期房是什么意思-风云奇迹
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【标题】复数性质及其在数学上的应用
【作者】齐 耀 秋
【关键词】数学 复数 应用
【指导老师】王 进
【专业】数学与应用数学
【正文】
1引言
复数是中学数学知识的重要交汇点,它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则,决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。代数与几何是中
学数学的两大重要 内容,在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容,探讨怎样
巧用复数性质解决数学问题十分有意义。 通过对一些具体例子的论证,说明利用复
数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为 易的作用。本课题
从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。
2复数概念及性质
2.1复数概念
形如 的数叫做复数。
复数的表示形式有:
代数形式 ;三角形式 ;指数形式 。
几何形式:
用向量 表示复数 ;
用点 表示复数 。
向量 的长度称为复数的模,记为: ,即 。
向量 与 轴正半轴间的角即为复数 的辐角,即为: 。
复数 与 互为共轭复数。
2.2复数性质
设 ,于是有:
; 纯虚数或零; 。
; ; 。
; 。
; 。
棣莫弗公式: 。
3复数性质在数学中的应用
3.1利用复数性质解决代数问题
例1设 ,求函数 的最小值
分析:由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解,配方 ,联想复数的模可
设复数 , 从而利用复数模性质将本题解决。
解:
设 ,
因为
而 ,
所以
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因此函数 的最小值为5。
由此例可见,巧设复数,利用复数的模能使问题得以快速解决。
例2设复数 满足: ,它们在复平面内分别对应于不同的点A点B,O为坐标原
点,若 ,求使得△AOB有最大面积时的a的值,并求出最大面积.
解:由于 ,所以,首先应结合题目条件,考虑 与 的关系.
首先, ,所以, ,解这个关于 的方程,得: .
所以, ,
因此,
所以,
等号成立当且仅当 ,即 时取得.此时,△AOB取得最大面积,为 。
本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质,平均值 不等式求解三角面积的最大
值显得尤为简单。
例3设a、b、x、y都是实数,求证:
分析:按常规无理不 等式证明,此题是很难解决的。如果考虑式中五个根式都是复
数的模,则利用模的性质来证明,问题就简 单多了。
证明:设 ,则
,则
,则
,则
又因为
所以
由模的性质可知
所以
例4设a为任意实数,求证:
证明:因为
设 ,
根据 (等号仅当 同向时成立)
因 ,故有
例5: 求证:
分析:由于 ,可以用数学归纳法证明以上等式,但由等式联想棣莫弗公式和二项
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本文更新与2020-11-25 03:32,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/462106.html
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