黛玉的新生活数学春季教案 五年级-14 有趣的数阵图

2020年11月25日发(作者：莫友芝)
第14讲 有趣的数阵图
[教学内容]：
春季五年级精英版，第14讲“有趣的数阵图”。
[教学目标]:
知识与技能：
1、通过对图形的观察，发现图形的规律，进一步发现数的规律；
2、利用容斥原理解决数阵图问题。
数学思考：
1、形成数感，并感受几何直观，帮助发现问题中的规律；
2、通过观察、尝试及验证，进行适当推理，并进行有条理地思考。
问题解决：
1、将问题简单化，找到解决问题的最佳方法；
2、通过合作交流，生生互动，解决问题并表达出自己的想法；
3、经过简单题型的学习，总结解题方法及规律，解决较复杂的问题。
情感与态度：
1、在相互协作，教师引导下，解决较困难的问题，竖立信心；
2、养成乐于思考、勇于质疑、言必有据的良好品质和习惯。
[教学重点和难点]:
教学重点：
观察发现图形规律及数的规律。
教学难点：
利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题。
[教学准备]:
动画多媒体语言课件。





第一课时
教学过程：
教学路径
一、导入
师：首先让我们一起看这样一张表：

（课件显示上表）




学生活动

方案说明
师：同学们观察一下，这个4×4方格中的数有什么规
律呢？同桌之间可以相互讨论。
生：我发现每一行、每一列、每条对角线上的四个数
之和都相等，都等于34。
生：我还发现，任意一个2×2的正方形中的4个数的
和也都等于34。
（课件可利用红框或颜色闪烁表示出横行、竖列、对
角线、2×2正方形的和都是34）
师：同学们真厉害，一下子就发现了这么多的规律，
大家在生活中一定也是仔细认真，善于观察的小能手！这
里我给大家呈现的表格，有一个专门的名字叫作数阵图。
数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有
时简称数阵。它是由幻方演变而来。 幻方一般都是正方形，
而数阵图的形状则是丰富多样，也特别有趣。
二、新授
今天我们就一起来学习一些简单的数阵图，比比哪个
同学学得最好！首先让我们来看例1
例1： 将1～9这9个自然数填写到下面的九宫格里，
使得每一横行、每一竖列和每条对角线 上的三个数之和都
相等。

（课件显示例1）
1.学生读题，教师提问。
师：这个问题，相信有很多同学都遇到过。我们应该
如何解决这个问题呢？
生：因为 第一横行的和都相等，而1～9的和为45，说
明每一行的和为15，那么每一竖列和每条对角线上三个 数
的和也都是15。同时，1～9这9个数的中间数是5，关于
5对称的两个数的和都是10， 而10+5=15，所以可以把5填
在方阵的正中间。然后使关于5对称的4组数和为10，最
后相办法让正方形四条边上的和为15就行了。
师：这样同学说得非常好。同学们可以试着自己填一
填。
2.学生填数，师巡视指导
师：好了，我请一位同学上来把自己的填法给大家看
一下。
学生动手自己填一下。汇报结果。
师：今天老师给大家介绍一个简单的方法：
< br>解析一：（课件动画演示以上过程（第一步中九个数要按顺
序一个个出现），每动一步，口诀同步 显示在旁边）
解析二：动画按顺序排列，下一步
以5为中心，顺时针旋转一格，下一步
对角互换。

答案：把最后的结果填到方阵中。
3.教师小结
师：通过检验，我们发现，结果真的和题目条件一致。
亲爱的同学们，其实不仅仅1～9可以这样填。所 有9个数
组成的等差数列都可以这样填，结果也都可以保证使每一
行、每一列、每条对角线上的 和都相等，通过这个方法，
我们来检验一下，结果是否符合题意。
现在大家可以试着把2、4 、6、8、10、12、14、16、
18这九个数填到3×3的方阵中，使每一行、每一列、每条对角线上的和都相等。我们看谁填得最快！
（根据课堂时间，适当选择该题）
师：同学们做得都很好。这是一个正方形的数阵图，
现在让我们继续往下看。
（课件显示例2）
例2： 将12～16这五个数分别填在下图的“○”中，
使得每条直线上的三个数字之和都等于43。

1.学生读题，教师引导。
师：现在要使每条线上的三个数之和都等于43，我们
应该怎么思考呢？
2.同桌互相探讨，汇报。
生：因为总共就只有2条线，每条线上的三个数之和
都等 于43，两个和相加就是43+43=86。而12～16这五个
数的和为14*5=70，比86小。 这是因为中间的数加了两次，
也就是多加了一次。86-70=16，说明多加了一次的数就是
16，所以中间数是16。43-16=27，说明上下两个数的和与
左右两个数的和都是27。12+ 15=27，13+14=27。所以可以
在上下两个圆圈里填12和15，左右两个圆圈里填13和1 4。
或者反过来填也行。
师：同学们同意他的观点吗？
生：同意！
师：说得这么好，怎么能没有掌声呢！
（师声鼓掌）
3.教师点评，总结。
师：这里关键是要确定什么？
生：确定中间的数。
师：是的。把中间的数确定下来 ，问题就解决一半了！
现在每位同学把过程写完整，并把5个数填到圆圈中。我
请一位同学到前 面来填。
解析：动画横着和竖着的三个圈分别闪烁，标注43.
最后中间的圆圈变色，出示文 字：中间数被重复计算了一
次，先确定中间数：43+43-（12+13+14+15+16）=16
下一步 在中间的圆内填上16.
答案：答案不唯一

师：看来这些 问题都难不住咱们精英班的同学们，下
面这道题可有点难度了，大家做好心理准备哦！
（课件出示例3）
例3：在下面三个圆的空白处分别填入4、5、7、9四
个数，使 每个圆里的四个数的和都相等。

1.学生获取信息，理解题意。
师：其实这道题 可以理解为，把3、4、5、6、7、8、9
这七个数填到图中的七个区域里，使每个圆里的四个数的< br>和都相等。现在题目中已经帮我们填好了3个数，那么剩
下的四个数应该怎么填呢？这个问题好像 挺难解决的。同
学们同桌前后四人为一组进行讨论。
2.小组合作交流，汇报思路。（讨论约3分钟）
师：停，坐正。哪一组可以跟大家分享一下你们的结
果？
生：通过观察，我们发现， 中间的数同时在三个圆里，
可以先不考虑。三个圆里分别已经有两个数，每个圆里两
个数的和分 别是9、11和14，这三个和的差分别是2、3、
5。要使三个圆中四个数的和相等，就必须使最外面 三个数
的差分别是2、3、5，我们发现，4、5、7、9四个数中，4、
7、9符合要求，所 以5填在中间。后面就好做了。
3.学生尝试解答并汇报。
师：非常好，现在每位同学独立思考，并尝试把所有
的数都填到图中。
解析：闪烁中间部分，出示文字：公共部分
下一步

下一步

下一步

答案：填上数字

师：我看到很多同学都做得非常好， 现在同桌之间互
相讲解一下自己的解题过程，一会我请两位同学进行讲解。
（约2分钟后，请两位同学讲解）
4.学生总结方法并汇报。教师适当指导。
师：两位同学说得都很好。现在我们继续往下看。
（课件出示例4）
例4：将1～ 6六个数分别填入下图的圈内，使三角形
每条边上三个数的和都相等。这个和最大可能是（ ），
最小可能是（ ）。

师：观察这个数阵图，你有什么发现？
生：我发现顶点的三个数都要被重复加1次。
师：是的。现在要求每条边上的和最大或最小，应该
怎么办呢？
生：因为三角形三个 顶点上的数都被重复加了，所以
要使和最大，就要把最大的三个数放到顶点上。

然 后把1、2、3分别填到边上的三个圆圈中，使三条
边上的和都相等就行了。同样的，要使和最小就把最 小的
三个数填在顶点上，步骤是一样的。
师：非常好！但这道题只是让我们求出和最大或最小
是多少，没有让我们把具体的排法写出来。从这方面来考
虑，大家有没有更简便一些的方法呢？ 同桌之间可以讨论
一下！
生：如果要使和最大，那么三角形三个顶点上的数就
要最大 。那么把三条边上的和相加就可以得到1+2+3+
（4+5+6）×2=36，所以每边上和最大就是 36÷3=12。求最
小和时，把1、2、3填在顶点上 ，那么最小的和就是[（1+2+3）
×2+4+5+6]÷3=9。
师：非常好。现在同学们在书本上把过程书写完整，
并跟同桌相互说一说这道题的解题思路。
解析：三个顶点上的数都被重复计算了。所以要使和
最大，就要把最大的三个数放到顶点上。
下一步
要使和最小，就要把最小的三个数放到顶点上。
答案：

师：刚才我看到同学们做得都非常好。现在让我们看
最后一个例题。
（课件出示例5）
（选做题）例5：在下面的九宫格中，每个格子里各有
一个数，如 果每行、每列、每条对角线的三个数的和都相
等，根据已知的三个数求
x
？