2008年qq高中数学例谈三角函数中的最值问题论文.doc

2020年11月25日发(作者：元友让)















例谈三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函
数基础知识的综合应用。 近几年高考题中， 此类问题及经常出现， 其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其
类 型与解法举例说明。


1 y=asinx + bcosx+c 型

例 1

已知函数

f(x)=2asin
2
x-2

3
asinx

·cosx+a+b(a

0)的定义域为 [0，

] ，


值域为 [-5， 1]，求常数 a、b 的值。



解： f(x)=a(1-cos2x)-

3
asin2x)+2a+b


=-a(cos2x+
3
sin2x)+2a+b

=-2asin(2x+

6
)+2a+b.


x [0, ], 2x+ [ ,
7
].

-
1
2

6 6 6

sin(2x+ )

1.




2

6


因此，由 f(x) 的值域为 [-5， 1]可得


a 0,
- 2a (-
1
) + 2a + b = 1.
,


2

- 2a 1 + 2a + b = -5.




a 0,
或
2a 1 2a b 1,

2a (
1
)
2a b 5.

2

a 2,
或
a 2,

b 5. b 1.


点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。本题通过降次，逆用二倍角公式


后，形成了 y=asinx+bcosx+c 型的函数，再应用函数的有界性求解。

2









2 .y=asinx
2
+bsinx+c 型


例 3 求函数 f(x)= 2-4asinx-cos2x 的最大值和最小值。



解： y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin
2
x)=2sin
2
x-4asinx+1=2(sinx-a)
2
+1-2a
2
.


设 sinx=t, 则 -1 t 1,并且 y=g(t)=2(t-a)
2
+1-2a
2
.
(1)当 a<-1 时，有 y
max
=g(1)=3-4a,y
min
=g(-1)=3+4a.
(2)当 -1 a
(-1 a 0),



1 时,有 y
min
=g(a)=1-2a
2
,y
max
为 g(-1)和 g(1)中的较大者 ,即 y
max
=3-4a

(3)当 a>1 时,有 y
max
=g(-1)=3+4a,y
min
=g(1)=3-4a.
本题可以化为以 sinx 为自变量的二次函数，定义域为




[-1,1], 利用二次函数在闭曲间
上的最值求法。对于正弦函数、余弦函数的有界性，应引起充分的重视。





3. y=asinx+b 型
例 1． 已知 f(x)=sin(2x+)-
3
sin
2
x+sinxcosx+

3

求 f(x) 的最小值及此时
x 的值。



3
)-

2
3


解： f(x)=sin(2x+

3
(1-cos2x)+
1
2
sin2x+
3 2
3
2
)=2sin(2x+
cos2x


2






= sin(2x+

)+ sin2x+
1


3 2

)+sin(2x+










=sin(2x+

).




3
-
当 x=k


5


3

3


(k Z)
时 ,f(x) 的最小值 -2.

12

点评：化为一个角三角函数形式，再利用有界性求解。
4．
y



a sin x
（ x R）型
ccos x d

2 sin x
例 4．求函数
y
的最大值与最小值。
2 cosx

sinx-ycosx=2-2y,
b
方法一：去分母，原式化为