游恒山记：浅谈初中数学中数学美剖析

2020年11月25日发(作者：戎雪海)
1、对美的理解
在提倡素质教育，培养全面发展人才的今天，提到美，人们
便会自然 而然的联想到音乐、绘画、舞蹈、影视、文艺等视觉艺
术和听觉艺术。而作为研究自然规律的一门学科— 数学中，是否
存在美？ 这是历来数学研究者们关注的问题。古代希腊时期的
毕达哥拉斯学派第 一次提出了“美是合谐与比例”的观点。 古
代哲学家、数学家普洛克拉斯也断言：“哪里有数，哪里就 有美”。。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有
至高的美，正像雕刻 的美，是一种泛而严肃的美。这种美，不是
投合我们天性的微弱的一面，这种美没有绘画或音乐的那些华 丽
的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大
的艺术才能显示的那种完满的 境地。”量子力学的创始人海森堡
说：“自然界把我们引向极其简单而美丽的数学形式……我被自
然界向我们显示的数学体系的简单性和美强烈地吸引住了。”开
普勒甚至认为:“数学是这个世界之美 的原型。”从这些论述中，
我们可以清楚地看到：数学研究者在其科研活动中深刻感受到了
数 学美的存在，并以追求数学美来推动数学的不断发展。
2、数学美的几种形式
数学美的含义 是丰富多彩的，如数学概念的精确，数学定理
的概括，数学公式的简捷、齐整，数学图形的和谐、对称， 数
学结构系统的协调、完备，数学方法的奇妙、多样等等，这就决
定了数学美具有简单性、统一 性、对称性、奇异性、秩序性等表
现形式。
2．1 简单性
数学家们常常以简单性 作为自己的追求目标，那种最简洁的
数学理论最能给人以美的享受。狄德罗曾指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题，所谓美的解答则指一个困难、
复杂问题的简单回答。”高斯在回顾 二次互反律的证明过程时也
曾说：“去寻找一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的
主要 动力。”最能说明简单性是推动数学发展与创造的美学因素
之一的典型例子便是为了避免重复的加法和乘 法运算而引进乘
法与幂的运算：３＋３＋３＋３＝３×４ ａ·ａ·ａ……＝
a质能公式E =m，如此深刻地揭示了微观、宏观世界的种种质
能变化规律，因而其内容极为丰富，但其表述却又如此 简单明了。
尤拉公式：e =cosx+isinx 指数函数与三角函数在实数域中看
不出任 何联系，而在复数域中却发现了它们可以互相转化，并且
被一个非常简洁的关系式联系在一起。表面上看 来复杂得使人眼
花缭乱的对象，一旦理出了头绪，却显得异常的简明，从而会唤
起理性上的美感 。应当注意的是，数学中所说的简洁并不是指纯
数学方面的考虑，如证明、计算的简单，而且也包括了逻 辑方面
的考虑，即要求数学理论在逻辑结构方面也应是简单的。如：由
于数学理论是逻辑地展开 的，因此，出于简单性的考虑，数学家
们就提出了公理的独立性问题，即认为：如果一条公理能由其他< br>的公理推导出来，这一公理在逻辑上就是不必要的。另外，就每
一个公理而言，数学家们又认为它 们应当是简单的、清晰的，而
不应当是复杂的、难以琢磨的。这样，简洁性的考虑就直接促进
了 公理化方法及数学的发展。
2．2 统一性
数学中的统一性，是指数学中部分与部分 ，部分与整体之间
的和谐一致。数学的统一美，美在数学对客观世界和谐协调、井
然有序的真实 反映上。数学的统一美，使人们对数学能够居高临
下、揽括一切，增强人们洞察世界的深度、广度。 < br>例如:（1）代数与几何是两个独立的分支，然而通过坐标系
的建立，使点与数建立了对应，从而 把代数研究的对象和几何研
究的对象——方程与曲线联系了起来，实现了统一。
（2）作为有 理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数完
美统一的象征之一的式子e+1=0是我们已知的，这个 式子可说
是各种数的一个大统一。
（3）在体积计算中就有所谓的“万能计算公式”，它能 统一
地应用于棱(圆)柱、棱(圆)锥及棱(圆)台的体积计算：
V=h(s+s′+ss′) 。
（4）初等数学中经常见到的代数式可以理解为：a、
表示点 Ｐ（ｘ， ｙ）到原点的距离；b、表示复数 ｘ＋ｉｙ 的
模；c、若 ｘ、y 均为正数， 可表示为以 ｘ、y 为直角边的直
角三角形斜边的长。像这种不同的内容统一为同一个式子，展现
了数学高 度的统一性。
(5)平面解析几何中圆、椭圆、双曲线和抛物线的统一性，
有如下表现：a、 从方程的形式看，在直角坐标系中，这几种曲
线的方程都是二元二次方程，我们把它们称为二次曲线。b 、从
点的集合(或轨迹)的观点看，除圆外，它们都是与定点和定直线
距离的比是常数ｅ的点的 集合(或轨迹)，只是由于离心率ｅ取值
的不同而分为椭圆、双曲线和抛物线。c、从天体运行的轨道看 ，
由于天体运动的速度的不同，它们的轨迹分别是圆、椭圆、双曲
线和抛物线。d、四种曲线又 可以看作不同的平面截圆锥体所得
的截面的截线，因此它们又统称为圆锥曲线。e、除圆外，它们
在极坐标下的极坐标方程统一。
(6) 再如勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即。将其进行推演可以得到a、三角
形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减 去这两边与它们夹
角的余弦的积的2倍，即cosC (余弦定理)。b、长
方体的一条对角线 长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方
和，即(三度平方和定理)。 d、两条异面直线ａ、ｂ所成的角为θ，它们的公垂线ＡＡ′的长度为ｄ，在直线ａ、
ｂ上分别取点Ｅ、Ｆ，设Ａ′Ｅ=ｍ ，ＡＦ=ｎ，ＥＦ=l，则
(异面直线上两点间距离公式)。e、在以
Ｄ ＡＢＣ为三个直三面 角的四面体D—ＢＣＤ中，第四个面的
面积等于三个直三面角的三个面的面积的平方和，即
。以 上各推演在本质上都统一于勾股定理，如果
能够看到不同形式下的相同内核，那么就能更加深刻的理解各 个
知识，提高对他们的应用能力。
以上各例列举的知识统一，恰恰证明了数学家希尔伯特的论
断：“尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚的认识到，在作为
整体的数学中，使用着相同的逻 辑工具，存在着概念的亲缘关系。
同时，在它的不同部分之间，也有大量的相似之处。我们还注意
到，数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加协调一致，并
且一向相互隔绝的分支之间也会显露出 原先意想不到的关系。因
此，随着数学的发展，它的有机的特性不会丧失，只会更清楚地
呈现出 来。”
2．３对称性
所谓对称，即指整体的各个部分之间的匀称和对等。对称美，
美在反映事物的秩序、简洁、完整及由此及彼的联系，美在表现
了事物运动的稳定性与对立统一规律。在 现实世界中，对称的形
象是很多的。例如人体的外形，显示出左右对称。树叶以其主脉
为对称轴 ，蜂巢、蛛网呈正多边形。毕达哥拉斯曾说：“一切立
体图形中，最美的是球形。一切平面图形中最美的 是圆形。”杨
辉三角，以非常整齐的三角形排列，得出了二项式不同方次的展
开系数；大家都非 常熟悉的“九九歌”，如果把九的口诀从左向
右做好整齐的排列，也是一个非常严整的直角三角形。对称 性还
表现为某种相应性。例如，加与减、乘与除、正弦与余弦、指数
与对数、有限与无限、微积 与积分等等都是如此。再如，在一定
条件下，有一个关于极大值的命题，就相应地有一个关于极小值的命题。“如果三角形的周长一定，则当这个三角形是正三角形
时面积最大’，与“如果三角形的面 积一定，则当这个三角形是
正三角形时周长最小”就是相应的命题。
2．4 奇异性
奇异性是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物
（思想、方法、理论）所突破，或出乎意料， 超乎想像的结果所
带来的新颖和奇特。弗朗西斯·培根曾说：“没有一个极美的东
西不是在调和 中有着某些奇异。”徐利治也认为：“奇异是一种
美，奇异到极度更是一种美。”在数学史上，种种悖论 导致一系
列数学危机，使数学研究者们在震惊之余又去苦苦寻找解决危机
的方法。力图使猜想变 为现实的种种研究，这些都是数学奇异美
的结果，它不同程度的推动着数学的发展。在欧几里德几何占统
治地位的时代，非欧几何的思想是奇异而“荒诞”的思想。但奇
异所造成的并不总是消极的影响 ，恰好相反，在它们之间常常孕
育着新的巨大发展的可能性。再如小学生都能运用自如的分配律
ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ 就不能推出ｓｉｎ（α＋β）＝ｓ
ｉｎα＋ｓｉｎβ 以及 ｌｇ（ａ＋ｂ）＝ｌｇａ＋ｌｇｂ（ａ
＞０， ｂ＞０）。这就迫使我们去寻求前因后果；又如经常见< br>到的各种各样的典型错题辩析，常常因“常规”而致，要想解决
这些问题，就得弄清相关知识的来 龙去脉，使其更具科学化、系
统化、完整化。
3、数学美的教育作用
3．1数学美可以培养学生浓厚的学习兴趣
数学中充满美的因素，“不论是优美的几何图形 ，还是简洁
美丽的计算公式，都可以给学习它的人一种美的享受”。图形中
的对称，公式中的类 比，不仅可以培养学生的想象力，而且可以
激发学生的学习兴趣，充分挖掘数学中多种美的因素，诱发学 生
的学习积极性，对学生的成长发展将起着非常重要的作用。
3．2数学美可以使逻辑思维与形象思维有机结合
现代脑科学证明，人的左脑主管逻辑思维， 右脑主管形象思
维。人们一般认为，数学是推理，其实数学中存在大量美的因素，
如优美的几何 图形及其用几何图形表示的某种运算关系的形象
表示，充分显示数学中也大量存在着形象思维，例如想象 、直觉、
顿悟。因而，充分发掘数学美，可以增强形象思维，使左右脑配
合，共同发挥作用，使 逻辑思维与形象思维更好地结合，提高学
生的思维能力，这也正是全面发展人才的一个必备条件。
3．3数学美可以增强学生的创新能力
许多事例说明，追求数学美，是数学发展的内在动力 之一。
一个人要想进行开创性的工作，必须破除思维定势，增强发散思
维，数学中的类比、归纳 、思辨，都是一种发散思维，只有充分
发掘数学美的因素，才能不被逻辑思维所定势，从而思想活跃，< br>思维发散，达到增强创新能力的目的。
4、怎样在教学中滲透数学美
我们要 把数学美的教育渗透到数学教学过程中去，孜求于
美，寓教于乐，使学生在潜移默化中激发兴趣、获得修 养、提高
素质、弄清本质。
4．1教学中应揭示教材里潜在的关系因素，使学生自觉 地
认识到数学的美。对于潜在于数学教学中的数学美，教师应当采
用发现法教学，从审美的角度 提出问题，创造思维情景，使学生
沉浸在渴望求得具有美学特征的新知识情感之中，通过必需而且
精炼的实践去获得感知，并在此基础上，让学生，愉快而又顺其
自然地再发现具有美感的新知识。在这 样的过程中，学生的审美
直觉能力必然会得到培养和提高。
4．2教学中提供创造数 学美的机会。在课堂教学中，若能
经常发掘教材中的数学点，就能大大提高学生感受美和鉴赏美的
能力，逐步使学生达到运用数学中的美学方法去进行美的创造的
初步能力。把创造数学美的活动与培养 学生创造性思维工作结合
起来的教学必然会收到极好的效果。教师要善于挖掘和发现数学
美的创 造实践活动。
4．3教师应当优化每节课的教学结构，运用各种优美的语
言、考究的板书以及 各种现代化的教学手段进行教学，要把学生
摆在主体的地位，让学生积极主动地参与数学审美活动，去发 现
和感受数学美，成为知识的主动建构者。另外，审美离不开感情。
情感是个体对客观事物比较 稳定的态度体验，它是整个数学审美
活动中最活跃的心理因素。所以在教学过程中要建立一种民主、和谐、平等的师生关系，使教学过程不仅是认知交流，更表现为
一种师生彼此之间的情感沟通的过程 。