海棠香国数学选修2-3.docx

2020年11月25日发(作者：吴克之)







































数学选修 2-3 排列组合








2016 年 12 月 31 日烟火狸的高中数学组卷







一．选择题（共

21 小题）


1．某班新年联欢会原定的



5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节

）

目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（

A．42 B．96 C．48

D．124


2．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等



8 名学生中选派 4 名学生参加，要求

甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不

能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（


）

A．1860



B．1320

C．1140

D．1020

3．某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同

学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的


发言顺序种数为（



）

A．360 B ．520 C．600 D．720

4．一个五位自然



，a
i
∈{0 ，1，2，3，4，5} ， i=1 ，2， 3， 4， 5，

当且仅当 a
1
＞a
2
＞ a
3
，a
3
＜a
4
＜a
5
时称为“凹数”（如

32014，53134 等），则满足


条件的五位自然数中“凹数”的个数为（


）

A．110 B ．137 C．145 D．146


5．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位


同学要站在一起，则不同的排法有（



）

A．240 种 B．192 种 C．120 种

D．96 种

6．由数字

0，1，2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于


十位数字的个数有（



）

A．600 B ．464 C．300 D．210

7．当行驶的 6 辆军车行驶至 A 处时，接上级紧急通知，这 6 辆军车需立即沿

B、


C 两路分开纵队行驶，要求 B、 C每路至少 2 辆但不多于 4 辆．则这 6 辆军车不


同的分开行驶方案总数是（


）

A．50 B．1440




C． 720 D．2160

第 2页（共 18页）








8．为贯彻落实中央

1 号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把


马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的


目标是力争到 2020 年马铃薯种植面积扩大到 1 亿亩以上．山东省某种植基地对编
号分别为 1，2，3，4，5，6 的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中
编号为 1，3，5 的三个品种中有且只有两个相邻，且 2 号品种不能种植在


两端，则不同的种植方法的种数为（


）

A．432 B ．456 C．534 D．720


9．某年数学竞赛请来一位来自

X 星球的选手参加填空题比赛，共

10 道题目，

这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第 10 题）开始往前看，凡是遇到
会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目） ，一直看到


第 1 题；然后从第 1 题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，


遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2， 1，5，6，


10 的次序答题），这样所有的题目均有作答， 设这位选手可能的答题次序有

n 种，


则 n 的值为（



）

D．1023

A．512 B ．511 C．1024


10．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织


6 个年级的学生外出参观包括甲

博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年

级选择甲博物馆的方案有（


）

种

种


A．

C．

种

种

B．

D．


11．如图所示 2×2 方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是

4 中的任何一个，允许重复．若填入

填法共有（


A B

C D


l 、2、3、

A 方格的数字大于 B 方格的数字，则不同的







）








A．192 种

B．128 种


C．96 种

D．12 种


12．4 个不同的小球全部随意放入

3 个不同的盒子里， 使每个盒子都不空的放法

种数为（


）

B．

第 3页（共 18页）

A．









C．



D．

13．对于任意正整数 n，定义“ n!! ”如下：


当 n 是偶数时， n!!=n? （ n﹣ 2）?（ n﹣ 4） ?6?4?2，
当 n 是奇数时， n!!=n? （ n﹣ 2）?（ n﹣ 4） ?5?3?1


现在有如下四个命题：


①（ 2003！！）?（ 2002！！）=2003×2002× × 3× 2× 1；


② 2002!!=2
1001
× 1001× 1000× × 3×2×；



③ 2002!! 的个位数是 0；
④ 2003!! 的个位数是 5．
其中正确的命题有（）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个


14．数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分别研究


四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的


分配方案有（




）种．

B．C C C

3
4

A．






A

C．




4
3
D．C C C

4
3

15．高三某班上午有 4 节课，现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课，如果甲乙


两名教师不上第一节课， 丙必须上最后一节课， 则不同的安排方案种数为 （


）

A．36 B．24 C．18

D．12


16．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为



1，2 9 的 9 个小正方形，使得任

3， 5，7”的小

意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“

正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（


）种

1


2

5

8

3

6

9

4


7



A．18 B．36 C．72

D．108

17．某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，



第 4页（共 18页）








若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在


10 月 1 日，丁不排在 10 月 7

日，则不同的安排方案共有（



）

A．504 种 B．960 种

C．1008 种 D．1108 种

18．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第


i 个数为 a
i
（i=1 ，2， ， 6），

）

若 a
1
≠1，a
3
≠ 3， a
5
≠ 5， a
1
＜a
3
＜a
5
，则不同的排列方法种数为（

A．18 B．30 C．36

D．48


19．高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 个音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺


节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（


）


A．1800

B．3600C．4320D．5040


20．由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中小于

数共有（

A．60 个


50000 的偶

）

B．48 个 C．36 个 D．24 个

r






21．组合数 C
n
（n＞r ≥ 1， n、 r ∈ Z）恒等于（

A．

C．nr








）




B．（n+1）（r+1 ）

D．


二．解答题（共

1 小题）


22．规定



，其中 x∈ R，m是正整数，且 C
X
0
=1．这是组合

数 C
n
m
（ n， m是正整数，且 m≤ n）的一种推广．



（ 1）求 C
﹣

15
的值；

m

n ﹣m

m

m﹣1

m

m

3

（ 2）组合数的两个性质：① C
n
=C
n

；②C
n
+C
n

=C
n+1
是否都能推广到

C
x
（x∈ R，



m∈N
*
）的情形？若能推广，请写出推广的形 式并给予证明；若不能请说明理由．

（ 3）已知组合数

C























m

是正整数，证明：当

x∈Z，m是正整数时， C
n



m

x


∈ Z．

第 5页（共 18页）













2016 年 12 月 31 日烟火狸的高中数学组卷



参考答案与试题解析







一．选择题（共

21 小题）


1．（2003?北京）某班新年联欢会原定的

5 个节目已排成节目单，开演前又增加


了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为


（



）

A．42 B．96 C．48

D．124

【分析】 方法一：分 2 种情况：（1）增加的两个新节目相连， （2）增加的两个
新节目不相连；


方法二： 7 个节目的全排列为




A
7
7
，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺

序不变，故不同插法：




．

【解答】 解：方法一：分 2 种情况：（ 1）增加的两个新节目相连， （ 2）增加
的两个新节目不相连；


1

2

2

故不同插法的种数为

A
6
A
2
+A
6
=42．


方法二： 7 个节目的全排列为




A
7
7
，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法

的种数为




，

故选 A．


【点评】 本题考查排列及排列数公式的应用．







2．（2016?绵阳校级模拟）某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等



8 名学生中选

派 4 名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加

时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（


）

A．1860




B．1320

C．1140

D．1020

【分析】 分 2 种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由

第 6页（共 18页）








排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．


【解答】 解：根据题意，分

2 种情况讨论，


若只有甲乙其中一人参加，有


C
2

1
?C
6

3
?A
4
4
=960 种情况；

若甲乙两人都参加，有

C
2

2
?C
6

2
?A
4

4
=360 种情况，

2

2


3


2

其中甲乙相邻的有 C
2
?C
6

?A
3
?A
2


=180 种情况；

960+360﹣ 180=1140
则不同的发言顺序种数

种．

故选 C．



【点评】 本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分
类是关键．







3．（2016?衡水模拟）某班班会准备从甲、乙等

7 名学生中选派 4 名学生发言，


要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能


相邻．那么不同的发言顺序种数为（


）

A．360 B ．520 C．600 D．720


【分析】 根据题意，分 2 种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人


都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得


答案．


【解答】 解：根据题意，分

2 种情况讨论，


若只有甲乙其中一人参加，有


C
2

1
?C
5

3
?A
4
4
=480 种情况；

若甲乙两人都参加，有

C
2

2
?C
5

2
?A
4

4
=240 种情况，

2

2


3

2

其中甲乙相邻的有 C
2
?C
5

?A
3
?A
2

=120 种情况；

则不同的发言顺序种数

480+240﹣ 120=600 种，

故选 C．









【点评】 本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．

4．（2016?吉林校级二模）一个五位自然



， a
i
∈{0 ， 1， 2， 3， 4，

5} ，i=1 ，2，3，4，5，当且仅当 a
1
＞a
2
＞a
3
，a
3
＜a
4
＜ a
5
时称为“凹数” （如 32014，


53134 等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（




）

第 7页（共 18页）








A．110 B ．137 C．145 D．146


【分析】本题是一个分类计数问题，数字中 a
3
的值最小是 0，最大是 3，因此需要
把 a
3
的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．【解
答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题，


数字中 a
3
的值最小是 0，最大是 3，因此需要把 a
3
的值进行讨论，


当 a
3
=0 时，前面两位数字可以从其余


5 个数中选，有

=10 种结果，后面两位

需要从其余 5 个数中选，有 C
5
2
=10 种结果，共有 10×10=100 种结果，


当 a
3
=1 时，前面两位数字可以从其余 4 个数中选，有 6 种结果，后面两位需要从
其余 4 个数中选，有 6 种结果，共有 36 种结果，


当 a
3
=2 时，前面两位数字可以从其余 3 个数中选，有 3 种结果，后面两位需要从
其余 4 个数中选，有 3 种结果，共有 9 种结果，


当 a
3
=3 时，前面两位数字可以从其余 2 个数中选，有 1 种结果，后面两位需要从
其余 2 个数中选，有 1 种结果，共有 1 种结果，


根据分类计数原理知共有 100+36+9+1=146．


故选 D．


【点评】 本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，


本题要注意 在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形
成，不用排列．







5．（2016?丰城市校级二模）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在


正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（


）

A．240 种 B．192 种 C．120 种

D．96 种


【分析】 利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙


在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以


2 即可得到所有的站法总数．

2

【解答】 解：不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有

A
2

种站法，再取一人站


1

2

种站法，余下三人站右侧，有

3

种站法，




左侧有 C ×A
A

4

2


3


3



2

1

2

考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是

故选： B．

2×A
2

× C
4

×A
2
×A
3


=192，


【点评】 本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事


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件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗


称特殊元素特殊位置优先的原则．







6．（2016?南充三模）由数字 0，1， 2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，


其中个位数字小于十位数字的个数有（


）

A．600 B ．464 C．300 D．210


【分析】根据题意，按照个位数字的可能情况，分个位数字分别为

4 时进行讨论， 分别求出每种情况下六位数的个数，

案．





0，1，2，3，

由分类计数原理计算可得答





【解答】 解：根据题意，分 5 种情况讨论：

①个位数为 0，十位数必然比个位数字大，将剩下的

5

5 个数字全排列即可，则有



1







A
5
个符合条件的六位数；

②个位数为 1，十位数可为 2、3、4、5，有 A
4

种情况，

1
首位数字不能为 0，在剩余的 3 个数字中选 1 个，有 A
3

种情况，

3



将剩下的 3 个数字全排列，安排在其他 3 个数位上，有

A
3
种情况，


故有 A
4

1
?A
3
1
?A
3
3
个符合条件的六位数；

1


③个位数为 2，十位数为 3、 4、 5，有 A
3
种情况，



首位数字不能为

0，在剩余的 3 个数字中选 1 个，有 A
3

1
种情况，

将剩下的 3 个数字全排列，安排在其他 3 个数位上，有


1

A

3



3

种情况，

3


1







故有 A
3


?A
3

?A
3

个符合条件的六位数；


④个位数为 3，十位数为 4、 5，有 A
2

1
种情况，

首位数字不能为

0，在剩余的 3 个数字中选 1 个，有 A
3

1
种情况，

3

将剩下的 3 个数字全排列，安排在其他 3 个数位上，有

故有 A

1


1


3

个符合条件的六位数；



A
3

种情况，

?A?A




2


3

3


⑤个位数为 4，十位数为 5，有 1 种情况，


首位数字不能为

0，在剩余的 3 个数字中选 1 个，有 A
3

1
种情况，

3

将剩下的 3 个数字全排列，安排在其他 3 个数位上，有


故有 A

1


3

个符合条件的六位数．


A
3

种情况，

?A




3


3

1


1






5


3

1

1


所以共有 A
5

+A
3

?A
3
（A
4

+A
3


+A
2
+1）=300 个符合条件的六位数；

第 9页（共 18页）