两河文化2018年高考理科数学试题及答案-全国卷3

2020年11月25日发(作者：田野)
2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷 3）理科数学
2018 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 全国卷 3）
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，
1．已知集合
A
A．
0
2．
1 i 2 i
A． 3 i B． 3 i C． 3 i D． 3 i
只有一项是符合题目要求的。
x | x 1≥ 0
，
B
B．
1
0，1，2
，则 A B
C．
1，2
D．
0，1，2
3．中国古建筑借助榫卯将木构 件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长
方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯 图视
可以是
4．若 sin

A．

8
9
2

x
A．10
1

，则 cos 2
3

7

B．
9
5


7

C．
9

8

D．
9

2
5．
x

4
的展开式中
x 的系数为
B．20 C．40
2
D．80
2
6．直线x y 2 0 分别与 x 轴，
y
轴交于
A
，
B
两点，点
P
在圆
x
2
y
上，则
△ABP
面积的取值 围范
2
是
A．
2，6
7．函数

4 2
B．
4，8
C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 2
2
的图像大致为
y x x
1
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8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
中使用移动支付的人数，
A．0.7
DX
B．0.6
2.4 ，
P X
p
，各成员的支付方式相互独立，设
4 P X 6
，则
p
C．0.4 D．0.3

2 2
X
为该群体的 10 位成员
9．△ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 △ABC 的面积为
a

π
A．

2
π

B．

3
π

C．

4
4 的球的球面上四点，
b
4
c

，则 C
2
π

D．

6
△ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 10．设 A，B ，C ，D 是同一个半径为
D ABC 体积的最大值为
B．18 3

2 2
A．12 3
11．设 F
1
，F
2
是双曲线
C． 24 3 D．54 3
x
C：
2
的
y
2
1
（a 0，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F
2
作C 的一条渐近线
6 OP
，则 C 的离心率为
a

垂线，垂足为
P
．若
PF
1
b
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
12．设 a log
0.2
0.3 ，b log
2
0.3，则
A． a b ab 0
C． a b 0 ab
B． ab a b 0
D． ab 0 a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
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13．已知向量
a= 1,2
，
b= 2, 2
，
c= 1,λ
．若
c∥ 2a+ b
，则
x
________．
14．曲线
y

15．函数
f x
ax 1 e
在点
0，1
处的切线的斜率为
2
，则 a ________．
π
cos 3x 在
0，π
的零点个数为 ________．
6
2
4
1，1
和抛物线

C：y x
，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于
A
，
B
两点． 若∠AMB 90 ，
16．已知点
M
则 k ________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
等比数列
a
n
中， a
1
1，a
5


17~21 题为必考题，每个试题考生都必
4a
3
．
（1）求

a
的通项公式；
n
（2）记

S 为

a
的前
n
项和．若 S
m
n
m
．
n
63 ，求
18．（12 分）
某工厂为提高生产效率， 开展技术创新活动， 提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．
种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组
为比较两
20 人。第一组工人用第一种生产方式，第
min）绘制了如下茎叶图： 二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数
人数填入下面的列联表：
超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（ 2）中的列联表，能否有
2 2
m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工
不超过 m
99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n ad bc
， a b c d a c b d
3
附： K
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2
P K ≥ k
k
19．（12 分）
如图，边 为长
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，
M
是 CD 上异于 C ，
D
的点．
（ 1）证明：平面
AMD ⊥
平面 BMC ；
（ 2）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面
MAB
与面 MCD 所成二面角的正弦值．
20．（12 分）

已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆

（ 1）证明：
k

1

2 2
x
C：
4
y
1
交于
A
，
B
两点，线段
AB
的中点为
M 1，m m 0
．
3

；
2
0 ．证明： FA ， FP ， FB 成等差数列，并 （ 2）设
F
为 C 的右焦点，
P
为 C 上一点，且 FP FA FB
求该数列的公差．
21．（12 分）

已知函数

2
f x 2 x ax ln 1 x 2x
．
0
；当 x 0 时，
f x 0
； （ 1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0 时，
f x
（ 2）若 x 0 是
f x
的极大值点，求 a ．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4— 4：坐标系与参数方程 ]（ 10 分）

在平面直角坐标系

x

cos

，
xOy 中， ⊙ O 的参数方程为
（ 为参数），过点 0 ，
y sin
2 且倾斜角为 的
直线 l 与 ⊙ O 交于 A，B 两点．
（ 1）求 的取值范围；
（ 2）求
AB
中点
P
的轨迹的参数方程．
23．[选修4— 5：不等式选讲]（10 分）
设函数
f x 2x 1 x 1
．
4
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（ 1）画出
y f x
的图像；
，
f x ≤ ax b
，求 a b 的最小值． （ 2）当
x∈ 0，
参考答案：
1
C
13.
2
D
3
A
15.
3
4
B
16.2
5
C
6
A
7
D
8
B
9
C
10
B
11
C
12
B
1

2

14.
3
17.(12 分 )


解：（1
）设
{ a
n
}
的公比为
q
，由题设得
由已知得

故

4

n 1
a
n
q
.
2
或
q 2
.
q


4
2

q
，解得

q 0
（舍去），
q
n 1
a
n
( 2)

或

n 1
a
n
2
.
n
（ 2）若
1 ( 2)
n 1 m
a
n
( 2)
，则
S
n
.由
S 63
得

( 2)
m
188
，此方程没有正整数解 .
3

若

n 1 n m
a
n
2
，则
2 1
S
64
n

，解得
m 6
.
.由
S
m
63
得
2
综上，
m 6
.
18.（12 分）
解：（1）第二种生产方式的效率更高
理由如下：
.
（ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第
5
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二种生产方式的工人中， 有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高
85.5 分钟，用第二种生产
.
.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为
方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高
（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于
式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高
80 分钟；用第二种生产方
.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，
8 上的最多，关于茎 8 大致
7 上的最多， 关于茎 7 大致呈对称分
故可以认为用第二种生产方式完成生
.学 产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高
科*网
以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分

（2）由茎叶图知

.
79 81
80
.
2
m
列联表如下：
超过

m
不超过

m
5
15
第一种生产方式
第二种生产方式


（3）由于
2
2
15
5
40(15 15 5 5)
10 6.635
，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
20 20 20 20
.
K
15.（12 分）
解：（1）由题设知 ,平面 CMD ⊥平面 ABCD ,交线为 CD .因为 BC⊥CD ,BC
故 BC⊥DM .
因为 M 为
CD
上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
又 BC
而 DM
CM =C,所以 DM ⊥平面 BMC .
平面 AMD ,故平面 AMD ⊥平面 BMC .
D- xyz.
平面 ABCD ,所以 BC⊥平面 CMD ,
（2）以 D 为坐标原点 ,
DA
的方向为 x 轴正方向 ,建立如图所示的空间直角坐标系
6