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2018年全国各地高考数学试题及解析
全国1卷
理科数学
一、选择题 (本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的. )
1.设
A.0
,则
B.
( )
,则
C.
( )
B.
D.
2.已知集合
A.
C. D.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村 的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况,统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.记
A.
为等差数列
的前项和.若
B.
.若
B.
C.
,
,则
( )
D.12
在点
D.
处的切线方程为( ) 5.设函数
A.
为奇函数,则曲线
C.
1
6.在
A.
C.
中,
为
边上的中线,
为
B.
D.
的中点,则
( )
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点
圆柱表面上的 点
为( )
在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到
在正视图上的对 应点为,
的路径中,最短路径的长度
A. B.
,过点
C.
且斜率为
D.2
交于,两点,则8.设抛物线
( )
A.5
的焦点为的直线与
B.6 C.7 D.8
9.已知函数
A. B.
,
C.
,若
存在2个零点,则的取值范围是( )
D.
10.下图来自古希腊数学家 希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别
为直角三角形的斜边,直角边 ,,的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为
,,,则Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点 ,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为
( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线
,为坐标原点,为
2
的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交
点分别为
A.
,
.若
B.3
为直角三角形,则
C.
( )
D.4
截此正方体所得截面面积12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面
的最大值为( )
所成的角都相等,则
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若
14.记
满 足约束条件
为数列的前项和.若
,则
,则
的最大值为________.
________.
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生 入选,则不同的选法共有________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数,则的最小值是________.
三、解答题(共70分。解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选 考题,考生根据要求作答。)
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
在平面四边形
⑴求
⑵若
18.(12分)
如图,四边形
到达点
为正方形,
.
,分别为,的中点,以为折痕把折起,使点
;
,求.
中,,,,.
的位置,且
3
⑴证明:平面
⑵求与平面
平面;
所成角的正弦值.
19.(12分)
设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点的坐标为.
⑴当与轴垂直时,求直线
⑵设
20.(12分)
为坐标原点,证明:
的方程;
.
某工厂的某 种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合
格品,则更 换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的
所有产品作 检验,设每件产品为不合格品的概率都为
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,且各件产品是否为不合格品相互独立.
的最大值点; ,求
4
⑵现对一 箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以⑴中确定的作为的值.已知每件产品的检
验费用为2元 ,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
5
21.(12分)
已知函数
⑴讨论的单调性;
.
⑵若
存在两个极值点,,证明:.
(二)选 考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
系,曲线
⑴求
⑵若
中,曲线的方程为
.
.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标
的极坐标方程为
的直角坐标方程;
与有且仅有三个公共点,求的方程.
6
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知
⑴当
⑵若
时,求不等式
时不等式
.
的解集;
成立,求的取值范围.
【参考答案】
7
一、选择题
1.
【答案】
C
【解析】
2.
【答案】
B
【解析】
3.
【答案】
A
【解析】假设建设前收入为
建设 后为
设前为
,则建设后收入为,所以种植收入在新农村建设前为
,新农村建设后为%
,新农村
或,则
.
,∴,∴选
C.
;其他收入在新农村建设前为
,新农村建设后为
,养殖收入在新农村建
故不正确的是
A.
4.
【答案】
B
【解析】
,∴
5.
【答案】
D
【解析】∵
程为:
6.
【答案】
A
【解析】
7.
【答案】
B
为奇函数,∴
,∴选
D.
,即,∴
.
,∴,∴切线方
.
【解析】三视图还原几何体为一圆柱,如图,将侧面展开,最短路径为
,所以选
B.
8.
【答案】
D
【解析】由题意知直线的方程为,设
连线的距离,所以
,与抛物线方程联立有
8
,可得或,
∴
9.
【答案】
C
【解析】∵
下:
,∴
.
存在个零点,即与有两个交点,的图象如
要使得
10.
【答案】
A
【解析】取
与有两个交点,则有即,∴选
C.
,
则,
∴区域Ⅰ的面积为,区域Ⅲ的面积为,
区域Ⅱ的面积为
11.
【答案】
B
【解析】渐近线方程为:
,故
.
,即,∵为直角三角形,假设,
如 图,∴,直线方程为
.
联立∴,即,
∴,∴,故选
B.
9
12.
【答案】
A
【解析】由于截面与每条棱所 成的角都相等,所以平面
平面
中存在平面与平面平行(如图),而在与
,而平面平行的 所有平面中,面积最大的为由各棱的中点构成的截面
的面积
.
二、填空题
13.
【答案】
【解析】画出可行域如图所示,可知目标函数过点时取得最大值,
.
14.
【答案】
10
【解析】依题意,作差得,所以 为公比为的等比数列,又因为
,所以
15.
【答案】
,所以,所以
.
【解析】恰有位女生,有
恰有位女生,有
种;
种,∴不同的选法共有种
.
16.
【答案】
【解析】∵
∴
,∴最小正周期为
,令
,
,即,∴
或
.
∴当,为函数的极小值点,即或
,
当
.
∴
.
,,
.
∴最小值为
.
三、解答题
17.
解:(
1
)在中,由正弦定理得:
,
∴
,
∵
,
∴
.
11
(
2
)
,
∴,
∴
,
∴
,
∴
.
∴
.
18.< br>(
1
)证明:
又
平面
(
2
)解:
又
设
过作
,
,则
,
分别为
,∴
,∴平面,
的中点,则
平面
平面
,∴
,∴平面
,
.
,
,∴
,
,∴,
,
,
交于
,
,连结
与平面
,∴
,∴
点,
由平面
∴
则
由
平面
平面
,
所成的角,
,
即为直线
而,∴,
∴与平面所成角的正弦值
.
12
19.
(
1
)解:如图所示,将代入椭圆方程得,得,∴,∴,
∴直线的方程为:
.
(
2
)证明:当斜率不存在时,由(
1
)可知,结论成立;当斜率存 在时,
设其方程为,,联立椭圆方程有
即,∴,,
,∴
,∴
20.
解:(
1
)由题可知
∴
.
()
.
∴当时,,即在上递增;当时,,即在
上递减
.
∴在点处取得最大值,即
.
(
2
)(
i
)设余下 产品中不合格品数量为,则,由题可知,∴
13
.
∴
(
ii
)由(
i
)可知一箱产品若全部检验只需花费
所以应该对余下的产品作 检验
.
21.
解:(
1
)①∵,∴
(元)
.
元,若余下的不检验则要元,
,∴当时,,,
∴此时
②∵
此时方程
在
,即
上为单调递增
.
或
两根为
,
,
当时,此时两根均为负,∴在上单调递减
.
当时,,此时在上单调递减,
在上单调递增,在上单调递减
.
∴综上可得,时,在上单调递减;时,在,
上单调递减,在上单调递增
.
(
2
)由(
1
)可得,两根得,,令,∴,
.
∴
,< br>
要证成立,即要证成立,
14
∴,,
即要证
()
,
令,可得在上为增函数,∴,
∴成立,即成立
.
22.
解:(
1
)由
(
2
)与
可得:
有且仅有三个公共点,说明直线
,化为
与圆相切,圆
.
圆心为,半
径为,则,解得,故的方程为
.
23.
解:(
1
)当时,,
∴的解集为
. (
2
)当
当
当
时,
时,
,∴
,
,当时,不成立
.
,不符合题意
.
成立
.
时,
当时,,∴,即
.
综上所述,的取值范围为
.
15
全国1卷
文科数学
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.)
1.已知集合
A.
2.设
A.0
B.
,则
,
C.
,则
( )
D.
( )
B. C. D.
3.某地区经过 一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情 况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率( )
A. B. C.
,
D.
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为
的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A. B.
,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8
C. D.
16
6.设函数
A.
7.在
A.
C.< br>8.已知函数
A.
B.
C.
D.
的最小正周期为
的最 小正周期为
的最小正周期为
的最小正周期为
B.
为
.若
为奇函数,则曲线
C.
在点
D.
( )
处的切线方程为( )
中,
边上的中线,为
B.
D.
的中点,则
,则( )
,最大值为3
,最大值为4
,最大值为3
,最大值为4
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点
圆柱表面上的点
为( )
在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到< br>在正视图上的对应点为,
的路径中,最短路径的长度
A. B.
中,
C.
,
D.2
所成的角为,则该长方体10.在长方体
的体积为( )
A. B.
与平面
C. D.
,,且11.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点
,则( )
A.
B. C. D.
17
12.设函数
A. B.
,则满足
C.
的的取值范围是( )
D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数,若,则________.
14.若
15.直线
16.< br>则
满足约束条件
与圆
的内角
,则
交于
的对边分别为< br>的最大值为________.
两点,则
,已知
________.
,,
的面积为________.
三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题,考 生根据要求作答。)
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
已知数列
(1)求
(2)判断数列
(3)求
18.(12分)
在平行四边形
的位置,且
中,
.
,,以为折痕将折起,使点到达点
满足
;
是否为等比数列,并说明理由;
,,设.
的通项公式.
18
(1)证明:平面平面;
(2)为线段上一点,为线段上一点,且,求三棱锥的体积.
19.(12分)
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m
3
)和使用了节水龙头50天的日用水量数
据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日
19
用
水
量
频
1
数
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
频数 1 5 13 10 16 5
3 2 4 9 26 5
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m
3
的概率;
( 3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据
所在区间中点的值作代表.)
20.(12分)
设抛物线,点,
的方程;
,过点的直线与交于,两点.
(1)当与轴垂直时,求直线
(2)证明:
.
20
21.(12分)
已知函数
(1)
设是
.
的极值点.求,并求的单调区间;
(2)证明:当
,.
21
(二)选考题:共10分。请考生在 第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
系,曲线
(1)求
(2)若
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知
(1)当
(2)若
时,求不等式
时不等式
.
的解集;
成立,求的取值范围.
中,曲线的方程为
.
.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标
的极坐标方程为
的直角坐标方程;
与有且仅有三个公共点,求的方程.
【参考答案】
22
一、选择题
1.【答案】A
【解析】
2.【答案】C
,故选A.
【解析】∵
3.【答案】A
,∴,∴选C
【解析】 由图可得,A选项,设建设前经济收入为,种植收入为
收入则为
4.【答案】C
,种植收入较之前增加.
.建设后经济收入则为2,种植
【解析】知
5.【答案】B
,∴,,∴离心率.
【解析】截面面积为,所以高
.
6.【答案】D
【解析】∵
程为:
7.【答案】A
为奇函数,∴
,∴选D.
,底面半径,所以表面积为
,即,∴,∴,∴切线方
【解析】由题可知.
8.【答案】B
【解析】
∴
最小正周期为
,
,最大值为
.
23
9.【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱,如图,将侧面展开,最短路径为
,所以选B.
连线的距离,所以
10.【答案】C
【解析】连接和,∵与平面所成角为,∴,
∴,∴,∴,∴选C.
11.【答案】B
【解析】由可得,化简可得
;当时,可得,,即,,此时;
当
12.【答案】D
时,仍有此结果.
【解析】取
取
,则化为,满足,排除A,B;
,满足,排除
C
,故选
D
.
24
,则化为
二、填空题
13.【答案】
【解析】可得
14.【答案】
【解析】画出可行域如图所示,可知目标函数过点时取得最大值,.
,∴,.
15.【答案】
【解析】由
.
,得圆心为,半径为,∴圆心到直线距离为.∴
16.【答案】
, 【解析】根据正弦定理有:
∴,∴.∵,
∴
三、解答题
,∴,∴.
17.解: (1)依题意,,,∴,,.
(2)∵,∴,即,所以为等比数列.
25
(3)∵
18. (1)证明:∵
又∵
∴平面
(2) 解:过点
,∴
平面
作
,∴
为平行四边形且
平面
.
,交于点
,∵
.
,∴
平面,
,
,∵平面,∴,
又∵
∵
,∴平面,∴
,∴
,∴
,又∵
,
为等腰直角三角形,
∴,∴.
19.解:(1)
(2)由题可知用水量在
的频数为,所以可估计在
26
的频数为,
故用水量小于的频数为,其概率为.
(3)未使用节水龙头时,天中平均每日用水量为:
,
一年的平均用水量则为
使用节水龙头后,天中平均每日用水量为:
.
,
一年的平均用水量则为
∴一年能节省
20.解:(1)当与
∴
轴垂直 时,的方程为
或
.
,代入
.
,∴或,
, 的方程为:
(2)
设
得
的方程为
,∴
,设
,< br>,联立方程
,
,
∴
,
∴,∴
.
27
21.解:(1)定义域为,.
∵
∵在
是极值点,∴
上增,,∴
,∴
在上增.
.
又
∴当
在上减,∴
时,
在
,
上增.又
减; 当
,
时,,增.
综上,,单调增区间为,单调减区间为.
(2)∵
∴
令
,∴当时有
.
,.
,
,同(1)可证
∴当
∴
时,,
在
减;当
上增,又
时 ,
,
,
,
增.
∴当时,.
可得:
28
22.解:(1)由
,化为.
(2)与有且仅有三个公共点,说明直线与 圆相切,圆圆心为,半径
为,则,解得,故的方程为.
23.解:(1)当时,,
∴
(2)当
当
当
的解集为
时,
时,
时,
, ∴
,
.
,当时,不成立.
,不符合题意.
成立.
当时,
.
,∴,即.
综上所述,的取值范围为
29
全国卷2
理科数学
一、选择题:本题共
12
小 题,每小题
5
分,共
60
分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1
.(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
2
.已知集合,则中元素的个数为
(
)
A
.
9 B
.
8 C
.
5 D
.
4
3
.函数的图像大致为
(
)
4
.已知向量,满足,,则(
)
A
.
4 B
.
3 C
.
2 D
.
0
5
.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
6
.在中,,,,则(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
7
.为计算,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填(
30
)
A
.
B
.
C
.
D
.
8
.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 .哥德巴赫猜想是
“
每
个大于
2
的偶数可以表示为两个素 数的和
”
,如
选取两个不同的数,其和等于
30
的概率是(
)
A
.
B
.
C
.
中,
D
.
,,则异面直线与所成角
.在不超过
30
的素数中,随机
9
.在长方体
的余弦值为(
)
A
.
10
.若
A
.
B
.
在
B
.
C
.
D
.
是减函数,则的最大值是(
)
C
.
D
.
.若,则
11
.已知是定义域为的奇函数,满足
(
)
A
.
,
B
.
0 C
.
2 D
.
50
是的左顶点,点在
12
.已知
过
A
.
是椭圆
的直线上,
B
.
的左,右焦点,
为等腰三角形,
C
.
且斜率为
,则
D
.
的离心率为(
)
二、填空题:本题共
4
小题,每小题
5分,共
20
分。
13
.曲线
在点处的切线方程为
__________
.
31
14
.若满足约束条件
则的最大值为
__________
.
15
.已知,
,
,则
__________
.
,与圆锥底面所成角为
45°
,
16
.已知圆锥的顶点为,母线< br>若的面积为
所成角的余弦值为
,则该圆锥的侧面积为
__________.
三、解答题:共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。第
17
~
21
题为必考题,
每个试题考生都必须作答。 第
22
、
23
为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共
60
分。
17
.(
12
分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(
1
)求
(
2
)求
的通项公式;
,并求的最小值.
18
.(
12
分)
下图是某地区
2000
年至
2016
年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
32
为了预测该地区
2018
年的环境基础设施投资额,建立 了与时间变量的两个线性回归模型.根据
2000
年至
2016
年的数据(时 间变量的值依次为
2016
年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型①:
) 建立模型②:.
;根据
2010
年至
(
1
)分别 利用这两个模型,求该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值;
(
2
)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
19
.(
12
分)
设抛物线
(
1
)求的方程;
(
2
)求过点
20
.(
12
分)
如图,在三棱锥
(
1
)证明:
(
2
)若点在棱
平面
中,
;
为,求与平面所成角的正弦值.
,,为的中点.
,且与的准线相切的圆的方程.
的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
上,且二面角
33
21
.(
12
分)
已知函数
(
1
)若
(
2
)若
(二)选 考题:共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答 。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22
.
[
选修
4
-
4
:坐标系与参数方程
]
(
10
分)
在直角坐标系
.
,证明:当
在
时,;
只有一个零点,求.
中,曲线的参数方程为
34
(为参数),直线的参数方程为
(为参数).
(
1
)求和的直角坐标方程;
截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
(
2
)若曲线
23
.
[
选修
4
-
5
:不等式选讲
]
(
10
分)
设函数
(
1
)当
(
2
)若
时,求不等式
.
的解集;
,求的取值范围.
【参考答案】
一、选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分 ,共
60
分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1.
【答案】
D
【解析】根据复数除法法则化简复数,即得结果
.
35
详解:
2.
【答案】
A
选
D.
【解析】根据枚举法,确定圆及其内部整点个数
.
详解:
当
当
当
时,
时,
时,
;
;
;
,
所以共有
9
个,选
A.
3.
【答案】
B
【解析】通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像
.
详解:
舍去
D;
,
所以舍去
C
;因此选
B.
4.
【答案】
B
【解析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果
.
详解:因为
所以选
B.
5.
【答案】
A
【解 析】根据离心率得
a,c
关系,进而得
a,b
关系,再根据双曲线方程求渐近 线方程,得结果
.
详解:
为奇函数,舍去
A,
因为渐近线方程为,所以渐近线方程为,选
A.
点睛:已知双曲线方程
6.
【答案】
A
求渐近线方程:
.
【解析】先根据二倍角余弦公式求
cosC,
再根据余弦定理求
AB.
36
详解:因为
所以
7.
【答案】
B
,选
A.
【解析】根据程序框图可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后 再相减
.
因此累加量为隔项
.
详解:由
框中应填入
8.
【答案】
C
【解析】先确定不超过
30
的素数,再确定两个不同的 数的和等于
30
的取法,最后根据古典概型概率公
式求概率
.
详解 :不超过
30
的素数有
2
,
3
,
5
,7
,
11
,
13
,
17
,
19
,
23
,
29
,共
10
个,随机选取两个不同的数,共有种方法,因为
,选
C.
,所以随机选取两个不同的数,其和等于
3 0
的有
3
,选
B.
得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后 再相减
.
因此在空白
种方法,故概率为
9.
【答案】
C
【解析】分析:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积求向量夹角,再根据向量夹角< br>与线线角相等或互补关系求结果
.
DA,DC,DD
1
为
x ,y,z
轴建立空间直角坐标系,详解:以
D
为坐标原点,则
所以
,
,
因为
10.
【答案】
A
,所以异面直线与所成角的余弦值为,选
C.
【解析】先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定的最大值
详解:因为
所以由
因此
11.
【答案】
C
【解析】先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果
.
详解:因为
,
得
,从而的最大值为,选
A.
是定义域为的奇函数,且
37
,
所以
因此
因为,所以
,从而
12.
【答案】
D
,
,
,
,选
C.
【解析】先根据条件得
PF
2
=2c,
再利用正弦定理得
a,c
关系,即得离心率
.
详解:因为
由斜率为 得,
为等腰三角形,,所以
PF
2
=F
1
F
2=2c,
,
由正弦定理得
,
所以,选
D.
二、填空题
13.
【答案】
【解析】先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式求切线方程
.
详解:
14.
【答案】
9
【解析】先作可行域,再平移直线,确定目标函数最大值的取法
.
详解:作可行域,则直线过点
A(5,4)
时取最大值
9.
38
15.
【答案】
【解析】先根据条件解出
详解:因为
所以
因此
16.
【答案】
,
再根据两角和正弦公式化简求结果
.
,
,
【解析】先根据三角形面积公式求出母线长,再 根据母线与底面所成角得底面半径,最后根据圆锥侧面
积公式求结果
.
因为与圆锥底面所成角为
45°
,所以底面半径为
因此 圆锥的侧面积为
三、解答题:共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第
17
~
21
题为必考题,每个试题
考生都必须作答。第
2 2
、
23
为选考题,考生根据要求作答。
17. 解:(1)设
由
所以
得d=2.
的通项公式为.
.
取得最小值,最小值为?16.
的公差为d,由题意得.
(2)由(1)得
所以当n=4时,
18.解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
39
上下.
这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地 描述环境基础设施投资额的变化趋
势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2 010年至2016年的数据对应的点位于一条直
线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资 额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年
的数据建立的线性模型
此利用模型 ②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元, 由模型①得到的预测值226.1亿元的
增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说 明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.解:(1)由题意得
设,
,l的方程为.
可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因
由得.
,故.
所以.
由题设知
因此l的方程为
,解得
.
(舍去),.
(2)由(1)得AB的中点坐标为
设所求圆的圆心坐标为,则
,所以AB的垂直平分线方程为,即.
解得
因此所求圆的方程为
20.(1 )证明:因为,
或
或
为
.
的中点,所以,且.
连结
.因为,所以为等腰直角三角形,
40
且
由
由
,
知
知
.
.
平面.
的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系. (2)解:如图,以为坐标原点,
由 已知得
取平面
设
设平面的法向量为
的法向量
,则
.
.
.
由得,可取,
所以.由已知得.
所以.解得(舍去),.
所以.又,所以.
所以与平面所成角的正弦值为
时,等价于
.
.
21
.(
1
)证明:当
41
设函数
当
而
时,
,故当
,则
,所以
时,
.
在只有一个零点.
在
,即
单调递减.
.
.
(
2
)解:设函数
在
(
i
)当
(
ii
)当
当
所以在
只有一个零点 当且仅当
时,
时,
时,;当
单调递减,在
,没有零点;
.
时,
单调递增.
.
故是在的最小值.
①若,即,在没有零点;
②若,即,在只有一个零点;
③若,即,由于,所以在有一个零点,
由(
1
)知,当时,,所
.
故在有一个零点,因此在有两个零点.
综上,在只有一个零点时,.
22
.解:(
1
)曲线的直角坐标方程为.
当
当
时,的直角坐标方程为
时,的直角坐标方程为.
42
,
(
2
)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程
.①
因为曲线
则
截直线所得线段的中点
.
在内,所以①有两个解,设为,,
又由①得,故,于是直线的斜率.
23
.解:(
1
)当时,
可得
(
2
)
而
由
的解集为
等价于
,且当
可得或
.
.
时等号成立.故等价于
.
.
,所以的取值范围是
全国2卷
文科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.
A.
2.已知集合
A. B.
( )
B.
,
C.
( )
D.
D.
,则
C.
3.函数的图像大致为( )
43
4.已知向量,满足,,则( )
A.4 B.3 C.2 D.0
5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率
为( )
A. B. C. D.
的离心率为
中,
B. C.
B.
,
D.
,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入
C.
,
,则其渐近线方程为( )
D.
,则
( )
6.双曲线
A.
7.在
A.
8.为计算
( )
A.
C.
B.
D.
与所成角的正切 9.在正方体
值为( )
A.
10.若
A.
则
中,为棱的中点,则异面直线
B.
在
C. D.
是减函数,则的最大值是( )
D.
是上的一点,若
44
B.
,
C.
11.已知是椭圆的两个焦点,,且,
的离心率为( )
A.
12.已知
B. C.
( )
D.
.若, 是定义域为的奇函数,满足
A. B.0 C.2 D.50
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.若满足约束条件 则的最大值为__________.
15.已知,则__________.
,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若 16.已知圆锥的顶点为,母线
的面积为,则该圆锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
的最小值. (2)求,并求
18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.
< br>为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000
年至2016年的数据(时间变量的值依次为
2016年的数据(时间变量的值依次为
)建立模型①:
)建立模型②:.
;根据2010年至
(1)分别利用这两个模型, 求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
45
19.(12分)
如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明:
(2)若点在棱
20.(12分)
设抛物线
(1)求的方程;
(2)求过点,
21.(12分)
已知函数
(1)若,求
且与的准线相切的圆的方程.
平面;
,求点到平面的距离. 上,且
的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
.
的单调区间;
(2)证明:只有一个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
(为参数).
(1)求
(2)若曲线
中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为
和的直角坐标方程;
截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
46
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数
(1)当
(2)若
时,求不等式
.
的解集;
,求的取值范围.
47
【参考答案】
一、选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分,在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1.
【答案】
D
【解析】根据公式
详解:
2.
【答案】
C
【解析】根据集合
详解:
,
故选
C.
3.
【答案】
B
【解析】通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像
.
详解:为奇函数,舍去
A,
,
可直接求解
.
,可直接计算得
,故选
D.
.
舍去
D;
,
所以舍去
C
;因此选
B.
4.
【答案】
B
【解析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果
.
详解:因为
所以选
B.
5.
【答案】
D
【解 析】分别求出事件
“2
名男同学和
3
名女同学中任选
2
人参 加社区服务
”
的总可能及事件
“
选中的
2
人
都是女 同学
”
的总可能,代入概率公式可求得概率
.
详解:设
2
名男同学为,
3
名女同学为,
共
10
种可能,
48
从以上
5
名同学中任选
2
人总共有
选中的
2
人都是女同学的情况共有
则选中的
2
人都是女同学的概率为
故选
D.
6.
【答案】
A
,
共三种可能
,
【解析】根据离心率得
a,c
关系,进而得
a,b
关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果
.
详解:
因为渐近线方程为
7.
【答案】
A
,所以渐近线方程为,选
A.
【解析】先根据二倍角余弦公式求
cosC,
再根据余弦定理求
AB.
详解:因为
所以
8.
【答案】
B
【解析】根据程序框图 可知先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减
.
因此累加量为隔项
.
详解:由
框中应填入
9.
【答案】
C
【解析】利用正方体
在中进行计算即可
.
中,
与所成角为,
,
中,,将问题转化为求共面直线与所成角的正切值,
,选
B.
得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减
.
因此在空白
,选
A.
详解:在正方体
所以异面直线
设正方体边长为,
则由为棱
所以
则
故选
C.
的中点,可得
,
.
,
49
10.
【答案】
C
【解析】先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定的最大值
.
详解:因为
所以由
因此
11.
【答案】
D
【解 析】设
详解:在
设,则
,则根据平面几何知识可求
中,
,
,
,
,
,再结合椭圆定义可求离心率
.
得
,
,从而的最大值为,选
A.
又由椭圆定义可知
则离心率
故选
D.
12.
【答案】
C
【解析】先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果
. < br>详解:因为
所以
因此
因为,所以
,从而
二、填空题:本题共< br>4
小题,每小题
5
分,共
20
分。
13.
【答案】
y=2x–2
,
,选
C.
是定义域为的奇函数,且
,
,
,
50
-工商银行标志
-戏如人生
-mnemosyne
-上海就是浦东
-表示心情的词语
-陈陈
-如何交朋友
-菊皇茶
本文更新与2020-11-25 08:36,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/462876.html