丁丁影院【2020】苏教版高中数学苏教版必修五学案：2

2020年11月25日发(作者：谭咏麟)







































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【2020】苏教版高中数学苏教版必修五学案：2

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知识点一 递推公式

思考1 (1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝ 3an－1＋2(n>1，
n∈N*)，则a4＝________.

(2) 已知 数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，
则a4＝_____ ___.

梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项
an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个式子就叫做这个数 列的递推公式．递推公式也是数列的一
种表示方法．

思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项
公式和递推公式有什么不同呢？

知识点二 数列的表示方法

思考 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数
列？

梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式
法．

类型一 数列的表示方法

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例1 图中的三角形图案称为谢宾斯 基三角形，在四个三角形图案中，
着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列< br>的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．

反思与感悟 数列的通项公式不外 乎把常见的函数式中的x换成n，
且n∈N*，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想 、
转化，从而达到解决问题的目的．

跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学 家经常在沙滩上研究
数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将
石子摆成 如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三
角形数，则第10个三角形数是_______ _．

类型二 数列的递推公式

命题角度1 由递推公式求前若干项

例2 设数列{an}满足n>1，n∈N*.))写出这个数列的前5项．

引申探究

数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 016.

反思与感悟 递推公式 反映的是相邻两项(或若干项)之间的关
系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式 则要
已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应
考虑数列是否有规律性 ．

跟踪训练2 在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)，写出此数列的前6项．

命题角度2 由递推公式求通项

例3 (1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…
＋( an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成
问题：已知数列{an} 满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；

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(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，
n∈N*)成立．试根 据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1
＝1，＝(n≥2，n∈N*)，求通项an.< br>
反思与感悟 形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2
－a 1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；
形如＝f( n)的递推公式，可以利用a1···…·＝an(n≥2，n∈N*)
求通项公式．

跟踪训练3 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，
试写出 a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？
你能否求出该数列中的第 2 016项？

1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________．

2．已知数 列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列
的通项an＝______ __.

3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所 用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之
间的关系式可以是______________．

4．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，则x2 017＝________.

1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，
an，…，是数列 的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，
an与{an}是“个体”与“整体”的从属关 系．

2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)
递推公式法．

3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关
系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项
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