45万2018年高考全国2卷理科数学带答案解析

2020年11月25日发(作者：查玉升)
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字
笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．1 2i
1 2i
4 3 4 3

A．
i i
B． C．
5 5 5 5
2 2
2．已知集合
A {( x, y) | x y 3,x Z, y
素的个数为


x

x
3．函数
f ( x)
e e
的图象大致
2
为
x
A．9 B．8
3 4

i
5 5
Z} ，则 A 中元
D．4
3 4

i
D．
5 5
C．5
4．已知向量 a ， b 满足 | a | 1， a b
2

2
5．双曲线
x y
2 2
0)
a b
2x

A． y
A．4 B．3
1 ，则 a (2a b)
C．2
3 ，则其渐近线方程
D．0

的离心率为
1( a 0,b
为
B． y 3x C．
y
D．
2
2
x

y
x
3
2
C

6．在 △ABC 中，
cos
2
A． 4 2

5
， BC 1 ， AC 5 ，则
AB
5
B． 30 C． 29 D． 2 5
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7．为计算1 1 1 1 1 1

开始
S ，设计了右侧的程
2 3 4 99 100
N 0,T
0
序框图，则在空白框中应填入
i 1

A． i i 1

B． i i 2
是
C ． i i 3
否


i 100

D． i i 4

N N

1

i
S N T
1
输出S
T T
i 1
结束
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果． 哥德巴赫猜想是“每
个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 7 23 ．在不超过30 的素数中，随
机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是

A． 1
12

B． 1
14

C． 1

D． 1
15 18
9．在长方体ABCD A B C D
1 1
中，
1
AB
1
BC 1 ，

AA
1
3 ，则异面直线

AD
1
与

DB
1
所成角
的余弦值为

A． 1

B． 5

C． 5
5
6

D． 2
5 2
10．若 f (x) cos x sin x 在 [ a, a] 是减函数，则 a 的最大值是
π C． 3π
π
A． B． D． π
4 2 4
11．已知 f (x) 是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f (1)
则 f (1) f (2) f (3) f (50)
A． 50 B．0 C．2 D
12．已知

2 2
．50
x y
F ， F
2
是椭圆C：
2
2 1( a b 0) 的左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点
P
1
在
a b

过A 且斜率为

3

的直线上，

6
△ PF F
1 2
为等腰三角形，

F
1
F
2
P 120 ，则 C 的离心率
为

A． 2

B． 1
3

C． 1

D． 1
2
3
4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y 2ln( x 1)在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________．
x 2 y 5≥ 0,
14．若 x, y 满足约束条件 x 2 y 3≥ 0, 则 z x y 的最大值为 __________．
x 5 0,
≤
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2 ，
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15．已知 sin α cos β 1， cosα sin β 0 ，则 sin(α β) __________．
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16．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB所成角的余弦值为

，SA与圆锥底面所成角为
7
45° ，
8
若△SAB的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 __________．
三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
记 S
n
为等差数列 {a
n
} 的前 n 项和，已知 a
1
（1）求 { }
a 的通项公式；
n

（2）求
S ，并求 S
n
的最小

值．
n
7 ， S
3
15 ．
22、23 为选考题。考生根据要求作答。
18．（12 分）
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归
模型．根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2, ,17 ）建立模型①：
y? 30.4 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1, 2, , 7 ）建立模
99 17.5t ．
2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
型②： y?
（1）分别利用这两个模型，求该地区
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12 分）

2 4

设抛物线
C：y x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与C 交于 A ，
B 两点，
| AB | 8 ．
（1）求 l 的方程；
（2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
20．（12 分）
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P
如图，在三棱锥P ABC 中， AB BC 2 2 ，
PA PB PC AC 4 ， O 为 AC 的中点．
（1）证明： PO 平面 ABC ；
（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30 ，
求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．

21．（12 分）
A

O

已知函数

B

M
f (x)
x
e ax
2
．
（1）若 a 1 ，证明：当 x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1；
（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22． [ 选修4－4：坐标系与参数方程 ] （10 分）

在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程

x
（ θ为参数），直线

2cosθ,

为
y 4sin
数方
θ,
程为

x 1 t cosα,
y 2 t sin α,
（ t 为参
数）．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率．
23． [ 选修4－5：不等式选讲] （ 10 分）
设函数 f (x) 5 | x a | | x 2| ．
（1）当 a 1 时，求不等式 f (x)≥ 0 的解集；
（2）若 f (x)≤ 1 ，求 a 的取值范围．
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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
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C
的参l
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一、选择题
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1．D
7．B
二、填空题
13． y 2x
三、解答题
17．解：
2．A
8．C
3．B
9．C
4．B
10．A
5．A
11．C
6．A
12．D
14．9 15．
1

2

16． 40 2π
（1）设 { }
a 的公差为 d，由题意得 3a
1
3d
n

由
a
1

7 得 d=2．
15．
所以{ }
a 的通项公式为 a
n
n

2n 9 ．
2

2 8 ( 4)16
（2）由（ 1）得

S n n
n ．
n
所以当 n=4
S 取得最小值，最小值为 -

时，
16．
n
18．解：
（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
?
y
30.4 13.5 19 226.1
( 亿元) ．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
y? 99 17.5 9 256.5 ( 亿元) ．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y 30.4 13.5t 上下．这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地
2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增
2010 年开始环境基
描述环境基础设施投资额的变化趋势．
加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从
础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用
y?
2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型
因此利用模 99 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，
型②得到的预测值更可靠．
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（ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到
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的预测值 226．1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明
利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）由题意得 F (1,0) ，l 的方程为 y k(x 1)(k 0) ．

设

A(x , y ), B(x ,
y )
1
，
1 2 2

由

y k(x 1),

2 2 (2
2
4) 2
2
得
0
y 4x
k x k x
k ．
2
2k 4 2
16k 16 0 ，故 x
1
x
2
2
．
k
2
4k 4
| AB | | AF | | BF | (x 1) (x
1) ． 所以 1
2
2
k

2
由题设知
4k 4

2
8
，解得
k 1
（舍去），
k 1
．

k
因此 l 的方程为 y x 1．
（2）由（1）得 AB的中点坐标为 (3, 2) ，所以 AB的垂直平分线方程为 y 2 (x
即 y x 5．

设所求圆的圆心坐标为

(x ,
y
0
) ，则
0


y x

x

x

0 0
5,
解得
0
3,
或
0
11,
2
y
2
0
y
6.

0
2
( y
0
x
0
1)
(x 1)
16.
0
2

因此所求圆的方程为

2 2 2
(x 3) ( y 2)

2
16 (x 11) (y 6)
或 144 ．
20．解：
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3) ，