超自然学院2018年高考真题数学(江苏卷)含解析

2020年11月25日发(作者：吴燮堂)
2018年高考数学真题解析

绝密★启用前
2018
年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1
．本试卷共
4
页，均为非选择题
(
第
1
题
~
第
20
题 ，共
20
题
)。
本卷满分为
160
分，考试时间为
120
分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回
。
2
．答题前，请 务必将自己的姓名、准考证号用
0.5
毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定
位置。
3
．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4
．作答试题，必须用
0.5
毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答， 在其他位置作答一律无
效
。
5
．如需作图，须用
2B
铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：
锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
． 一、填空题：本大题共
14
小题，每小题
5
分，共计
70
分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．
1.
已知集合
【答案】
{1，8}
【解析】分析：根据交集定义
详解：由题设和交集的定义可知：
.
求结果
.
，
，那么
________．
点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小
.
2.
若复数满足
【答案】
2
【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果
.
详解：因为，则，则的实部为
.
，其中
i
是虚数单位，则的实部为
________．
1
2018年高考数学真题解析
点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数
、共轭复数为
.
的实部为、虚部为、模为、对应点为
3.
已知
5
位裁判给某运动员 打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
5
位裁判打出的分数的平均数为
_______ _．

【答案】
90
【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数
.
点睛：的平均数为
.
4.
一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后 输出的
S
的值为
________．

【答案】
8 【解析】分析：先判断
码可得
是否成立，若成立，再计算
，因为
，若不成 立，结束循环，输出结果
.
详解：由伪代
，所以结束循环，输出
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小
.
5.
函数的定义域为
________．
2
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【答案】
[2，+∞）
【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域
.
详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为
.
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题
.
6.
某 兴趣小组有
2
名男生和
3
名女生，现从中任选
2
名学生去参 加活动，则恰好选中
2
名女生的概率为
________．
【答案】

【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数， 最后根据古典概型概率公式求
概率
.
详解：从
5
名学生中抽取2
名学生，共有
10
种方法，其中恰好选中
2
名女生的方法有< br>3
种，因此所求概率
为
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)
列举法
.
(2)
树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本 事件的探求
.
对于基本事件有
“
有序
”
与
“
无序
”
区别的题目，常
采用树状图法
.
(3)
列表法： 适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化
.
(4)
排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目
.
7.
已知函数
【答案】

，再根据限制范围求结果
. < br>，所以
（A>0,ω>0
）的性质：
(1)
；(3)
由
求减区间
.
求对称轴；
(4)
由
，因为
；
求增区间
;
，所以
的图象关于直线对称，则的值是
________．
【解析】分析：由对称轴得详解：由题意可得
点睛：函数
(2)
最小正周期
由
8.
在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其
3
2018年高考数学真题解析
离心率的值是
________．
【答案】
2
【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率
.
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为
b
，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
9.
函数满足，且在区间上，

则的值为
________．
【答案】

【解析】分析：先根据函数周期将自变量转 化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解
析式求结果
.
详解：由得函数

点睛：
(1)
求分段函数的函数值，要先确定要求 值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现的形式时，应从内到外依次求值
.(2)
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区
的周期为
4，所以因此
间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相 应段自变量的取
值范围
.

10.
如图所示，正方体的棱长为< br>2
，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
________
．

【答案】

4
2018年高考数学真题解析
【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果
. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为
1
，底面正方形 的边长等于
所以该多面体的体积为
，
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的 定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几
何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则 几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何
体进行解决．
11.
若函数
________
．
【答案】
–3
【解析】分析：先结合三次函数图象确定在
确定函数最值，即得结果
.
详解：由
，因此

得，因为函数
从而函数
，
在在
上有且仅有一个零点且
上单调递增，在

，所以
上有且仅有一 个零点的条件，求出参数
a,
再根据单调性
在内有且只有一个零点，则在上的最大值与 最小值的和为
上单调递减，所以

点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性 、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最
低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分 析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单
调性、周期性等．
12.
在平面直角坐标系
交于另一点
D
．若
【答案】
3
【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果
.
详解：设
得点
D
的横坐标
由
因为
得
，所以
，则由圆心为
所以
.
所以
或
中点得易得
，
，
，与联立解
中，
A
为直线上在第一象限内的点，，以
A B
为直径的圆
C
与直线
l
，则点
A
的横坐标为__ ______
．
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角 函数、曲线方程等相结合的
一类综合问题
.
通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程 或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一
5
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般方法
.
13.
在中，角所对的边分别为
，，
的平分线 交于点
D
，且，则
的最小值为
________．
【答案】
9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值
.
详解：由题意可知，
,
由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得

当且仅当时取等号，则的最小值为
.
，因此
点睛：在利用基本不等式求最值 时，要特别注意
“
拆、拼、凑
”
等技巧，使其满足基本不等式中
“< br>正
”(
即条件
要求中字母为正数
)、“
定
”(
不等式的另一边必须为定值
)、“
等
”(
等号取得的条件
)
的条件才能应用，否则会出
现错误
.
14.
已知集合
数列．记 为数列
，
的前
n
项和，则使得
．将的所有元素从小到大依次排列构成 一个
成立的
n
的最小值为
________．
【答案】
27
【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件 的项数的取值范围，再列不等式求
满足条件的项数的最小值
.
详解：设，则

由得
是否有满足条件的解，

.

，，为等差数列

所以只需研究
此时
项数，且
由
得满足条件的最小值为
. < br>点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和
.
分 组转化法求和的常
6
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见类型主要有分段型（如


），符号型（如），周期型（如
）.
二、解答题：本大题共
6
小题，共计
90
分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过
．．．．．．．
程或演算步骤．
15.
在平行六面体中，
．

求证：（
1）
（2）
【答案】答案见解析
；
．
【解析】分析：（
1
）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（< br>2
）先根据条件得
菱形
ABB
1
A
1
，再根 据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后
根据面面垂直判定 定理得结论
.
详解：
证明：
（1
）在平行六面体
ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
∥
A
1
B
1
．

因为
AB平面
A
1
B
1
C，A
1
B
1
所以
AB
∥平面
A
1
B
1
C．
平面
A
1
B
1
C，
（2
）在平行六面体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，四边形
ABB
1
A
1
为平行四边形．
7
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又因为
AA
1
=AB
，所以 四边形
ABB
1
A
1
为菱形，
因此
AB
1
⊥
A
1
B．
又因为
AB
1
⊥
B
1
C
1
，BC
∥
B< br>1
C
1
，
所以
AB
1
⊥
BC．
又因为
A
1
B∩BC=B，A
1
B
所以
A B
1
⊥平面
A
1
BC．
因为
AB
1
平面
ABB
1
A
1
，
平面
A
1
BC，BC
平面
A
1
BC， < br>所以平面
ABB
1
A
1
⊥平面
A
1
BC．
点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运 用错误，
如柱体的概念中包含
“
两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都 是平行四边形
”
，再如菱形对角
线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件， 缺少对这些条件的应用可导致无法证明
.
16.
已知
（1
）求< br>（2
）求
【答案】
（1）
（2）
【解析】分析：先根据同角三 角函数关系得
公式得，再利用两角差的正切公式得结果
.
，
，
．
为锐角，所以
，所以
．
，所以
，
．
．
，
，所以
．
为锐角，
的值；
的值．


，再根据二倍角余弦公式得结果；（
2
）先根据二倍角正切
，．
详解：解：
（1）
因为
因为
因此，
（2
）因为又因为
因此
因为
因此，
，所以
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点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)
变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是
“
配凑
”.
(2)
变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有
“
切 化弦
”、“
升幂与降幂
”
等
.
(3)
变式：根据 式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：
“
常值代< br>换
”、“
逆用变用公式
”、“
通分约分
”、“
分解与 组合
”、“
配方与平方
”
等
.
17.
某农场有 一块农田，如图所示，它的边界由圆
O
的一段圆弧
（P
为此圆弧的中点）和线 段
MN
构成．已
知圆
O
的半径为
40
米，点
P
到
MN
的距离为
50
米．现规划在此农田上修建两个温室大棚， 大棚Ⅰ内的地
块形状为矩形
ABCD
，大棚Ⅱ内的地块形状为
MN
所 成的角为
．
，要求均在线段上，均在圆弧上．设
OC
与

（1
）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
．求
（2
） 若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
当为何值 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】
（1）
矩形
ABCD< br>的面积为
800（4sinθcosθ+cosθ
）平方米，△
CDP
的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ
的取值范围是
[，1）．
（2）
当
θ=
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大
【解析】分 析：（
1
）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公
式得结果，最后根据实际意义确定
据单调性确定函数最值取法
.
的取值范围；（
2
）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根
详解：
解：（
1
）连结
PO
并延长交
MN
于
H< br>，则
PH
⊥
MN
，所以
OH=10．
9
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过
O
作
OE
⊥
BC
于
E
，则
OE
∥
MN
，所以∠
COE=θ ，
故
OE=40cosθ，EC=40sinθ，
40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
则矩形
ABCD
的面积为
2×
2×40cosθ（40–40sinθ）=1600 （cosθ–sinθcosθ）．
△
CDP
的面积为
×
过
N
作
GN
⊥
MN
，分别交圆弧和
OE
的延长线于
G
和
K
，则
GK=KN=10．
令∠
GOK=θ
0
，则
sinθ
0
=，θ
0
∈
（0，）．
当
θ
∈
[θ
0
，
）时，才能作出满足条件的矩形< br>ABCD，
所以
sinθ
的取值范围是
[，1）．
答：矩 形
ABCD
的面积为
800（4sinθcosθ+cosθ
）平方米，△< br>CDP
的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ
的取值范围是
[，1）．
（2
）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4
∶
3，
设甲的单位面积的年产值为
4k
，乙的单位面积的年产值为
3k（k>0），
800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
则年总产值为
4k×
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ
∈
[θ
0
，）．
设
f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ
∈
[θ
0
，），
则
令，得
θ=，
，所以
f（θ
）为增函数；
，所以
f（θ
）为减函数，
．
当
θ
∈
（θ
0
，
）时，
当
θ
∈
（，
）时，
因此，当
θ=
时，
f（θ
）取到最大值．
答：当
θ=
时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大
．
点睛：解决 实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解
决问题.
18.
如图，在平面直角坐标系中，椭圆
C
过点，焦点，圆
O
的直径为
．
10