式＝(2－1)
2
－2＋1＋1
＝5－32.
20. 解：原式＝x
2
－4xy＋4y
2
－(x
2
－y
2
)－2y
2
，
＝－4xy＋3y
2
.
由4x＝3y得x＝
3y
，
4
3y
∴原式＝－4y·＋3y
2
＝0.
4
21. 解：原式＝4a
2
＋4ab＋b
2
－4a
2
－3ab
15

＝ab＋b
2
.
当a＝1，b＝2时，
原式＝1×2＋(2)
2

＝2＋2.
22. 解：(1)x
2
－5x＋1＋3x
＝x
2
－2x＋1.(3分)
(2)x
2
－2x＋1＝(x－1)
2
，
当x＝6＋1时，原式＝(6)
2
＝6.

第三讲 分式及其运算
命题点分类集训
命题点1 分式有意义的条件
【命题规律】考查方式：①确定分母 中给出简单含未知数的代数式；②令分母中的代数式不等于0；③解
不等式，确定出未知数的取值范围； ④选择或填写出正确的答案．
【命题预测】分式有意义的条件是简单题型的一种命题模式，考查形式为选择或填空题．
1.如果分式
2
有意义，那么
x
的取值范围是________．
x
－1
1. x
≠
1 【解析】要分式有意义，则分式的分母不能为0，即x－1≠0，即x≠1.
2.若代数式
x
－1
有意义，则
x
的取值范围是________．
x
?
?
x－1≥0
2. x
≥
1 【解析】要原式有意义，则
?
，∴x≥1.
x≠0
?
?
命题点2 分式值为0的条件
【命题规律】考查题型及形式：选择题和填空题中一般考查两项分式化简； 考查方式：经常题目中暗含
分式有意义的条件，需要同时满足才能确定出未知数的取值范围．
【命题预测】分式值为0仍是重要考查知识点，在选择题或填空题中考查将成为常态化．
3.已知分式
（
x
－1）（
x
＋2）
的值为0，那么
x
的值是( )
x
2
－1
A. －1 B. －2 C. 1 D. 1 或－2
?
（x－1）（x＋2）＝0
?
（x－1）（x＋2）
?
3. B 【解析】分式的值为0，须满足：
，解得x＝－2 .
x
2
－1
?
x
2
－1≠0
?
4.当
x
＝________时， 分式
x
－2
的值为0.
2
x
＋5
?
?
x－2＝0
4. 2 【解析】根据题意得
?
，解得x＝2.
2x＋5≠0
?
?
命题点3 分式的化简
【命题规律】考查题型及 形式：①选择题和填空题中一般考查两项分式化简；②解答题中一般考查三项分
式运算，涉及乘除和加减 运算，有时会含括号；③考查运算顺序：通分、因式分解、约分、化简等知识．
【命题预测】分式的化简仍是重要考查知识点，其中选择题或填空题考查居多．
5.下列分式中，最简分式是( )
x
2
－1
x
＋1< br>x
2
－2
xy
＋
y
2
x
2
－36
A.
2
B.
2
C. D.
x
＋1
x
－1
x
2
－
xy
2x
＋12
x
2
－1x＋1x＋1
1
5. A 【解析】 A.
2
分子分母中无公因式，是最简分式；B.
2
＝＝
，故不是最简 分
x＋1x－1（x＋1）（x－1）x－1
16

x
2
－2xy＋y
2
（x－y）
2
x－yx
2
－36（x＋6） （x－6）x－6
式；C.＝＝
，故不是最简分式；D.
＝＝
，故不是最简分
x2
x
2
－xyx（x－y）2x＋122（x＋6）
式．

5
c
3
b
6.计算：·
2
＝________．
6
abac
6.
5c

2a
3
2
x
＋3
x
2
＋3
x
7.化简：
2
÷＝_ _______．
x
－4
x
＋4（
x
－2）
2< br>1
7.
x
8.计算
a
a
－1
－
3
a
－1
.
a
2
－1
3a－1
a
8. 解：原式＝－
a－1（a－1）（a＋1）
＝
a（a＋1）－（3a－1）

（a－1）（a＋1）
a
2
＋a－3a＋1
＝
（a－1）（a＋1）
（a－1）
2
＝
（a－1）（a＋1）
＝

（
a
＋
b
）< br>9.化简：
a
－
b
－.
a
＋
b
9. 解：原式＝a－b－(a＋b)
＝a－b－a－b
＝－2b.

10. (
2
a－1
.
a＋1
m
m
－2
－
2
mm
)÷.
m
－4
m
＋2
2
m
2
＋2m
2mm10. 解：原式＝[－]÷
（m－2）（m＋2）（m－2）（m＋2）m＋2
m＋2
m
2
＝·
（m－2）（m＋2）
m
＝

11.化简：(
x
－5＋
11. 解：原式＝
16
x
－1
)÷
2
.
x
＋3
x
－9
m
.
m－2
（x－5）（x＋3）＋16x－1
÷
2

x＋3x －9
x
2
－2x＋1x
2
－9
＝·(2分)
x＋3x－1
17

（x－1）
2
（x＋3）（x－3）
＝·
x＋3x－1
＝(x－1)(x－3)
＝x
2
－4x＋3.
命题点4 分式化简求值
【命题规律】1.考查形式：多以解答题形式设题，都是先化简分式 ，再求值，一般为三项分式运算，考查
分式加减乘除及括号等运算；2.题中所给字母为1个或2个，1 个居多．字母取值形式：①直接给出数值；②
自选一个数字；③在给定的数字中选取合适的数；④对给定 的方程求解，再进行取舍代值；⑤在整数范围内
任选数字等．
【命题预测】分式化简求值是一种命题的主要趋势，代值形式设题会比较灵活，考查题型为解答题． < br>2
x
－2
xx
12.先化简，再求值：
2
－，其中< br>x
＝－2.
x
－1
x
＋1
12. 解：原式＝
＝
＝
2x（x－1）
x
－
（x－1）（x＋1）x＋1
2
2xx
－
x＋1x＋1
x
.
x＋1
－2
x
＝＝2.
x＋1－2＋1
当x＝－2时，原式＝

13.先化简，再求值：(1＋
13. 解：原式＝
＝
＝
x2
·
x－1
x
2
.
x－1
xx
÷
x－1
2
1
x
)÷，其中
x
＝2016.
x
－12
当x＝2016时，原式＝


14.先化简，再求值：
14. 解：原式＝
1
a－1
＝＋
bb
a
＝.
b
222
＝＝.
x－12016－ 1
2015
11
a
－11
(－)＋，其中
a
＝2，
b
＝.
a
－
bbab
3
a
a
a－ba－1
·＋
b
a－b
ba
1a
故当a＝2，b＝时，原式＝＝2×3＝6.
3b


18

15.先化简，再求值：
15. 解：原式＝
＝
＝
a
＋362
a
－6
·
2< br>＋
2
，其中
a
＝3－1.
aa
＋6
a＋9
a
－9
a＋32（a－3）
6
·＋
a
（a＋3）
2
（a＋3）（a－3）
62
＋
a（a＋3）（a＋3）
6＋2a

a（a＋3）
2
＝.
a
当a＝3－1时，原式＝

2
＝3＋1.
3－1
x
2
＋
x
21
16.先化简，再求值：
2
÷(－ )，然后再从－2＜
x
≤2的范围内选取一个合适的
x
的整数值代入求
x
－2
x
＋1
x
－1
x
值．
16. 解：原式＝
＝
＝
＝
x（x＋1）x－1
2x
－]
2
÷[
（x－1）x（x－1）x（x－1）
x（x＋1）x＋1

2
÷
（x－1）x（x－1）
x（x＋1）x（x－1）
·
（x－1）
2
x＋1
x
2
.
x－1
当x＝－1，0，1时，原分式均无意义．
∴在－2＜x≤2范围内选取整数2求值．
2
2
此时原式＝＝4.
2－1

2
x
－
x
17.先化简，再求值：(1－ )·
2
，其中
x
是从1，2，3中选取的一个合适的数．
x
－1
x
－6
x
＋9
17. 解：原式＝
＝
＝
x－1－2x（x－1）
·
x－1（x－3）
2
2
x－3x（x－1）
·
x－1（x－3）
2
x
.
x－3
∵x－1≠0，x－3≠0,
∴x≠1且x≠3，
∴ 取x＝2，
∴原式＝


2
＝－2.
2－3
19

18.先化简，再求代数式(
18. 解：原式＝< br>＝
＝
22
a
－31
－
2
)÷的值，其中a
＝2sin60°＋tan45°.
a
＋1
a
－1
a
＋1
2（a－1）－（2a－3）
·(a＋1)
（a＋1）（a－1）
1
·(a＋1)
（a＋1）（a－1）
1
.
a－1
3
＋1＝3＋1，
2
∵a＝2sin60°＋tan45°＝2×
∴原式＝

13
＝.
3＋1－1
3
1
x
－1
19. 先化简，再求值：(－)÷
2
，其中
x
满足2
x
＋4＝0.
x
－3
x
－3
x
－6
x
＋9
x－ 1（x－3）
2
19. 解：原式＝·
x－3（x＋1）（x－1）
＝
x－3
，
x＋1
x
2
∵2x＋4＝0，
∴x＝－2，
∴原式＝
－2－3
＝5.
－2＋1

中考冲刺集训
一、选择题
1.计算
x
＋11
－的结果为( )
xx
xx
1
x
＋2
A. 1 B.
x
C. D.
2.下列运算结果为
x
－1的是( )
1
x
－1xx
＋11
x
＋2
x
＋1
A. 1－ B.· C. ÷ D.
xxx
＋1
xx
－1
x
＋1
22
a
2
－
b
2
ab
－b
2
3.化简－等于( )
abab
－
a
2
A. B. C. － D. －
二、填空题
b
a
a
b
b
a
a
b
xy
2
4.计算：＝________．
xy
a
2
－
b
2
5.若
a
＝2
b
≠0，则2
的值为________．
a
－
ab
1－4
a
6.计算的结果是________．
2
a
＋1
20

2
7.化简：(
a2
a
－3
＋
9
a
＋3
)÷＝________ ．
3－
aa
三、解答题
m
2
－91
8.化简：
2
÷(1－)．
3
m
－6
mm
－2




2
x
2
＋4
x
＋44＋
x
9. 化简：

2
÷(2
x
－)．
x
＋2
xx





10.先化简，再求值：




a
－4
a
＋2
a
－1
÷(
2
－
2
)，其中
a
＝2.
aa
－2
aa
－4
a
＋4
a
2
＋
a
21
2
11.先化简，再求值：
2
÷(－)，其中
a
是方程2
x
＋
x
－3＝0的解．
a
－2
a
＋1
a
－1
a




a
2
＋4
a
4
a
－2
12.先化简(－)·
2
，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
a
－22－
aa
－4




x
3
－4
x
2
13.先化简，再求值：
2
÷(1－) ，其中
x
＝2sin60°－1.
x
＋4
x
＋4
x



21

14.先化简，再求值：(




a
＋1
a
－1
a
－1
－
2
)÷，其中
a＝3＋1.
2
a
－
aa
－2
a
＋1
a
x
2
－4
x
＋4
x
＋4
2
15 .先化简，再求值：(1－)÷－，其中
x
＋2
x
－15＝0.
2
xx
－4
x
＋2
2





16.先化简，再求值：(





17.化简：
2
x
2
x
＋4
x
＋2
－
2
÷
2
，然后在不等式
x
≤2的非负整数解中选择一个 适当的数代入求值．
x
＋1
x
－1
x
－2
x＋1
12
x
＋2
＋
2
)÷，其中实数
x
，
y
满足
y
＝
x
－2－4－2
x
＋1.
x
－
yx
－
xy
2
x




答案与解析：
1. A 【解析】
x＋1
1
x＋1－1
x
－＝＝＝1.
xxxx
2. B 【解析】逐项分析如下：
选项
A
B
C
D
逐项分析
1
x－1
1－＝≠x－1
x x
x
2
－1
x
（x＋1）（x－1）
x
·＝·＝x －1
x
x＋1
x
x＋1
x＋1
1
x＋1x
2
－1
÷＝·(x－1)＝≠x－1
x
x－1
xx
x< br>2
＋2x＋1（x＋1）
2
＝＝x＋1≠x－1
x＋1x＋1
正误
×
√
×
×
（a＋b） （a－b）b（a－b）（a＋b）（a－b）
b
（a＋b）（a－b）＋b
2
3. B 【解析】原式＝－＝＋＝＝
ababaab
a（b－a）
22

a
2
－b
2
＋b
2
a
2
a
＝＝
，故答案为B.
ababb
4. y 【解析】先找出分式的分子、分母的公因式是xy，所以约分直接得到答案为y.
（a＋b）（a－b）a＋b2b＋b
33
5. 【解析】原式＝＝
，∵a＝2b≠0，∴原式＝
＝.
2a2b2
a（a－b）
6. 1－2a 【解析】原式＝
（1－2a）（1＋2a）
＝1－2a.
2a＋1
a＋3a
2
－9a＋3
a
2
9a
7. a 【解析】原式＝(－)÷＝÷＝(a＋3)·＝a.
a
a－3a－3a－3
a
a＋3
（m－3）（m＋3）m－2
1
8. 解：原式＝÷(－)
3m（m－2）m－2m－2
＝
＝
（m－3）（m＋3）m－2
·
3m（m－2）m－3
m＋3
.
3m
（x＋2）
2
2x
2
－4－x
2
9. 解：原式＝÷
x
x（x＋2）
（x＋2）
2
x
＝·
x（x＋2）（x＋2）（x－2）
＝
1
.
x－2
a－4a＋2a－1
÷[－]
a
a（a－2）（a－2）
2
10. 解：原式＝
＝
a－4（a＋2）（a－2）a（a－1）
÷[－]
a
a（a－2）
2
a（a－2）
2
a－4a
2
－4－a2
＋a
＝÷
a
a（a－2）
2
a－4a（a－2）
2
＝·
a
a－4
＝a
2
－4a＋4.
当a＝2时，
原式＝(2)
2
－4×2＋4＝6－42.
a（a＋1）2a－（a－1）
11. 解：原式＝÷
（a－1）
2
a（a－1）
＝
＝
a（a＋1）a（a－1）
·
（a－1）
2
a＋1
a
2
.
a－1
3< br>由2x
2
＋x－3＝0，得x
1
＝1，x
2
＝－，
2
3
又∵a－1≠0，∴a＝－.
2
3
（－）
2
2
9
∴原式＝＝－.
310
－－1
2
23

a
2
＋4a＋4a－2
12. 解：原式＝·
a－2a
2
－4
（a＋2）
2
a－2
＝·
a－2（a＋2）（a－2）
＝
a＋2
.
a－2
a＋21＋2
＝＝－3；
a－21－2
3＋2
＝5.(任意一值代入均可得分)
3－2
由题意，a≠2，
当a取1时，原式＝
当a取3时，原式＝
x（x
2
－4）x－2
13. 解：原式＝÷
x
（x＋2）
2
＝
x（x＋2）（x－2）
x
·
2
（x＋2）x－2
x
2
＝.
x＋2
∵x＝2sin60°－1＝2×
3
－1＝3－1，
2（3－1）
2
4－23（4－23）（3－1）63－10
∴原式＝＝＝＝＝33 －5.
2
3－1＋23＋1（3＋1）（3－1）
14. 解：原式＝[
＝[
＝
＝
a＋1a－1
a
－]·
a（a－1）（a－1）
2
a－1
a＋1
1a
－]·
a（a－1）a－1a－1
1a
·
a（a－1）a－1
1
.
（a－1）
2
11
＝.
（3＋1－1）
2
3
将a＝3＋1代入可得，原式＝
x－2（x－2 ）
2
x＋4
15. 解：原式＝÷－
x
（x＋2）（x－2）x＋ 2
＝
＝
x－2（x＋2）（x－2）x＋4
·－
x
（x－2）
2
x＋2
x＋2x＋4
－
x
x＋2
（x＋2）
2
－x（x＋4）
＝
x（x＋2）
＝
4
.
x
2
＋2x
∵x
2
＋2x－15＝0，
∴x
2
＋2x＝15.(通过解方程得x值为－5，3也正确)
∴原式＝
4
.
15
x22x
＋]·
x（x－y）x（x－y）x＋2
24

16. 解：原式＝[
＝
＝
x＋2
2x
·
x（x－y）x＋2
2
，
x－y
而x，y满足条件y＝x－2－4－2x＋1，
∴被开方数x－2与4－2x都是非负数，
∴x＝2，y＝1.
把x＝2、y＝1分别代入化简后的式子，得
2
＝2.
x－y
2（x＋2）（x－1）
2
2x
17. 解：原式＝－· < br>x＋1（x＋1）（x－1）x＋2
＝
＝
＝
2x－2
2x－
x＋1x＋1
2x－2x＋2

x＋1
2
.
x＋1
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，且当x＝1时原分式无意义，
∴x可取0或2，
当x＝0时，原式＝2，
2
当x＝2时，原式＝.(任选一值代入均可得分)
3

第四讲 方程(组)及其应用
命题点分类集训
命题点1 一次方程(组)及其应用
【命题 规律】1.考查内容：①解一元一次方程；②解二元一次方程组；③一次方程(组)的实际应用.2.实际
应用题背景主要有：购买分配类问题；3.三大题型均有设题，解答题居多．
【命题预测】一次方程(组) 及其应用是命题主流趋势之一，解答题考查一次方程(组)的解法应做到 不丢
分，实际应用问题会与不等式(组)结合，也应引起重视．
1.方程2
x
＋3＝7的解是( )
A.
x
＝5 B.
x
＝4 C.
x
＝3.5 D.
x
＝2
1. D 【解析】2x＋3＝7，2x＝4，x＝2，∴选项D正确．
2.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母， 1个螺钉需要配2个螺 母，为使每天生
产的螺钉和螺母刚好配套，设安排
x
名工人生产螺钉，则下面所列方程 正确的是( )
A. 2×1000(26－
x
)＝800
x
B. 1000(13－
x
)＝800
x
C. 1000(26－
x
)＝2×800
x
D. 1000(26－
x
)＝800
x

2. C 【解析】本题要求螺钉和螺母配套，且1个螺钉需要配2个螺母，所以螺母的数量是螺钉的2倍. 不难
得出，x名工人生产螺钉的个数为800x个，则(26－x)名工人生产螺母的个数是1000×(26－x) 个，根据其等量
关系得：1000×(26－x)＝2×800x，故选C.
3.有一根40 cm的金属棒，欲将其截成
x
根7 cm的小段和
y
根9 cm的小段，剩余 部分作废料处理，若使废料
最少，则正整数
x
、
y
应分别为( )
A.
x
＝1，
y
＝3 B.
x
＝4，
y
＝1 C.
x
＝3，
y
＝2 D.
x
＝2，
y
＝3
25

3. C 【解析】根 据题意得：7x＋9y≤40，则x≤
40－9y
，∵40－9y≥0，且y是正整数，∴y的 值可以是1或2
7
3122
或3或4.当y＝1时，x≤
，则x＝4，此时， 所剩的废料是：40－1×9－4×7＝3 cm；当y＝2时，x≤，则
77
x＝3，此时，所剩的废料是：40－2×9－3×7＝1 cm；当y＝3时，x≤
13
，则x＝1，此时，所剩的废料是：40
7
4< br>－3×9－1×7＝6 cm；当y＝4时，x≤
，则x＝0(舍去)．则符合题意的是：x＝3，y＝2.
7
4.为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台 数
1
的还少5台，则购置的笔记本电脑有________台．
4
4. 16 【解析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为4(x＋5)台，根据两种电脑的台数共100 台，
列方程得4(x＋5)＋x＝100，解得x＝16台．
?
?
x
－
y
＝2
5.解方程组：
?
.
?
x
－
y
＝
y
＋1
?
?
?
x－y＝2 ①
5. 解：
?

x－y＝y＋1 ②
?
?
解法一：
把①代入②，得2＝y＋1，则y＝1，
把y＝1代入①，得x－1＝2，
∴x＝3，
?
?
x＝3
∴原方程组的解为
?
.
?
y＝1
?
解法二：
由②－①，得0＝y＋1－2，
∴y＝1.(1分)
把y＝1代入①，得x－1＝2，
∴x＝3，
?
?
x＝3
∴原方程组的解为
?
.
y＝1
?
?

6.为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校 足球队购买一批足球，已知购买2个
A
品牌的足球和3个
B
品牌的足球共需3 80元，购买4个
A
品牌的足球和2个
B
品牌的足球共需360元．
(1)求
A
、
B
两种品牌的足球的单价；
(2)求该校购 买20个
A
品牌的足球和2个
B
品牌的足球的总费用．
6. 解：(1)设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，
?
?
2x＋3y＝380
则有
?
，
?
4 x＋2y＝360
?
?
x＝40
?
解得
?
， y＝100
?
?
∴A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为10 0元/个．
(2)40×20＋100×2＝1000(元)．
∴总费用为1000元．


26

命题点2 一元二次方程及其应用
【命题规 律】考查题型及形式：①一元二次方程解法常在选择题或解答题中考查，常考的解法是因式分解
和配方法 ；②根的判别式一般在选择题和填空题中设题，求方程中某个参数的取值范围；③根与系数关系常
为根据 一元二次方程，在不求解方程根的情况下，利用方程根与系数的关系，求两根之和(积)或某个参数；
④ 一元二次方程实际应用考查增长(下降)率．
【命题预测】一元二次方程的解法和实际应用是一种命题 趋势；而根的判别式为2011版新课标选学内容，
在练习中应逐渐渗透．
7.一元二次方程
x
－6
x
－5＝0配方后可变形为( )
A. (
x
－3)＝14 B. (
x
－3)＝4 C. (
x
＋3)＝14 D. (
x
＋3)＝4
7. A
8.一元二次方程2
x
－3
x
＋1＝0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. B
9.一元二次方程
x
－3
x
－2＝0的两根为
x
1
，
x
2
，则下列结论正确的是( )
A.
x
1
＝－1，
x
2
＝2 B.
x
1
＝1，
x
2
＝－2 C.
x
1
＋
x
2
＝3 D.
x
1
x
2
＝2
9. C
10.若
x< br>1
，
x
2
是一元二次方程
x
－2
x
－1＝0的两个根，则
x
1
－
x
1
＋
x
2
的值为( )
A. －1 B. 0 C. 2 D. 3
22
10. D 【解析】由题意可得x
2
1
－2x
1－1＝0，x
1
＋x
2
＝2，即x
1
－2x
1
＝1，所以原式＝x
1
－2x
1
＋
(
x
1
＋x
2
)
＝1＋2＝
22
2
2
2222< br>2
3.
11.方程
x
－1＝2的解是________．
11. x＝5 【解析】方程两边平方得，x－1＝4，解得 x＝5，经检验，x＝5是原方程的解
12.若关于
x
的一元二次方程
x
＋3
x
－
k
＝0有两个不相等的实数根，则实数
k
的取值范围是________．
9
12. k＞－ 【解析】∵一元二次方程x
2
＋3x－k＝0有两个不相 等的实数根，∴b
2
－4ac＝3
2
－4×1×(－k)＞0，
4< br>9
即9＋4k＞0，解得k＞－.
4
13.某种药品原来售价100元，连续 两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是
________．
13. 10% 【解析】设降价的百分率是x，则100(1－x)
2
＝81，解得 x
1
＝0.1，x
2
＝1.9(舍去)，故这两次降价的百
分率是1 0%.
14.解方程：2(
x
－3)＝
x
－9.
14. 解：原方程可化为2(x－3)
2
＝(x＋3)(x－3)，
2(x－3)
2
－(x＋3)(x－3)＝0，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，
(x－3)(x－9)＝0，
∴x－3＝0或x－9＝0，
∴x
1
＝3，x
2
＝9.
【一题多解】原方程可化为x
2
－12x＋27＝0，
这里a＝1，b＝－12，c＝27，
∵b
2
－4ac＝(－12)
2
－4×1×27＝36>0，
27

22
2
－b±b
2
－4ac
12 ±3612±6
∴x＝＝＝
，
2a2
2×1
∴原方程的根为x1
＝3，x
2
＝9.

15.某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．
(2)按照义务教育 法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长
情况，该地区 到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．
(参考数据：1.21＝1.1，1.44＝1.2，1.69＝1.3，1.96＝1.4)
15. 解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
由题意得：2900(1＋x)
2
＝3509，
解得x
1
＝0.1，x
2
＝－2.1(不符合题意舍去)．
答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为
3509(1＋10%)
2
＝4245.89(万元)．
因为4245.89＜4250，
所以教育经费不能达到4250万元．
答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．
方法指导求平均 变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次
变化后的数量关 系为a(1±x)
2
＝b.


命题点3 分式方程及其应用 < br>【命题规律】考查形式：1.分式方程的解法主要考查可化为一元一次方程的分式方程；2.实际应用常考 类
型——行程问题(关系式中存在两个量的乘积等于第三量)；3.三大题型中均有设题，解答题居多．
【命题预测】分式方程的解法和实际应用的考查是一种主流命题趋势，做题时要熟练掌握解分式方程的步
骤和实际应用常考类型的关系式．
16.方程
2
x
＋1
＝3的解是( )
x
－1
44
A. － B. C. －4 D. 4
55
16. D 【解析】本题考查解分式方程，原方程两边同时乘以x－1，得2x＋1＝3 (x－1)，解得x＝4，把x＝4代
入x－1＝3≠0，所以x＝4是原分式方程的根．
1 7.关于
x
的方程
3
x
－2
m
＝2＋无解，则m
的值为( )
x
＋1
x
＋1
A. －5 B. －8 C. －2 D. 5
3x－2
m
17. A 【解析 】方程＝2＋转化为整式方程为(3x－2)＝2(x＋1)＋m，解得x＝4＋m，根据题意，方程
x ＋1x＋1
无解，即是方程的增根是使得分母为0的根，令x＋1＝0，解得x＝－1，即x＝4＋m＝ －1，解得m＝－5，故
选A.
18.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg，甲搬运5000 kg所用时间与乙搬运
8000 kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物．设甲每小时搬运
x
kg货物，则可列方程
28

为( )
A.
50008000
＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
x
－600
xxx
＋600
x
＋600
xxx
－6005000
x
18. B 【解析】甲每小时搬运x kg货物，则乙每小时搬运(x＋600)kg货物，甲搬运5000 kg货物所用时间为
小时，乙搬运8000 kg货物所用时间为
所用时间相等”列方程：19.若关于
x
的方程
8000
小时，根据等量关系“甲搬运5000 kg所用时间与乙搬运8000 kg
x＋600
50008000
＝.
x
x＋600
ax
＋1
－1＝0有增根，则
a
的值为____ ____．
x
－1
19. －1 【解析】将方程两边同时乘以x－1，得ax＋1 －x＋1＝0，则(a－1)x＋2＝0，∵原方程有增根，∴x
＝1，将x＝1代入(a－1)x＋2 ＝0中，得a－1＋2＝0，a＝－1.
20.解方程：
14
－
2
＝1.
x
－2
x
－4
20. 解：去分母，得x＋2－4＝x
2
－4，
移项、整理得x
2
－x－2＝0，
解方程，得x
1
＝2，x
2
＝－1，
经检验：x
1
＝2是增根，舍去；x
2
＝－1是原方程的根，
所以原方程的根是x＝－1.

21.

x
－33
＋1＝.
x
－22－
x
解得x＝1，
检验：x＝1时，x－2＝－1≠0，2－x＝2－1＝1≠0，
∴原方程的解为x＝1.
21. 解：去分母得x－3＋x－2＝－3，

22.甲、乙两同学的家与学校的 距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校．乙同学骑自行
1
车去学校 ．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时
2从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
(1)求乙骑自行车的速度；
(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
22. 解：(1)设乙骑自行车的速度为2x米/分，则甲步行的速度为x米/分，公交车的速度为4x米/分．
由题意列方程为：
解得： x＝150，
经检验得：当x＝150时，等式成立，
∴2x＝2×150＝300 ，
答：乙骑自行车的速度为300米/分．
(2) 甲到达学校的时间为
600
3000－600
600
3000－600
＋＝＋＝8，
x4x150
4×150
600
3000－600
3000
＋＋2＝ ，
x4x2x
∴乙8分钟内骑车的路程为：300×8＝2400(米)，
∴乙离学校还有3000－2400＝600(米)．
29

答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．





30

中考冲刺集训
一、选择题
1.方程2
x
－1＝3
x
＋2的解为( )
A.
x
＝1 B.
x
＝－1 C.
x
＝3 D.
x
＝－3
2.在解方程
x
－1
3
＋
x
＝
3
x
＋1
时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( )
2
A. 2
x
－1＋6
x
＝3(3
x
＋1) B. 2(
x
－1)＋6
x
＝3(3
x
＋1)
C. 2(
x
－1)＋
x
＝3(3
x
＋1) D. (
x
－1)＋6
x
＝3(
x
＋1)
3.下列选项 中，能使关于
x
的一元二次方程
ax
－4
x
＋
c< br>＝0一定有实数根的是( )
A.
a
＞0 B.
a
＝0 C.
c
＞0 D.
c
＝0
4. 已知关于
x
的一元二次方程
x
＋
mx
－8＝0的一个实数根 为2，则另一实数根及
m
的值分别为( )
A. 4，－2 B. －4，－2 C. 4，2 D. －4，2
5.已知关于
x
，
y
的方程x
2
m
－
n
－2
2
2
＋4
y
m
＋
n
＋1
＝6是二元一次方程，则
m
，
n
的值为( )
A.
m
＝1，
n
＝－1 B.
m
＝－1，
n
＝1
1414
C.
m
＝，
n
＝－ D.
m
＝－，
n
＝
3333
6.为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2 棵，设男生有
x
人，女生有
y
人，根据题意，所列方程组正确的是( )
?
x
＋
y
＝78
?
x
＋
y
＝78
?
x
＋
y
＝30
?
x
＋
y
＝30
????
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?

?
3
x
＋2
y
＝30
?
2
x
＋3
y
＝30
?
2
x
＋3
y
＝78
?
3
x
＋2
y
＝78
????
7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车 已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显
示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知 2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底
至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长 率为
x
.根据题意列方程得( )
A. 10(1＋
x
)＝16.9 B. 10(1＋2
x
)＝16.9 C. 10(1－
x
)＝16.9 D. 10(1－2
x
)＝16.9
8.有
x
支球队参加篮球比赛，共比 赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
11
A.
x
(
x
－1)＝45 B.
x
(
x
＋1)＝45 C.
x
(
x
－1)＝45 D.
x
(
x
＋1)＝45
22
二、填空题
?
?
x
＋2
y
＝2
9.方程组
?
的解是_____ ___．
2
x
＋
y
＝4
?
?
22
12
10.方程 ＝的解是________．
2
xx
－3
11 .已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程
x
－8
x
＋15＝0的根， 则该等腰三角形的周长为________．
12.方程2
x
－4＝0的解也是关于
x
的方程
x
＋
mx
＋2＝0的一个解，则
m
的值为________．
13.关于
x
的一元二次方程
x
＋2
x
－2
m
＋1＝0的两实数根之积为负，则实数
m
的取值范 围是________．
三、解答题
14.解方程：


31

2
2
2
x
＋14
＋＝1.
x
－11－
x
2


15.世界读书日，某书店举 办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价
总和为150元，《汉 语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元
买了这两 本书，求这两本书的标价各多少元．









16.
A
、
B
两种型号的机器加 工同一种零件，已知
A
型机器比
B
型机器每小时多加工20个零件，
A
型机器加工
400个零件所用时间与
B
型机器加工300个零件所用时间相 同，求
A
型机器每小时加工零件的个数．










17.为满足市场需求，新生活超市 在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子
每个售价为4元时，每天能 出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利
益，物价部门规定 ，该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使
超市每天 的销售利润为800元．







32







18.某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前 2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分
之几？





1. D 2. B
3. D 【解析】该方程是一元二次 方程，则有a≠0，该一元二次方程根的判别式为b
2
－4ac＝16－4ac，要
使 原方程一定有实数根，只需b
2
－4ac≥0即可．A选项中a＞0，若c＞0，16－4ac 可能小于0，不符合题意；
B选项中一元二次方程a不能为0，不符合题意；C选项同A选项，不符合题 意；D选项中当c＝0时，b
2
－4ac
＝16＞0，符合题意，故选D.
4. D 5. A
6. D 【解析】∵男生有x人，女生有y人，学生人数是30，∴x ＋y＝30.∵男生每人种3棵，女生每人种
?
?
x＋y＝30
2棵，共种7 8棵，∴3x＋2y＝78.因此所列方程组是
?
，故选D.
?
3x＋2y＝78
?
7. A 【解析】因为年平均增长率为x，从201 3年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为
16.9万辆，则可列方程10(1＋x )
2
＝16.9.
1
8. A 【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场 ，每队参加x－1场比赛，共比赛x(x－1)场比赛，根据
2
1
题意列出一元二次方 程x(x－1)＝45.故选A.
2
?
?
x＝2
9.
?

?
y＝0
?
10. x＝－1 【解析】化简
12
＝得x－3＝4x，则－3x＝3，所以x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根．
2x
x－3
11. 19或21或23 【解析】解方程x
2
－8x ＋15＝0，得x
1
＝3或x
2
＝5，等腰三角形的一边为9，则有这样几种情况：3、9、9；5、9、9；5、5、9，周长分别为21或23或19.
12. －3 【解析】∵ 2x－4＝ 0，解得 x＝2，把x＝2代入方程x
2
＋mx＋2＝0，解得 m＝－3.
b－4ac＞0
?
?
1
13. m＞ 【解析】一元二 次方程两实数根之积为负，则方程应满足条件
?
，即
c
2
x·x＝＜ 0
12
?
a
?
?
4－4（1－2m）＞0
?
1
?
，解得 m＞
.
2
?
1－2m＜0
?
2
14. 解：方程两边都乘以(x＋1)(x－1)得，
33

(x＋1)
2
－4＝x
2
－1，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，分母x－1＝0，
∴原方程无解．
15. 解：设《汉语成语大词典》的标价是x元，《中华上下五千年》的标价是y元，依题意得：
?
?
x＋y＝150
?
，
50%x＋60%y＝80?
?
?
x＝100
?
解得
?
.
?< br>y＝50
?
答：《汉语成语大词典》的标价是100元，《中华上下五千年》的标价是5 0元．
16. 解：设A型机器每小时加工x个零件，则B型机器每小时加工(x－20)个零件．
依题意得：
400300
＝
，
x
x－20
∴400x－8000＝300x，
∴100x＝8000，
解得x＝80.
经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：A型机器每小时加工80个零件．
17. 解：设上涨x元，
x
(4＋x－3)(500－×10)＝800，
0.1
x
2
－4x＋3＝0，
∴x
1
＝1，x
2
＝3.
3×200%＝6，∵x＝3时，售价为7元，而7＞6，
∴应取x＝1，
∴x＝1即售价为5元时使超市每天的销售利润为800元．
18. 解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米，
由题意得：
12001200
－＝4，
x
（1＋50%）x
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，又符合实际意义．
答：这个工程队原计划每天修建道路100米．
(2)由题意得，1200÷100＝12(天)，
又∵1200÷(12－2)＝120(米)，
∴
（120－100）
×100%＝20%.
100
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.
第五讲 不等式(组)及不等式的应用
命题点分类集训
命题点1 解不等式(组)及其解集表示 < br>【命题规律】1.考查内容：①解一次不等式；②解一次不等式并在数轴上表示解集；③解一次不等式组；
④解一次不等式组并在数轴上表示解集；⑤求一次不等式组的整数解；⑥通过不等式组的解集确定不等式 中
未知字母；⑦结合程序框图考查不等式的解集.2.解不等式组及其解集在数轴上的表示考查较多，均 在选择题
或解答题中考查，填空题主要考查不等式(组)的解集．
【命题预测】解不等式(组 )及其解集在数轴上表示是全国命题趋势之一，特别要注意解集在数轴上的表示
34

方法．
1.将不等式3
x
－2＜1的解集表示在数轴上，正确的是( )

1. D
?
?
－
x
<1
2.关于x
的不等式组
?
，其解集在数轴上表示正确的是( )
?
x
－2≤0
?

2. D
2
x
－1≤1
?
?
3不等式组
?
1
的整数解的个数为( )
－
x
＜1
?
?
2
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
2x－1≤1 ①
?
?
3. C 【解 析】根据不等式的性质求出不等式组的解集，再找出整数解．解不等式组
?
1
，由①得 ：
－x＜1 ②
?
2
?
x≤1，由②得：x>－2，∴不等式组的解 集为－2＜x≤1，∴不等式组的整数解有－1、0、1三个．
4.不等式3(
x
－1)≤5－
x
的非负整数解有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. C 【解析】将不等式化简 ：去括号得，3x－3≤5－x；移项、合并同类项得，4x≤8；系数化为1得，x≤2，
35

故原不等式的非负整数解为0，1，2，共3个，故选C.
1
5.不等式－
x
＋3＜0的解集是________．
2
1
5. x＞6 【解析】本题考查了一元一次不等式的解法．移项得，－x＜－3，系数化为1得，x＞6.
2
?
?
x
≥－
a
－1 ①
－
a< br>6.已知不等式组
?
，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则
b
的值为
?
－
x
≥－
b
②
?
________．
1
6. 【解析】解不等式②得x≤b，由不等 式组的解集在数轴上的表示可得－
3
1
－－
2≤x≤3，所以得到－a－1＝ －2，b＝3，解得a＝1，所以b
a
＝3
1
＝.
3
7. 对一个实数
x
按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数
x
”到“结果是否大于88？”
为一次操作，如果操作只进行一次就停止，则
x
的取值 范围是________．

7. x＞49 【解析】该操作程序相当于是按照2x－10 来运算的，如果操作只进行一次就停止，则2x－10＞88，
解得x＞49.
8.解不等式 2
x
－1>
3
x
－1
，并把它的解集在数轴上表示出来．
2
8. 解：去分母得4x－2>3x－1，
解得x>1.
这个不等式的解集在数轴上表示如解图所示：


2
x
＋ 5＞3（
x
－1）
?
?
9.解不等式组：
?
.
x
＋7
4
x
＞
?
2
?
9. 解：解不等式2x＋5>3(x－1)得x<8，
解不等式4x>
x＋7
得x>1，
2
所以不等式组的解集为1
36

?
?
3
x
＋1≤2（
x
＋1）
10.解不等式 组
?
，并写出它的整数解．
－
x
<5
x
＋12
?
?
10. 解：解不等式3x＋1≤2(x＋1)，得x≤1，
解不等式－x＜5x＋12，得x>－2，
∴不等式组的解集是－2∴该不等式组的整数解是－1，0，1.


?
x
＋2≤6 ①
?
11.解不等式组
?
.
3
x
－2≥2
x
②
?
?
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得____________；
(Ⅱ)解不等式②，得____________；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：



(Ⅳ)原不等式组的解集为____________．
11. 解：(Ⅰ)x≤4；
(Ⅱ)x≥2；
(Ⅲ)
(Ⅳ)2≤x≤4.
命题点2 一次不等式的实际应用
【命题规律】1.考查内容：①列不等式解决实际问题，常与方程、函数结合考 查；②不等式建模，并解出
最终结果.2.命题常涉及的不等关系词有：大于、小于、超过、至少、至多 、最多、不超过等．
【命题预测】一次不等式的实际应用常与方程、函数结合考查，解题时注意提取题中的关键词．
12.东营市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)，超过3千米以后 ，
每增加1千米，加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是
x
千米，出租车费为15.5
元，那么
x
的最大值是( )
A. 11 B. 8 C. 7 D. 5
12. B 【解析】设他乘此出租车从甲地到乙地行驶 的路程是x千米，依题意得8＋1.5(x－3)≤15.5，解得x≤8.
即他乘此出租车从甲地到乙 地行驶路程不超过8千米，最大值为8.故选B.
13.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖10 0千克，其中各种糖果的单价和千克数如下表所示，商家用加
权平均数来确定什锦糖的单价；


单价(元/千克)

千克数

(1)求该什锦糖的单价；
甲种糖果

15

40

乙种糖果

25

40

丙种糖果
30
20
37

(2)为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲 、丙两种糖果共100千克，问其中
最多可加入丙种糖果多少千克？
15×40＋25×40＋30×20
13. 解：(1)由题意得＝22(元/千克)．
100
答：该什锦糖每千克22元．
(2)设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果(100－x)千克，由题意得
解得x≤20.
答：最多可加入丙种糖果20千克．

命题点3 方程与不等式的实际应用
【命题规律】1.考查形式：一般为2～3问，第1问为方程(组) 的实际应用，第 2 问会涉及不 等关系式，
考查不等式的实际应用，若有第3问，一般会涉及方案的选取或求最优方案等，题型均为解答 题．
【命题预测】方程(组)与不等式的实际应用将是全国命题的主流形式之一，利用方程(组)与不 等式综合考查
方案设计问题应引起重视．
14.某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售 完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量
是第一次的一半，但进价每件比第一批 降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200 元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每
件至少要售多少元？
145002100
14. 解：(1)设第一次购进这种衬衫x件，第二次购进这种衬衫x件，根据题意得：＝＋10，
2x1
x
2
解得x＝30，
经检验x＝30是原方程的解，且符合题意，
11
∴x＝×30＝15.
22
答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件．
(2)设第二批衬衫每件销售a元，根据题意得：
30×(200－
45002100
)＋15×(a－)≥1950，
3015
30x＋15（100－x）＋22×100
≤20，
200
解得a≥170.
答：第二批衬衫每件至少要售170元.


15.早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立 即按原路步行回家，
拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校. 已知小明步行从学校到家所用的时间比 他骑自行车从家到学校所
用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
(1)求小明步行速度(单位：米/分)是多少；
(2)下午放学后，小明骑自行车回到家， 然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行
从家到图书馆的时间不超过骑自行车 从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
15. 解：(1)设小明步行速度为x米/分，则小明骑自行车的速度为3x米/分．根据题意得，
38

900900
＝＋10，
x3x
解得x＝60，
经检验x＝60是原分式方程的解，
答：小明步行速度是60米/分．
(2)设小明家到图书馆之间的路程为a米，根据题意得，
a900
≤2×
，
60
60×3
∴a≤600，
答：小明家与图书馆的路程最多为600米．

中考冲刺集训
一、选择题
?
?
x
>
a
1.已知不等式组
?
的解集是
x
≥1，则
a
的取值范围是( )
?
x
≥1
?
A.
a
<1 B.
a
≤1 C.
a
≥1 D.
a
>1 ?
?
2
x
＋2＞
x
2.不等式组
?
的 解集是( )
?
3
x
＜
x
＋2
?
A.
x
＞－2 B.
x
＜1 C. －1＜
x
＜2 D. －2＜
x
＜1
?
?
2
x
－1≥5
3.不等式组
?
的解集在数轴上表示为( )
?
8－4
x
＜0
?

?
?
x＋5＜5
x
＋1
4.不等式组
?
的解集是
x
＞ 1，则
m
的取值范围是( )
?
x
－
m
＞1
?
A.
m
≥1 B.
m
≤1 C.
m
≥0 D.
m
≤0
5.点
A
，
B
在数轴上的位置如图所示， 其对应的数分别是
a
和
b
.对于以下结论：
甲：
b
－
a
＜0；
乙：
a
＋
b
＞0；
丙：|
a
|＜|
b
|；
丁：＞0.
其中正确的是( )
A. 甲乙 B. 丙丁 C. 甲丙 D. 乙丁
6.不等式
b
a
x
＋12
x
＋2
2
＞3
－1的正整数解的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价， 以500元/块的价
格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( )
A. 103块 B. 104块 C. 105块 D. 106块
二、填空题
39

3
x
＋13
x
8.不等式＞＋2的解是________．
43
x
－1≤2－2
x
?
?
9.不等式组
?2
xx
－1
的解集是________．
＞
?
2?
3
10.不等式5
x
－3＜3
x
＋5的最大整数解是 ________．
?
?
x
＞－1
11.不等式组
?有3个整数解，则
m
的取值范围是________．
?
x
＜
m
?
三、解答题
13
12.
x
取哪些整数值时，不等式5
x
＋2＞3(< br>x
－1)与
x
≤2－
x
都成立？
22





2－
x
≤2（
x
＋4）
?
?
13.解不等式组
?
x
－1
，并写出该不等式 组的最大整数解．
x
<＋1
?
?
3







14.某商场计划购进
A
、
B< br>两种商品，若购进
A
种商品20件和
B
种商品15件需380元；若购 进
A
种商品15件
和
B
种商品10件需280元．
(1)求
A
、
B
两种商品的进价分别是多少元？
(2)若 购进
A
、
B
两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A
种商品多少件？










40





15.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完； 商场又以
52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了 200元，售价每台
也上调了200元．
(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算 将第二次
购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？











1 6.某市对初三综合素质测评中的审美与艺术维度进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩(满分100分)和平时成绩(满分100分)两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综 合评价得分大
于或等于80分时，该学生综合评价评为
A
等．
(1)孔明同 学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和
平 时成绩各得多少分？
(2)某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到
A
等吗？为什么？
(3)如果一个同学综合评价得分要达到
A
等，他的测试成绩至少要多少分？





答案与解析：
1. A 2. D 3. C
?
x＋5＜5x＋1 ①
?
4. D 【解析】
?
，解①得x＞1，解②得x＞1＋m，∵不等式组的解集是x＞1，∴m＋
?
x－m＞1 ②
?
41

1≤1，∴m≤0，故选D.
5. C 【解析】∵由数轴可知b<－3<06. D 【解析】 解不等式
x＋12x＋2
＞－1得，3(x＋1)＞2(2x＋2)－6，3x＋3＞4x＋4 －6，x＜5.∵小于5的
23
正整数有1，2，3，4，∴该不等式的正整数解有1，2，3 ，4，共4个，故选D.
7. C 【解析】设这批电话手表有x块，根据“销售总额超过5.5万元 ”列不等式得550×60＋500(x－60)
＞55000，解得x＞104，所以这批电话手表至 少有105块．
8. x＞－3 9. －3≤
1
10. 3 【解 析】由不等式5x－3＜3x＋5，移项，5x－3x＜5＋3，合并同类项，2x＜8，系数化为1，x＜4，
∴最大整数解为3.
11. 2＜m
≤
3 【解析】本题主要考查了一元一 次不等式组的计算，特别注意最后解集范围的确定．∵原不
等式组有3个整数解，且解集为：－1＜x＜ m，∴三个整数解为0，1，2，∴2＜m≤3.
5
12. 解：不等式5x＋2＞3(x－1)可化为：x＞－
，
2
13
不等式x≤2－x可化为：x≤1，
22
5
取公共部分：－＜x≤1，
2
∴满足条件的整数为－2，－1，0，1.
2－x≤2（x＋4）①
?
?
13. 解：
?
，
x－1
?
?
x＜
3
＋1 ②
解不等式①得，x≥－2；
解不等式②得，x＜1；
∴不等式组的解集为－2≤x＜1，
∴不等式组的最大整数解为x＝0.
14. 解：(1)设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元，
根据题意，得
?
2 0x＋15y＝380
?
x＝16
??
?
，解得
?
，
?
15x＋10y＝280
?
y＝4
??
答：A种商品 的进价为16元，B种商品的进价为4元．
(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(100－a)件，根据题意，得
16a＋4(100－a)≤900，
解得a≤
1252
＝41
，
33
∵a取正整数，
∴a的最大正整数解为a＝41，
答：最多能购进A种商品41件．
15. (1)【思路分析】根据 “第二次购入空调的数量＝第一次购入空调数量的2倍”，列方程求解即可．
解：设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题意，得
5200024000
＝2×
，
x
x＋200
解得x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解且符合实际意义．
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元．
(2)【思路分析】先分别计算出每次购入空调的销售额，然后再根据题意列不等式求解即可．
解：第一次购入空调：24000÷2400＝10(台)，销售额为：
42

3000×10＝30000(元)；
第二次购入空调：52000÷(2400＋200)＝20(台)，
设打折出售y台空调，则销售额为：
(3000＋200)×(20－y)＋(3000＋200)×0.95y＝64000－160y，
两次共获得的利润为：
30000＋(64000－160y)－(24000＋52000)＝18000－160y，
根据题意，得18000－160y≥(24000＋52000)×22%，
解得y≤8，
答：最多可将8台空调打折出售．
16. 解：(1)设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，
?
?
x＋y＝185
由题意得
?
，
?
8 0%x＋20%y＝91
?
?
?
x＝90
解得
?
.
y＝95
?
?
答：孔明同学测试成绩为90分，平时成绩为95分．
(2)设该同学平时成绩为100分，则他的综合评价得分为：
70×80%＋100×20%＝76＜80，
因此他的综合评价得分不可能达到A等．
(3)设他的测试成绩为a分，则
a×80%＋100×20%≥80，
解得a≥75.
答：他的测试成绩至少要75分．

第六讲 平面直角坐标系与函数
命题点分类集训
命题点1 直角坐标系中点坐标特征
【命 题规律】1.考查内容：①平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征；②对称点的坐标特征；③点平移
后 的坐标特征.2.题型为选择和填空，解题时只要能熟练掌握平面直角坐标系中点坐标的特征，便可迎刃而
解．
【命题预测】平面直角坐标系中点坐标的特征是函数部分的基础，命题值得关注．
1.在平面直角坐标系中，点
P
(－2，－3)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1. C 2.若将点
A
(1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点
B
，则点
B
的坐标为( )
A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (－1，－1) D. (－2，0)
2. C
3.平面直角坐标系中，点
P
(－2，3)关于
x
轴对称的点的坐标为( )
A. (－2，－3) B. (2，－3) C. (－3，2) D. (3，－2)
3. A 【解析】本题考查了直角坐标平面内的点关于x轴的对称点，点如果关于x轴对称，则它的横 坐标不变，
纵坐标互为相反数，于是点(－2，3)关于x轴对称的点的坐标为(－2，－3)，故选A .
4.已知点
P
(3－
m
，
m
)在第二象限，则
m
的取值范围是________．
?
3－m<0
4. m＞3 【解析】∵点P在第二象限，∴其横坐标是负数，纵坐标是正数，则根据题意得出不等式组
?
，
?
m>0
43

解得m＞3.
命题点2 函数自变量的取值范围
【命题规律】1.考查形式：①分式型——分式有意义的条件；②二次根式型— —二次根式有意义的条件；③分
式与二次根式综合型.2.题型为选择题和填空题，解题时要熟练掌握分 式和二次根式有意义的条件．
【命题预测】从全国命题趋势看，函数自变量取值范围是命题焦点之一，学生应熟练掌握.
5.函数
y
＝
1
中，
x
的取值范围是( )
x
＋2
A.
x
≠0 B.
x
＞－2 C.
x
＜－2 D.
x
≠－2
5. D
6. 在函数
y
＝
x
＋4
中，自变量
x
的取值范围是( )
x
A.
x
＞0 B.
x
≥－4 C.
x
≥－4且
x
≠0 D.
x
＞0且
x
≠－4
6. C
7.函数
y
＝2－3
x
的自变量
x
的取值范围是________．
2
2
7. x
≤
【解析】欲使函数有意义，则被开方数须是非负数，∴2－3x≥0，解得x≤.
3
3
命题点3 函数图象的判断与分析
【命题规律】考查内容：①以实际生 活为背景判断函数图象；②根据几何问题，一般为几何运动变化中，
图形面积变化与边长之间的关系、两 条线段长度关系、纵、横坐标关系等，判断函数图象.3.题型以选择题为
主，解题思路有两种：①根据 动点的运动轨迹及几何图形的性质，先确定转折点，再判断每个区间内相关量
的增减性；②通过题中条件 列出因变量与自变量的函数关系式，从而确定函数图象．
【命题预测】函数图象的判断与分析可以考查 学生各项综合能力，越来越受命题人的青睐，学生应多加练习.
8.星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去 观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回到家．图中的折线段
OA
－
AB< br>－
BC
是她出发后所在位置离家的距离
s
(km)与行走时间
t
(min)之间的函数关系．则下列图形中可以大致描
述蕊蕊妈妈行走的路线是( )

8. B 【解析】由题图可知，OA段离家的距离s逐渐增大，AB段离家的距离s不变， BC段离家的距离s又逐
渐减小，选项B中从圆心至圆弧上距离逐渐增大，在圆弧上距离圆心距离保持不 变，圆弧另一端至圆心距离
又逐渐减小，符合题图中离家距离的变化．
9.如图，正方形
ABCD
的边长为2 cm，动点
P
从点
A
出发，在正方形的边上沿
A
→
B
→
C
的方向运动 到点
C
停
止．设点
P
的运动路程为
x
(cm)，在 下列图象中，能表示△
ADP
的面积
y
(cm)关于
x
(c m)的函数关系的图象是
( )
2

9. A 【解析】当点P在AB上 运动时，边AD恒定为2，高不断增大到2停止，则y随x的增大呈直线型由0
增大到2，排除B、D； 当点P在BC上运动时，△APD的边AD及AD边上的高均恒定不变，则随着x的增大，
y值保持不变 ，排除C，故选A.
10.如图所示，向一个半径为
R
，容积为
V
的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积
y
与容器内水深
x
间
44

的函数关系的图象可能是( )

10. A 【解析】在函数 图象上，图象越靠近y轴正半轴，则容器内水体积增大的速度越大；当x＜R时，球形
容器中水平面圆的 半径逐渐增大，故随着x的增大，容器内水的体积增大的速度为先小后大，故排除B、C、
D；当x＞R 时，球形容器中水平面圆的半径逐渐减小，故随着x的增大，容器内水的体积增大的速度为先大后
小，故 选A.
11.一段笔直的公路
AC
长20千米，途中有一处休息点
B
，
AB
长15千米．甲、乙两名长跑爱好者同时从点
A
出
发．甲以 15千米/时的速度匀速跑至点
B
，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点
C
；乙以
12千米/时的速度匀速跑至终点
C
.下列选项中，能正确 反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程
y
(千米)与时
间
x
(小时 )函数关系的图象是( )

11. A 【解析】由题意可知：甲所跑路程分为3个时段 ：开始1小时，以15千米/时的速度匀速由点A跑
33
至点B，所跑路程为15千米；第1小 时至第小时休息，所跑路程不变；第小时至第2小时，以10千米/时的
22
速度匀速跑至终点 C，所跑路程为5千米，即甲累计所跑路程为20千米时，所用时间为2小时，并且甲开始1
3
小时内的速度大于第小时至第2小时之间的速度．因此选项A、C符合甲的情况．乙从点A出发，以12千米2
5
/时的速度匀速一直跑至终点C，所跑路程为20千米，所用时间为小时，并且乙的速 度小于甲开始的速度但大
3
于甲第3段的速度．所以选项A、B符合乙的情况．综上故选A.
12.如图，点
A
的坐标为(0，1)，点
B
是
x
轴正半轴上的一动点，以
AB
为边作等腰直角△
ABC
，使∠
BAC
＝
90°，设点
B
的横坐标为
x
，点
C
的 纵坐标为
y
，能表示
y
与
x
的函数关系的图象大致是( )

12. A 【解析】如解图，作CD⊥y轴于点D，则OD＝y，AD＝y－1.∵∠ BAC＝∠AOB＝∠ADC＝90°，

∴∠DAC＋∠ACD＝∠DAC＋∠OAB＝9 0°，∴∠OAB＝∠DCA，∵AB＝AC，∴△DCA≌△OAB(AAS)，
∴AD＝OB＝x， ∴y－1＝x，即y＝x＋1，又x＞0，故A选项符合．
13.在四边形
ABCD
中，∠
B
＝90°，
AC
＝4，
AB
∥
CD
，
DH
垂直平分
AC
，点
H
为垂足．设
AB＝
x
，
AD
＝
y
，则
y
关
于
x
的函数关系用图象大致可以表示为( )
45


11
13. D 【解析】∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴AH＝CH＝AC＝×4＝2， CD＝AD＝y.在Rt△ADH中，DH
22
＝AD
2
－AH
2< br>＝y
2
－2
2
，在Rt△ABC中，BC＝AC
2
－ AB
2
＝4
2
－x
2
，∵S
四边形
ABC D
＝S
△
ACD
＋S
△
ABC
，∴
1(y＋
2
11
x)·4
2
－x
2
＝×4×y< br>2
－2
2
＋x·4
2
－x
2
，即y·42
－x
2
＝4×y
2
－2
2
，两边平方得y< br>2
(4
2
－x
2
)＝16(y
2
－2
2
)，
22
8
16y
2
－x
2
y
2
＝16y
2
－64，∴(xy)
2
＝64，∵x＞0，y＞0， ∴xy＝8，∴y与x的函数关系式为：y＝(0＜x＜4)，故选
x
D.






中考冲刺集训
一、选择题
1.对于任意实数
m
，点
P
(
m
－2，9－3
m< br>)不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，
A
、
B
的坐标分别为(2，0)，(0，1) ，若将线段
AB
平移至
A
1
B
1
，则
a< br>＋
b
的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，边长为2的等边△
ABC
和边长为1的等边△
A
′
B
′
C
′，它们的边
B
′
C
′，
BC
位
于同一条直线
l
上，开始时，点
C
′与
B
重合 ，△
ABC
固定不动，然后把△
A
′
B
′
C
′自左
向右沿直线
l
平移，移出△
ABC
外(点
B
′与
C
重合)停止，设△
A
′
B
′
C
′ 平移的距离为
x
，两个三角形重合部分的面积为
y
，则
y
关 于
x
的函数图象是( )

4.如图，在正方形
ABCD
中，点
P
从点
A
出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△
APC
的面积
y
与点
P
运动的路程
x
之间形成的函 数关系图象大致是( )

二、填空题
46

5.在函数< br>y
＝
3
x
＋1
中，自变量
x
的取值范围是_ _______．
x
－2
6.若点
M
(
k
－1，
k
＋1)关于
y
轴的对称点在第四象限内，则一次函数
y
＝ (
k
－1)
x
＋
k
的图象不经过第________
．．．
象限．
7.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀 速跑
步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发．在跑步
的整个 过程中，甲、乙两人的距离
y
(米)与甲出发的时间
x
(秒)之间的关系如图
所示．则乙到终点时，甲距终点的距离是________米．


答案与解析：
1. C 2. A
3. B 【解析】由题意知：在△A′B′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，
133133
此时y ＝x×x＝x
2
；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝×1×＝；当 2
224224
13
＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝(3－x)×(3－x)． 综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的
22
一部分，中间为直线的一部分，右边 为开口向上抛物线的一部分，且最高点为
3
.故选B.
4

第4题解图
4. C 【解析】先求出分段函数，再根据函数性质确定函数图象便可．设正方 形的边长为a，由题意可得，
函数的关系式为：
1
ax（0≤x≤a）
2< br>?
1
?
2
（2a－x）·a＝－
1
ax＋a（a2
y＝
?
1
（x－2a）·a＝
1
ax－ a（2a，由一次函数的图象与性质可知，图象大致如解图所
2
?
2
1
（4a－x）·a＝－ax＋2a（3a?
1
2 2
2
2
2
示．故选C.
1
5. x
≥
－且x
≠
2
3
6. 一 【解析】依据题意，M关于y轴对称点在第四象限，则M点在第三象限，即k－1<0，k＋1<0, 解
得k<－1.∴一次函数y＝(k－1)x＋k的图象过第二、三、四象限，故不经过第一象限．
7. 175 【解析】由图象可知，甲前30秒跑了75米，则甲的速度为
75
＝2 .5米/秒，甲出发180秒时，两人
30
相离0千米，这说明甲出发后180秒时，乙追上了 甲，此时两人所行路程相等为180×2.5＝450米，乙用的时
间为180－30＝150秒，所以 乙的速度为：
4501500
＝3米/秒，由此可以求出乙跑到终点所用时间为：＝5001503
秒，此时甲跑的时间为500＋30＝530秒，甲已跑路程为530×2.5＝1325 米，甲距终点的距离为1500－1325＝
175米．
47



第七讲 一次函数
命题点分类集训
命题点1 一次函数的图象与性质
【命题规律】1.考查内容：①一次函数所在象限；②一次函数(含正比例函数)解析式的确定；③一次 函数
的增减性与其系数之间的关系；④一次函数与方程(组)的关系；⑤一次函数与不等式的关系；⑥一 次函数图象
平移；⑦一次函数与几何图形结合.2.三大题型均有考查，但解答题的设题一般多与反比例 函数结合(试题详见
反比例函数)．
【命题预测】一次函数的图象与性质是命题的焦点与趋势，值得关注．
1. 一次函数
y
＝－2
x
＋3的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1. C
2.在直角坐标系中，点
M
，
N
在同一个正比例函数图象上的是( )
A.
M
(2，－3)，
N
(－4，6) B.
M
(－2，3)，
N
(4，6)
C.
M
(－2，－3)，
N
(4，－6) D.
M
(2，3)，
N
(－4，6)
2. A
3.若关于< br>x
的一元二次方程
x
－2
x
＋
kb
＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象可 能是
( )
2

3. B
4.如图，直线
y
＝
ax
＋
b
过点
A
(0，2)和点
B
(－ 3，0)，则方程
ax
＋
b
＝0的解是( )
A.
x
＝2 B.
x
＝0 C.
x
＝－1 D.
x
＝－3
4. D 【解析】方程ax＋b＝0的解就是一元一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的横坐标，即x＝－3. 3
5.设点
A
(
a
，
b
)是正比例函数
y
＝－
x
图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是( )
2
A.2
a
＋3
b
＝0 B.2
a
－3
b
＝0 C.3
a
－2
b
＝0 D.3
a
＋2
b
＝0
33
5. D 【解析】把点A(a，b)代入y＝－x，得b＝－a，即2b＝－3a，∴3a＋2b＝0.
22< br>6.关于直线
l
：
y
＝
kx
＋
k
(
k
≠0)，下列说法不正确的是( )
．．．
A. 点(0，
k
)在
l
上 B.
l
经过定点(－1，0)
C. 当
k
>0，
y
随
x
的增大而增大 D.
l
经过第一、二、三象限
6. D 【解析】逐项分析如下：
选项
A
B
逐项分析
点(0，k)在直线l上，是直线与y轴的交点
当x＝－1时，函数值y＝－k＋k＝0，所以直线l经过定点(－1，0)
48

正误
√
√
C
D
当k＞0时，y随x的增大而增大
直线l经过第一、二、三象限仅仅当k 是正数时成立，当k 是负数
时，函数图象经过二、三、四象限
√
×
44
7.一次函 数
y
＝
x
－
b
与
y
＝
x
－1的图象之间的距离等于3，则
b
的值为( )
33
A. －2或4 B. 2或－4 C. 4或－6 D. －4或6
43
7. D 【解析】∵直线y＝x－1 与x轴的交点A的坐标为( ，0)，与y轴的交点C的坐标为(0，－1)，∴O A
34
344
＝
，OC＝1，直线y＝
x－b与直线y＝x－1的距 离为3，可分为两种情况：(1)如解图①，点B的坐标为(0，
433
3
4
OAAC
－b)，则OB＝－b，BC＝－b＋1，易证△OAC∽△DBC，则＝ ，即＝
D BBC3
3
1
2
＋（）
2
4
，解得b＝－4；(2 )
－b＋1
3
1
2
＋（）
2
4
，
b－1
3
4
OAAC
如解图②，点F的坐标为(0，－b)，则CF＝b－1 ，易证△OAC∽△ECF，则＝ ，即＝
ECCF3
解得b＝6，故b＝－4或6.


8.将直线
y
＝2
x
＋1向下平移3个单位长 度后所得直线的解析式是____________．
8. y＝2x－2 【解析】根据直线的平移规律：上加下减，可得到平移后的解析式为y＝2x＋1－3＝2x－2.
9 .若函数
y
＝(
m
－1)
x
是正比例函数，则该函数的图象 经过第________象限．
?
?
|m|＝1
9. 二、四 【解析】 ∵函数y＝(m－1)x是正比例函数，则
?
，∴m＝－1.则这个正比例函数为y＝－
?
m－1≠0
?
|m|
|
m
|
2x，其图象经过 第二、四象限．
10.若一次函数
y
＝－2
x
＋
b
(
b
为常数)的图象经过第二、三、四象限，则
b
的值可以是______ __(写出一个即
可)．
10. －1(答案不唯一，满足b＜0即可) 【解析】∵一次函数y＝－2x＋b的图象经过第二、三、四象限，∴b
＜0，故b的值可以是－1.
11.已知一次函数
y
＝
kx
＋2
k
＋3的图象与
y
轴的交点在
y
轴的正半轴上，且函数值
y
随
x< br>的增大而减小，则
k
所能取到的整数值为________．
11. －1 【解析】∵一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴2k＋3>0，∴k>－1.5；又∵函数值y随< br>x的增大而减小，∴k<0，则－1.512.如图，过 点
A
(2，0)的两条直线
l
1
，
l
2
分 别交
y
轴于点
B
，
C
，其中点
B
在原点上 方，点
C
在原点下方，已知
AB
＝13.
(1)求点
B
的坐标；
(2)若△
ABC
的面积为4，求直线
l
2
的解析式．
12. 解：(1)∵点A的坐标为(2，0)，
49

∴AO＝2.
在Rt△AOB中，OA
2
＋OB
2
＝AB
2
，即 2
2
＋OB
2
＝(13)
2
，
∴OB＝3，
∴B(0，3)．
11
(2)∵S
△
ABC
＝BC·OA，即4＝BC×2，
22
∴BC＝4，
∴OC＝BC－OB＝4－3＝1，
∴C(0，－1)．
设直线l
2
的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵直线l
2
经过点A(2，0)，C(0，－1)，
?
?
0＝2k＋b
∴
?
，
?
－1＝b< br>?
1
?
?
k＝
2
解得
?
.
?
b＝－1
?
1
∴直线l
2
的解析式为y＝x－1.
2


命题点2 一次函数的实际应用
【命题规律】1.考查内容 ：①结合一次函数图象分析实际问题；②结合表格考查一次函数的实际应用；③
以阶梯费用问题为背景， 考查分段函数；④根据文字中的变量列一次函数解决实际问题；⑤与方程不等式综
合的一次函数实际问题 .2.主要以解答题形式出题，设问以两问为主．
【命题预测】一次函数的实际应用是全国命题趋势之 一，一次函数图象分析题和一次函数与方程综合题是
重点．
13.为增强学生体质，某中学在 体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米
耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形 跑道上同时起跑，同时到达终点；
所跑的路程
S
(米)与所用的时间
t
(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇
的时间是起跑后的第________秒．
13. 120 【解析】从函数图象可知，小茜是正比例函数图象，小静是分段函数图象，小静第二 段函数图象与
小茜的函数图象的交点的横坐标便是她们第一次相遇的时间．可求出小茜的函数解析式为S ＝4t，设小静第二
??
?
60k＋b＝360
?
k＝2
?
段函数图象的解析式为S＝kt＋b，把(60，360)和(150，540)代入得
，解得
?
，∴此段函数
150k＋b＝540
??
b＝240
??
??
?
S＝2t＋240
?
t＝120
解析式为S＝2t＋ 240，解方程组
?
，得
?
，故她们第一次相遇时间为起跑后第120秒．
S＝4tS＝480
??
??
14.昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西 安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回．如图，
是小明昨天出行的过程中，他距西安的距 离
y
(千米)与他离家的时间
x
(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：
(1)求线段
AB
所表示的函数关系式；
(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？
14. (1)【思路分析】利用待定系数法可求出函数解析式，再根据图象确
自变量的取值范围．
解：设线段AB所表示的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，则
50

定出