好孕临门中国数学史-

2020年11月25日发(作者：周云帆)

中 国 数 学 史
数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数 学发展的特点，可以分为
五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

中国古代数学的萌芽
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的 发展，仰韶
文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符< br>号取代结绳记事了。
西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为10 0个小正方
形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这
些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与
此同时，殷 人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60
天的日期；在周 代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，
表示64种事物。
公元 前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出
勾股形的勾三、股四、弦 五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子
弟从九岁开始便要学习数目和记数方法， 他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为
“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法
对世界数学的发展是 有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数
学上亦有相应的提高。
战 国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与
数学有关。名家认为经 过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，
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规不可以 为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至
小无内”。还提出 了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题.
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同 深度反映物。墨家给出一些数学
定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
墨 家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按
一半一半地无限分割下 去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割 成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分
割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的 讨论，对中国古代数学理论的发展
是很有意义的。

中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形
成于这个时期， 它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表
的数学著作的出现。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成
就来说，堪称是世界 数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开
立方(包括二次方程数值解法)、 盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方
程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解 法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，
水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界 数学发展上是遥遥领先的。就
其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体 系。
《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹
算记数 法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论
阐述等。
这些特 点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为
当时确立和巩固封建制度， 以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉
初年的《九章算术》，排除了战国时期在百 家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻
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辑的讨论，偏重于与当时生产、 生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发
展情况是完全一致的。
《九章算术》 在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它
的一些成就如十进位值制、今有术 、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉
伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。

中国古代数学的发展
魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜 ，又能运用
逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是
出现在这个 时期。赵爽与刘徽的工作
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在 《周髀
算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾
股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”
中，他用图形面 积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古
代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名
词特别是重 要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数
学著作简明严密，利于读者 。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和
定理进行一般的解释和推导，而且在论述的 过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用
极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆 周率为 157/50和 3927/1250。
刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体 的体积比恒为2:1，解决了一般
立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽 为彻底解决球的体
积提出了正确途径。东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工 作
就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》
的基 础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在
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3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。
据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的
面积 ，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密
率355/113 。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久；祖
冲之之子祖(日恒)总结了 刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立
体，若其任意高处的水平截面积相等，则 这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。
祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球 体积公式。
隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个
时期数学的 情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时
社会的需要，也为后来天元 术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是
用数字三次方程解决的。
唐初封 建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生
30人。由太史令李淳风 等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试
亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《 算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提
供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、 《九章算术》以及《海岛算经》所
作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家 创立了二次函数的
内插法，丰富了中国古代数学的内容。
算筹是中国古代的主要计算工具 ，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹
占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误 等缺点，因此很早就开始进行改革。
其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是 重要的改革。尤其是
“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不 便的
缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿
档 ，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法 ，从《新唐书》等文
献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改 革使
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乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

中国古代数学的繁荣
960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋 的农业、手工业、商业空
前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高 涨的情况
下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，1213年鲍擀之又进行
翻刻。这些都为数学发展创造了良好的条件。
从11～14世纪约300年期间，出现了一批 著名的数学家和数学著作，如贾宪的《黄
帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章 》，李冶的《测圆海镜》
和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世 杰的《算
学启蒙》《四元玉鉴》等，很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界
数学的高峰
从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详
解九章算法 》中载有贾宪的“开方作法本源”图、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开
四次方的例子。根据这些记 录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两
项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其 中贾宪三角比西方的帕斯卡三角形早提出600
多年。
把增乘开方法推广到数字高次方程(包 括系数为负的情形)解法的是刘益。《杨辉算法》
中“田亩比类乘除捷法”卷，介绍了原书中22个二次 方程和 1个四次方程，后者是用增
乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。
秦九韶是高 次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法
解高次方程(最高次数为10) 的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规
定为负数，把高次方程解法分成各种类型。 当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根
的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数 为分子来表示根的非整数部分，
这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时 ，
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