雾霾经济指数和指数函数

2020年11月25日发(作者：左琳)
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指数和指数函数

指数与指数函数

一. 本周教学内容：
3.1 指数与指数函数
二. 教学目的
1、理解分数指数幂的概念。
2、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂
的运算。
3、理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，
掌握指数函数的性质。
4、利用计算器进行实际操作，感受“逼近过程”。
5、感受数形结合的数学思想。
三. 教学重点、难点
分数指数幂和根式的概念及运算；指数函数的图象与性质。
四. 知识分析

1. 有关分数指数幂

如何理解分数指数幂呢？
我们不妨设，凭感觉没有经过严格的证明，只是把整数指数幂运
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算“推广”到分数，是不科学的，但可以借此理解分数指数幂的定义。）
我们所求的x是 这样一个数，它的n次方等于，由此感觉到x为
的n次方根，故学习时先提出了根式的概念：一般地，如 果那么x叫
做a的n次方根，式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数。
回到原来的讨论，则是的n次方根，即。类似地，我们可以定义
负分数指数幂。
到目前为 止，我们共学习了下面一些幂，其中正整数指数幂是根
本，并由此拓展到零指数幂和负整数指数幂，于是 我们得到了整数指
数幂。分数指数是在正整数指数的概念推广到整数指数后指数概念的
又一推广 ，推广后指数的取值范围为有理数，它是根式的一种新的表
示法。
正整数指数幂
零指数幂
负整数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
2. 有关幂的运算性质

这也是由整数指数幂的运算性质推广而来的。
根据分数指数幂和根式的关系，根式的运算可以与分 数指数幂的
运算相互转化。对于运算结果，不统一要求用什么形式来表示。没有
特殊要求时，可 以用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可以
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根据要求写出结果，但结果不 能同时含有根号和分数指数，也不能既
有分母又有负指数，同时注意根式要化简为最简并合并同类根式。
3. 有关指数函数
函数叫做指数函数，其中x是自变量，。
为什么 要在定义中规定呢？原因是在中，若，则，这是一个常数
函数，并不是指数函数。为了保证x取分数时都 有意义，必须要求；
但是时，只对有意义，且是定义在上的常数函数，因此，定义指数函
数时， 要规定。
对于指数函数的定义，按课本上的说法它是一种形式定义，即解
析式的特点必须 是的样子，不能有一点差异。对底数a的限制条件的
理解与认识也是认识指数函数的重要内容，可以通过 具体的例子来理
解对底数、指数都有什么限制要求。因为对这个条件的认识不仅关系
到对指数函 数的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数
中对底数的认识，所以一定要真正了解它的由来 。
4. 指数函数的性质
指数函数的性质可以结合函数图象来掌握：


图象 时的图象 时的图象
性质 （1）定义域为R，值域为（0，＋∞）

（2），即x = 0时，y = 1,图象都经过（0，1）点
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（3）,即x = 1时，y等于底数a，图象都经过(1,a)点

（4）在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数

（5）


（6）既不是奇函数，也不是偶函数



注意：（1）利 用性质（3）可以让我们根据几个指数函数图象判
断其底数大小，如下图，可知，由此可知底数对函数值 变化的影响。


（2）
【典型例题】例1. 把根式表示成分数幂的形式。
解析：原式＝
另解：原式＝
点评：两种解法风格不同，思考角度也不同，解法2更漂亮。
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例2. 计算：（1）
（2）
（3）

解析：（1）原式＝
（2）原式＝

（3）原式＝
点评：一般地，遇到小数化成分数；遇 到指数是负数，可以对调
底数的分子和分母，将负指数化为正指数。
例3.化简下列各式：（1） （2）
解析：（1）原式＝
（2）原式＝

＝－＝－2

点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点 ，比如对于分式，应
该想到对分子分母分解因式，然后约分。
例4. 求函数的定义域。
解析：由题意，得：，即。
因为6>1，所以，解得：，
故函数的定义域是[－2，1]
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