再看一眼高中数学 等差数列和等比数列竞赛试题 新人教A版必修5

2020年11月25日发(作者：缪海棱)

等差数列和等比数列
知识点归纳
1、等差数列：(1)、定义：；
(2)、通项公式：；
(3)、前项和公式：；
(4)、任意两项有；
(5)、对于任意正整数.若；则；
(6)、若均是等差数列，则也是等差数列.()
2、等比数列：
(1)、定义：；(2)、通项公式：；
(3)、前项和公式：；
(4)、任意两项有；
(5)：对于任意正整数，若，则；
(6)、无穷递缩等比数列所有项和公式：.
二．数列的求和
1、等差数列的前n项和公式. 等比数列的前n项和公式：
S
n
= ， S
n
= ；S
n
=（d=0）
当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a
1
≠0），
S
n
= na
1
是关于n的正比例式；当q=1时，S
n
=n a
1
(是关于n的正
比例式)；当q≠1时，S
n
= S
n
=
2、基本公式法：
○
1等差、等比数列的前n项和公式、
2
○
3
○


3、拆项法求数列的和，如a
n
=2n+3
n

4、错位相减法求和，如a
n
=(2n-1)2
n
（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）

5、分裂项法求和，如a
n
=1/n(n+1)

（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）
6反序相加法求和，如a
n
=

例题讲解：
1、删去正整 数数列1,2,3,中的所有完全平方数,得到一个新数列.这
个新数列的第2003项是
A.2046 B.2047 C.2048 D.2049

2、已知数列，，，，，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都
等于它的前后两项之和， 则这个数列的前项之和等于
A.

B. C. D.

3、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均
等于 其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是
前100个正整数按从小到大排成的行，则最后 一行的数是＿＿
＿＿。

4、等比数列,，的公比是___________.

5、设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是
_________________.

6、在数列中,, ,设为数列的前项和,则 .



7、已知数列满足关系式
，则的值是_____________。

8、设数列的前项的和，
（Ⅰ）、求首项与通项；
（Ⅱ）、设，，证明：

9、数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，
且，数列是公比为 64的等比数列，.（1）求；（2）求证.




10、设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和
．



11、已知点列B
1
(1,y
1
)、B
2
(2,y
2
)、…、B
n
(n,y
n
)（n∈N）
顺次为一次函数图象上的点，点列A
1
(x
1
,0)、


A
2
(x
2
,0)、…、A
n
(xn
,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的
点，其中x
1
=a0＜a＜1 ），对于任意n∈N，点A
n
、B
n
、A
n+1
构成以B< br>n
为顶点的等腰三角形。





⑴求{y
n
}的通项公式，且证明{y
n
}是等差数列；
⑵试判断x
n+2
-x
n
是否为同一常数（不必证明），并求出数
列 {x
n
}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形A
n
B
nA
n+1
中，是否存在直角三角形？
若有，求出此时a值；若不存在， 请说明理由。



练习：
1、已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数是
A.5 B.6 C.7 D.8
2、设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是
A. B. C. D.
3、等比数列中,,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是


A. B. C. D.
4、已知数列满足,,记,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
5、给定公比为的等比数列,
设,,,,
则数列
A.是等差数列车员 B.是公比为的等比数列
C.是公比为的等比数列 D.既非等差数列又非等比数列
6、设数列满足,,且对任意自然数,都有,又,
则的值是 .
7、各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过
100,这样的 数列至多有 项.
8、已知a
n
=(n=1, 2, …) ，则
S
99
=a
1
+a
2
+…+a
99< br>＝


9、已知数列，，前n项部分和满足，则 .
解答题
：
10、个正数排成几行几列:





其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所 有公比相等,已
知,,,试求的值.


11、设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的
通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。









12、数列

(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当






13、已知为实数,数列满足:
,,().
(1)当时,求证:;
(2)证明:存在正整数,使成立;
(3)当时,设是数列的前项和 ,是否存在实数及正整数,使得?若存在,求出与
的值,若不存在,请说明理由.











答案：
1、C 在数列1,2,3,,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该 数列
再补上44项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除,
再补上一项2 048
2、
D
3、