关于春节的对联函数模型 ： In_x的性质与应用

2020年11月25日发(作者：和凝)
４６　数学通报　２０１４年　第５３卷　第１２期　
函数模型　：　Ｉｎ＿ｘ的性质与应用　
从几个高考题谈起　
明知白　
例１（２０１４年湖北卷理科２２题）　７ｃ为圆周　< br>率，　一２．７１８２８…为自然对数的底数．　
得到下面的结论：　
结论１　当　≥３ 时，　
Ｎ　）．　
＞（ｎ　４－１）　（　∈　
（１）求函数，（ｚ）一　的单调区间 ；　
（２）求ｅ。，３　，ｅ　。　，３　，　。这６个数中最大数　
与最小数；　
（ ３）将ｅ。，３　，ｅ　，兀　，３　，７【。这６个数从小到大　
的顺序排列，并证明你的结论．　< br>注：文科卷２１题没有（３），其他同上．　
进一步思考：设ｚ＞０，那么．ｚ　与（．７２＋１ ）　
哪个大？更一般地，若ａ＞６＞０，那么ａ　与ｂ　哪　
个大？经过研究，得到　
结论２若ｎ＞６＞ｅ，则ａ　＜　；若Ｏ＜６＜ｎ＜　
ｅ，则　＞　
证明　由于ｎ＞０，６＞０ ，有　
ａ　＜　∞ｌｎ口　＜ｌｎｂ“　
臼
这里给出了一个重要的函数模型　一　．　
例２　（１３年北京卷理科１８题）设Ｌ为曲线　
Ｃ：　—ｌｎｘ：￣点（１
Ｏ）处的 切线．　
，
ｌｎ
ｑ＜　
＿
．　
设　一　，则　一　坚，于是 　
（１）求Ｌ的方程；　
当Ｏ￣ｘ％ｅ时，Ｙ　＞Ｏ，函数Ｙ为增函数；当　
＞　时， Ｙ　ｄＯ，函数ｙ为减函数．由此立得结论２．　
更一般地，函数　——ｌｏｇ
ｘ（ａ＞Ｏ，ｎ≠１）有如　
．
（２）证明：除切点（１，０）之外，曲线ｃ在直线Ｌ　
的下 方．　
试题唤起了一段回忆，在３Ｏ多的１９８３年上　
半年，笔者思考这样一个与年代有关的 趣题：比较　
１９８２¨　。与１９８３”　的大小．为此，提炼为比较　
与（　＋１）　（　 ∈Ｎ　）的大小．　
当　：＝＝１，２时，有　＜（　＋１）”；当　一３，４，　
下性质：　
结论３　设厂（ｚ）一—ｌｏｇ
ｘ（　＞Ｏ
￣
—
，ｎ＞０且口≠　< br>１）．当日＞ｌ时，，（ｚ）在区问（０，ｅ）上单调增，在区　
５，…时。有　＞（　＋１）　 ．于是猜想：　
间（　，＋。。）上单调减；当０＜ｎ＜１时，厂（ｚ）的单　
调性相反．　< br>当　≥３时，有”　＞（７ｚ＋１）　（　∈Ｎ　）．　
曾先后用数学归纳法、二项式定理证明， 后又　
用数列的单调性证明：　
设　测　
（　＋１）　
”　
函数　— ｌｏｇ．ｘ（ｎ＞Ｏ
，
且ｎ≠１）的图象如下：　
ｌｏｇｊ
：丁
～． 口＞１）　
ａ　＋１　（　＋１）”＋　
ａ　
：：：　
（Ｉ＂／＋２）　（　＋ｎ２祟　＞　，　）　
＼／—Ｔ—＼　
Ｄ　／　！　／　
ｌｏｇ，ｘ（０＜ 口＜］　
：丁
于是ａ　＋　＞ｎ　，因此当　≥３时，口　≥口。＞１，由此