窝内高中数学必修五学案全集(38份) 北师大版5(优秀教案)

2020年11月25日发(作者：颜伏)
． 等差数列的前项和(二)
明目标、知重点.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和 公式；了解等差数列的一些
性质.掌握等差数列前项和的最值问题.理解与的关系，能根据求.

．数列中与的关系
对任意数列{}，与的关系可以表示为
＝
．由数列前项和判断数列的类型
由于等差数列前项和公式＝＋＝＋.令＝，＝－，则＝＋，所 以是关于的常数项为的二次函
数．反过来，对任意数列{}，如果是关于的常数项为的二次函数，那么这 个数列也是等差数
列．
．等差数列前项和的最值
()在等差数列{}中，当>，<时，有最大值，使取到最值的可由不等式组确定；
当<，>时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定．
()因为＝＋，若≠，则从二次函 数的角度看：当>时，有最小值；当<时，有最大值；且取最
接近对称轴的自然数时，取到最值．

[情境导学]
如果已知数列{}的前项和的公式，如何求它的通项公式？如果一个 数列的前项和的公式是＝
＋＋(，，为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的 主要问题．
探究点一已知数列{}的前项和求
思考已知数列的通项公式能求出；反过来，已知数列{}的前项和，如何求
?

答对所有数列都有＝＋＋…＋
－
＋，
－
＝＋＋…＋
－
(≥ )．因此，当≥时，有＝－
－
；当＝时，
有＝.所以与的关系为＝当也适合时，则通项 公式要统一用一个解析式＝()(∈
＋
)来表示．
思考在数列{}中，已知＝＋＋(，，为常数)如何求？判断这个数列一定是等差数列吗？
答当＝时，＝＝＋＋；
当≥时，＝－
－
＝(＋＋)－[(－)＋(－)＋]＝－＋.
∴＝.
只有当＝时，＝＋＋才满足＝－＋，数列{}才是等差数列．
例已知数列{}的前项和为＝＋ ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，
它的首项与公差分别是什么？
解根据＝＋＋…＋
－
＋与
－
＝＋＋…＋
－
(>)，
可知，当>时，＝－
－
＝＋－[(－)＋(－)]＝－，①
当＝时，＝＝＋×＝，也满足①式．
∴数列{}的通项公式为＝－.
由此可见：数列{}是以为首项，公差为的等差数列．
反思与感悟已知前项和求通项，先由＝ 时，＝求得，再由≥时，＝－
－
求，最后验证是否符
合，若符合则统一用一个解析式表 示．
跟踪训练已知数列{}的前项和＝，求.
解当＝时，＝＝；
－
. ≥时，＝－
－
＝－
－
＝·
－
得＝≠. 当＝时代入＝·
∴＝.
探究点二等差数列前项和的最值
思考将等差数列前项和＝＋变形为关于的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？
答由于＝＋＝＋(－)，所以当≠时，为关于的二次函数，且常数项为.
思考类比二次函数的最值情况，等差数列的何时有最大值？何时有最小值？
答由二次函数的性 质可以得出：当>时，有最小值；当<时，有最大值；且取最接近对称轴的
正整数时，取到最值．
小结()若>，<，则数列的前面若干项为正项(或)，所以将这些项相加即得{}的最大值．
()若<，>，则数列的前面若干项为负项(或)，所以将这些项相加即得{}的最小值；
特别地，若>，>，则是{}的最小值；若<，<，则是{}的最大值．
例已知等差数列，，…的前项和为，求使得最大的序号的值．
解方法一由题意知，等差数列，，…的公差为－，
所以＝＋(－)＝－(－)＋.
于是，当取与最接近的整数即或时，取最大值．
方法二＝＋(－)＝＋(－)×
＝－＋.
＝－＋≤，解得≥，即＝，<.
所以和从第项开始减小，而第项为，
所以前项或前项和最大．
反思与感悟在等差数列中，求的最大(小)值，其思路是找出某一项 ，使这项及它前面的项皆
取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第项起到该项的各项 的和为最大(小)．由
于为关于的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解．
跟踪训练在等差数列{}中，＝－，试用两种方法求该数列前项和的最小值．
解方法一∵＝－，∴＝－，＝.
∴<<…<<＝<<<….
∴当＝或＝时，取到最小值．
易求＝＝－，∴()＝－.
方法二∵＝－，∴＝－.
∴＝＝－＝－.
∴当＝或＝时，最小，且()＝－.
例若等差数列{}的首项＝，＝－，记＝＋＋…＋，求.
解∵＝，＝－，∴＝－.
当≤时，＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＋＝＋×(－)
＝－；
当≥时，＝＋＋…＋
＝(＋＋＋)－(＋＋…＋)
＝－(－)＝－
＝×－(－)
＝＋－.
∴＝
反思与感悟求等差数列{}前项的绝对值之 和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪
些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前项的 绝对值之和．
跟踪训练已知数列{}中，＝－＋，数列{}的每一项都有＝，求数列的前项和的表达式．
解由＝－＋得＝－
－
＝－(≥，∈
＋
)．
验证＝也符合上式．∴＝－，∈
＋
.
∴当≤时，>，此时＝＝－＋；
当>时，<，此时＝－＝－＋.
即＝

．已知数列{}的前项和＝，则等于()
．．．＋．－
答案
解析当＝时，＝＝，当≥时，＝－
－
＝－(－)＝－，又因＝适合＝－，所以＝－.
．数列{}为等差数列，它的前项和为，若＝(＋)＋λ，则λ的值是()
．－．－．．
答案
解析∵等差数列前项和的形式为＝＋，
∴λ＝－.
．首项为正数的等差数列，前项和为，且＝，当＝时，取到最大值．
答案或
解析∵＝，∴－＝＋＋＋＋＝＝，∴＝.
∵＞，∴＞＞＞＞＞＝，<.
故当＝或时，最大．
．已知数列{}的前项和＝＋，求.
解()当＝时，＝＝＋＝.
()当≥时，
－
＝＋
－
，
又＝＋，