成人话题第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小

2020年11月25日发(作者：魏禧)
第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小

课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建
课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程
教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如
何重建的
课时安排：1课时

本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机- 回归严谨

什么是数学危机?
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来 看，矛盾是无处不在的、
不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
人类最早认识的 是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，
要么大量的数的减法就行不通；同样，引进 分数使乘法有了逆运算——除法，否
则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所 有的量都能
用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也
就促 使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。 可是这
种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发 展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。
在十九世纪发现了许多用传统方法不能解 决的问题，如五次及五次以上代数方程
不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大 问题，即三等
分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定 的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种
发现给这些学科带来极大的冲击，几乎 完全改变了它们的方向。

非欧几何学的诞生

欧几里得的《几何原本》 是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛
病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许 多哲学家，把欧几里得几
何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质
空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判
断，物质世界必然 是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单 明白、直截了当。其他的公理和公
设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成
的两个同侧内角的和 小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角
的那一侧相交。
在《几何原本》中 ，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人
们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的 公理和公设推出，也就是说，平行
公设可能是多余的。
之后的二千多年，许许多多人曾试图证 明这点，有些人开始以为成功了，但
是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些 假设又可以
从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十 八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图
由此得出矛盾。他们得出了一些推论 ，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在
交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合 情理，因此不可能
真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明
了平行公设。
从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。
首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的
事，并且这种不可能性是可 以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其
他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是 罗巴切夫斯基的开创性工作。
要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是 许
多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成
一门纯粹数学 ，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人
已有这些思想苗头，但是真正把几何学 变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。
这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分 别独立地创
立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何
的无 矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相
对无矛盾性”的思想一直贯穿 到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何
归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非 欧几何方面起到重要作
用。
应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。 首先要证
明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第
五公设 独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家 都承认欧几里得几
何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也
就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成
欧几里得几何学中相应 的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和
定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模 型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于
1869年提出 的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面
模型和彭加勒在1882年提出的 用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的
确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到 更一般非欧几何，即黎
曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。