无限未知2018年高考全国3卷理科数学(含答案)

2020年11月25日发(作者：廖百威)
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合
A
A．
2
．
0
x | x 1≥0
B．1
B
，

0，1，2
，则

A

2 i

C．1，2

D
．
0，1，2

1 i
B． 3 i C．3 i D．3 i A． 3 i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫
卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼
的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
4．若
sin


8
A．
9
1
，则 cos 2
3


B．

7
9

7
C．

D．
9

8

9
5


2

2

的展开式中 x
4
的系数为
5． x




A．10
x
B．20 C．40 D．80
x
2 2
6．直线
x y 2 0
分别与
x
轴， y 轴交于 A ，B 两点，点 P 在圆
2
取值范围是
A
．

2
y 上，则
ABP
面积的
2，6

B
．
4，8

C． 2 ，3 2 D． 2 2 ，3 2
1 / 10
7．函数
y x
4
x
2
2
的图像大致为
8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的
10 位成员中使用移动支付的人数， DX
A．0．7 B．0．6
2.4 ，
P
C．0．4
X 4 PX 6
，则

p
D．0．3

a
2
b
2
9．
△ABC
的内角 A，B，C 的对边分别为
a
，
b
，
c
，若 ABC 的面积为
2
c

4


π

π

π

π
A． B． C． D．
2 3
4
6


，则
C

10．设
A，B，C ，D
是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则
三棱锥 D ABC 体积的最大值为
A．12 3 B．18 3 C． 24 3 D．54 3

x y
11．设
2 2
F ，F 是双曲线
2 2
1
C
： （
a 0，b 0
）的左，右焦点，
O
是坐标原
点．过
1

2

F 作
C
的一
2
a b
条渐近线的垂线，垂足为 P ．若

PF
为
1

6
OP ，则
C
的离心率
A． 5
0.2
B．2
2
C． 3 D． 2
12．设 a log 0.3，b log 0.3，则


A． a b ab 0
C． a b 0 ab
B． ab a b 0
D． ab 0 a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 a=
14．曲线
y
1, 2
b=
，

e
在点
2,2
0，1
c=
，

1, λ

．若
c∥2a + b
，则

________．
ax 1
x
处的切线的斜率为

2 ，则 a ________．
f x

x

在

cos 3
π
0，π
的零点个数为
________．
15．函数



1，1
6
和抛物
C：y
16．已知点
M

2
4x ，过
C
的焦点且斜率为
k
的直线与
C
交于 A ， B 两点．若
线

∠AMB 90 ，则 k ________．
2 / 10
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
等比数列

n

a
1
1，a
5
4a
3
．
a 中，
（1）求

n

a 的通项公式；

（2）记

S
为a
m ．
n n
的前
n
项和．若 S
m
63 ，求
18．（12 分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为
比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种
生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如
下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超
过 m 的工人数填入下面的列联表：
超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
不超过 m
（3）根据（2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附：
2

K


2



n ad bc
，
P K
2
≥ k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828


．





a b c d a c b
d


3 / 10
19．（12 分）
如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面
垂直， M 是CD 上异于C ， D 的点．
（1）证明：平面
AMD⊥
平面 BMC ；
（2）当三棱锥 M ABC 体积最大时，求面
MAB
与面 MCD 所成
二面角的正弦值．
20．（12 分）
x y
已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆 1
4
2
3
2
C： 交于 A ，B 两点．线段 AB 的中点为
M 1，mm
1
（1）证明： k ；
2
（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP FA FB 0 ．证明： FA ， FP ， FB 成等差
数列，并求该数列的公差．
21．（12 分）
已知函数




f x 2 x ax ln 1 x 2x
．
2
（1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0 时，
f x 0
；当 x 0 时，
f x 0
；
（2）若 x 0 是
f x
的极大值点，求
a

．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
x cos
，
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为


（

为参数），过点
0
，
2
且倾斜角为

y sin
的直线
l
与 ⊙O 交于 A，B 两点．
（1）求 的取值范围；
（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
设函数
f x 2x 1 x 1
．
．
0


（1）画出
y
（2）当
x∈
f x
的图像；

x≤ax b
，求 a b 的最小值．
0，
，

f
4 / 10
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1
C
二、填空题

13．

1

14．
2
D
3
A
4
B
5
C
6
A
7
D
8
B
9
C
10
B
11
C
12
B
2
3
15．
3
16．2
17．解：
（1）设
{a }
的公比为
q
，由题设得
a
n n
q
n
1
．
2
或
q 2
． 由已知得
q
故
a
n
4
4q
2
，解得
q 0
（舍去），
q
2
n
1
．
(2)
n
1
或
a
n
（2）若
( 2)
n
1

S

，则
a
1

n
(2)
n

．由
S
数解．
n
63
得
(
m
2)
m
188
，此方程没有正整
3
2
n
1
．由
S
m
若
a
n
2
n
1
，则
S
n
63
得
2
m
64
，解得
m 6
．
综上，
m
18．解：
6
．
（1）第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80
分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟．因此第二种生
产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85．5 分钟，用
第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73．5 分钟．因此第二种生产方式的效率更
高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二
种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关