切尔诺贝利阴影2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)(附详细答案)

2020年11月25日发(作者：苏纪兰)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题：本题共
（新课标Ⅰ）
12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
2
1．（5分）已知集合A={x|x
﹣x﹣2＞0}，则?
R
A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}
﹣1}∪{x|x≥2}
C．{x| x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤
2．（5分）设z=
A．0
+2i，则| z|=（
B．
）
C．1D．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村 的经济收入增加了一倍，实现翻
番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建
设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（）
A． 新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后， 养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5分）记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若3S
（3
=S
2
+S
4
，a
1
=2，则a
5
=
A．﹣12B．﹣10
3
）
C．10D．12
2
+（a﹣1）x+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）
5．（5分）设函数f（x）=x< br>在点（0，0）处的切线方程为（
A．y=﹣2xB．y=﹣x
）
C．y=2x D．y=x
第1页（共29页）
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD 的中点，则
A．﹣B．﹣C．+D．
=（
+
）
7．（5分）某圆柱的 高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M
在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为B，则在
此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A ．2B．2
2
C．3D．2
的直线与8．（5分）设抛物线C：y=4x的焦点为F， 过点（﹣2，0）且斜率为
C交于M，N两点，则
A．5B．6
?=（）
C． 7D．8
9．（5分）已知函数f（x）=
个零点，则a的取值范围是（
A．[﹣1， 0）B．[0，+∞）
）
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2
C．[﹣ 1，+∞）D．[1，+∞）
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图 由三个
半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
AC．△ABC的三边所围成的区域记为< br>ABC的斜边BC，直角边AB，
I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在
p
1
，p
2
，p
3
，整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概 率分别记为
则（）
A．p
1
=p
2
B．p
1
=p
3
C．p
2
=p
3
第2页（共29页）
D． p
1
=p
2
+p
3
11．（5分）已知双曲线C：﹣y=1 ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=
2
直线与C的两条渐近线的交点分别为
（
A．
）
B．3C．2
1，每条棱所在直线与平面
）
D．4
α所成的角都相等，12．（5分）已知正方体的 棱长为
则α截此正方体所得截面面积的最大值为（
A．B．C．D．
二、填空题：本题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值 为．
14．（5分）记S
n
为数列{a
n
}的前n项和．若S
n
=2a
n
+1，则S
6
= ．
15．（5分）从2位女 生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入
选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案 ）
．16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第
求作答。（一）必考题：共60分。
17～21
22、23题为选考题，考生根 据要
17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD= 5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
第3页（共29页）18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF
为折痕 把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；< br>（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆C：+y
2=1的右焦点为F，过
点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线A M的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
第4页（共29页）
F的直线与C交于A，两lB
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品 在交付用户
之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从
这箱产品 中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作
检验．设每件产品为不合格品的概率 都为
不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
p
0
．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p
0
2元，若有不合格品进入用户手中，
f（p），求f （p）的最大值点
p（0＜p ＜1），且各件产品是否为
作为p的值．已知每件产品的检验费用为
则工厂要对每件不合格品支 付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记< br>为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，
产品作检验？是否该对这箱余下的所有
21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．
（1）讨 论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x
1
，x
2
，证明：＜a﹣2．
第5页（共29页）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中 任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的方程为y=k|x|+2．以坐标原 点为
极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
3=0．
（1）求C
2的直角坐标方程；
（2）若C
1
与C
2
有且仅有三个公共点，求 C
1
的方程．
C
2
的极坐标方程为ρ+2ρcos﹣θ
2< br>[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a的取值范围．
第6页（共29页）
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课 标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给 出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x
﹣ x﹣2＞0}，则?
R
A=（
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}< br>﹣1}∪{x|x≥2}
2
）
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x |x≤
【考点】1F：补集及其运算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法 ；5J：集合；5T：不等式．
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【 解答】解：集合A={x|x
2
﹣x﹣2＞0}，
可得A={x|x＜﹣1或x＞2} ，
则：?
R
A={x|﹣1≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题考 查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
2．（5分）设z=
A．0
+2i ，则|z|=（
B．
）
C．1D．
【考点】A8：复数的模．
【专题 】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的代数 形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=
则|z|=1．
第7页 （共29页）
+2i=+2i=﹣i+2i=i，
故选：C．
【点评】本题考查复数的 代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农 村的经济收入增加了一倍，实现翻
番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农 村建
设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（）
A ．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后 ，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．
【专题】11：计算题；35：转化思想 ；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易
逻辑．
【分析】设建设前经济收入为a，建设 后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农
村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．
【 解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A项，种植收入37%×2a﹣60%a= 14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故
B项，建设后，其他收入为
建设前，其他 收入为4%a，
第8页（共29页）
A项错误．
5%×2a=10%a，
故1 0%a÷4%a=2.5＞2，
故B项正确．
C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60% a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C项正确．
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D项正确．
因为是 选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的 判断，考查发现
问题解决问题的能力．
4．（5分）记S
n
为等差数列{a< br>n
}的前n项和．若3S
3
=S
2
+S
4
， a
1
=2，则a
5
=（
A．﹣12B．﹣10C．10D．12）
【考点】83：等差数列的性质．
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义 法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a
5
的值．
【解答】解：∵S
n
为等差数列{a
n
} 的前n项和，3S
3
=S
2
+S
4
，a
1
=2，
∴=a
1
+a
1
+d+4a
1
+d，
把a
1
=2，代入得d=﹣3
∴a
5
=2+4×（﹣3）=﹣10 ．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，< br>考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
第9页（共29页）
32
5．（5分）设函数f（x）=x
+（a﹣1）x+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）< br>在点（0，0）处的切线方程为（
A．y=﹣2xB．y=﹣x
）
C．y=2x D．y=x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】11：计算题；35： 转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数的奇偶性求出
切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x
3
+（a﹣1）x
2
+ax，若f（ x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x
3
+x，可得f′（x）=3x< br>2
+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性 以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解
6 ．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
A．﹣B．﹣C．+D．
=（
+
）
【考点】9H：平面向量的基本定理．
【专题】34：方程思想； 41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求 向量．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
=
=< br>=
﹣=﹣
+）﹣×（
﹣，
故选：A．
【点评】本题考查向量的 加减运算和向量中点表示，
第10页（共29页）
考查运算能力，属于基础题．
7．（ 5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M
在正视图上的对应点为A， 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在
此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 （）
A．2B．2C．3D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11 ：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断三视图对应的几 何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长
直观图以及侧面展开图如图：
16，高为：2，
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为路径中，最短路径的长度：
故选：B．
=2
B，则在此圆柱侧面上，从
．
M到N的
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，
算能力．
侧面展 开图的应用，考查计
8．（5分）设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
C交于M，N两点，则
A．5B．6
?=（）
C．7
第11页（共29页）
2
的直线与
D．8
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11：计 算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出
的数量积即可．
【解答】解：抛物线 C：y
=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
直线为：3y=2x+4，< br>联立直线与抛物线C：y
=4x，消去x可得：y
﹣6y+8=0，
解得y1
=2，y
2
=4，不妨M（1，2），N（4，4），
则?=（0，2 ）?（3，4）=8．
，．
22
2
M、N的坐标，然后求解向量
的< br>故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，
力．
向量的数量积的应 用，考查计算能
9．（5分）已知函数f（x）=
个零点，则a的取值范围是（
A．[ ﹣1，0）B．[0，+∞）
）
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2
C ．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】31：数形结合 ；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出 两个函数的图象，根据图象交
点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：由 g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：
当直线y =﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有
即函数g（x）存在2个零点，
第12页（共29页）
2个交点，
故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C ．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个
函数的图象的 交点问题是解决本题的关键．
10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图 由三个
半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
AC．△ABC的三边所围成的区域记为< br>ABC的斜边BC，直角边AB，
I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在
p
1
，p
2
，p
3
，整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概 率分别记为
则（）
A．p
1
=p
2
B．p
1
=p
3
C．p
2
=p
3
D．p
1
=p< br>2
+p
3
【考点】CF：几何概型．
【专题】11：计算题；38：对 应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】如图：设BC=2r
1
，AB= 2r
2
，AC=2r
3
，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，
即可得 到答案．
第13页（共29页）
【解答】解：如图：设BC=2r
1
，AB= 2r
2
，AC=2r
3
，
∴r
1
2
=r< br>2
2
+r
3
2
，
2
∴S，S
Ⅰ=×4r
2
r
3
=2r
2
r
3
Ⅲ=×πｒ
1
﹣2r
2
r
3
，
Ⅲ
=S< br>Ⅱ
=×πｒ
3
+×πｒ
2
﹣S
222
×πｒ
3
+
2
×πｒ
2
﹣
2
×πｒ
1< br>+2r
2
r
3
=2r
2
r
3
，∴S
Ⅰ
=S
Ⅱ
，
∴P
1
=P
2
，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题 ．
11．（5分）已知双曲线C：﹣y=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
M，N． 若△OMN为直角三角形，则|MN|=
2
直线与C的两条渐近线的交点分别为
（A．
）
B．3C．2D．4
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11 ：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】求 出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出
|MN|．
【解答】解：双曲线C：﹣y
2
=1的渐近线方程为：y=
，
，渐近线的夹角
MN的坐标，然后求解
为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=
则：解得M（，），
解得：N（
则|MN|=
故选：B．
），
=3．
第14页（共29页）