我比想象中更爱你tomxwd数学数学实验的

2020年11月25日发(作者：项兴良)
一、 实验目的：
算π；
二、实验报告题：
蒲丰（Buffon）的随 机掷针法是计算π的另一种随机模拟，其方法为：在白纸
上画许多条等距为d的平行线，将一根长d/2 的直针随机掷向白纸，若n次掷
针中有m次与平行线相交，当n很大时π的近似值为n/m。试证明这一 结论，
并用MATLAB软件做实验。

二、 源代码：
M文件(Buffon.m)：
function kk=Buffon(n)

d=10;

x=unifrnd(0,d/2,[n,1]);

c=unifrnd(0,pi,[n,1]);

P=x
m=sum(P);

kk=vpa(n/m,15);

命令行窗口：
>> K=Buffon(1000000)
K =
3.35
>> KK=Buffon(10000000)
KK =
3.479

三、结果：
投掷一百万次结果为3.35，投掷一千万次结果为
3.479。


小结：
随着实验次数的增多，确实会越来越接近π。








三、 实验目的：
学会用matlab实现插值与数值积分，并解决实际问题。


二、实验报告题：
1.在桥梁的一端每隔一段时间记录1min有几辆车过桥，得到数据，估 计一天通过桥梁的车流量。
（用线性插值和三次样条插值实现）
2.给出机翼剖面的轮廓线数据，求机翼剖面的面积。（用梯形和辛普森实现）
三、源代码：
第一题：
x1=[0 2 4 5 6 7 8 9 10.5 11.5 12.5 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24];
y1=[2 2 0 2 5 8 25 12 5 10 12 7 9 28 22 10 9 11 8 9 3];
x1=x1.*60;x=0:0.1:24*60;
%线性插值
y=interp1(x1,y1,x);
subplot(121),plot(x1,y1,'*',x,y)
title('线性 插值'),xlabel('时间'),ylabel('车流量'),legend('原始数据','线性插 值')
%三次样条插值
y2=interp1(x1,y1,x,'spline');
subplot(122),plot(x1,y1,'*',x,y2)
title('三 次样条插值'),xlabel('时间'),ylabel('车流量'),legend('原始数据',' 三次样条插值')
%利用梯形公式求积分
y11=trapz(x,y)
y12=trapz(x,y2)
第二题：
x1=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y1=[0 1.8 2.2 2.7 3.0 3.1 2.9 2.5 2.0 1.6];y2=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
%三次样条插值
x=0:0.1:15;
y11=interp1(x1,y1,x,'spline');
y12=interp1(x1,y2,x,'spline');
plot(x1,y1,'*',x1,y2,'*');title('机翼剖面面积');hold on;
plot(x,y11,x,y12);legend('原始数据y1','原始数据y2' ,'y1插值','y2插值');hold off;
%复合梯形公式
xx=0:0.02:15;n=length(x)-1;T1=0;T2=0;
for k=1:n
T1=T1+(y11(k)+y11(k+1))*(x(k+1)-x(k))/2;
T2=T2+(y12(k)+y12(k+1))*(x(k+1)-x(k))/2;
end
T=T1-T2
%复合辛普森公式
m=(length(x)-1)/2;
S1=0;S11=0;S2=0;S22=0;h=(15-0)/(2*m);
for k=1:m
S1=S1+(y11(2*k+1));
S2=S2+(y12(2*k+1));
end
for k=2:m
S11=S11+y11(2*k);
S22=S22+y12(2*k);
end
s1=h/3*(y11(1)+y11(2*m+1)+4*S1+2*S11);
s2=h/3*(y12(1)+y12(2*m+1)+4*S2+2*S22);
S=s1-s2

四、结果：
第一题：

答:用线性插值得到车流量为12990辆/天，用三次样条插值得到车流量约为12669辆/天。
第二题：
答：梯形公式求得面积约为11.3444，复合辛普森公式求得面积约为11.3388。
小结：插值与数值积分很实用，掌握了之后可以解决很多问题。





四、 实验目的：
了解并掌握改进欧拉法与龙格- 库塔法解决数值微分问题，并用MATLAB
实现。解决实际例题。
二、实验报告题：
三、源代码：
创建一个M文件名为Untitled；
format long;
x=pi/2:0.01*pi:10*pi;
h=0.01*pi;
y=[2,-2/pi];
f=@(x,y)([y(2); -(x*y(2)+(x^2-0.5^2)*y(1))/x^2]);
%改进欧拉法
x=x(:);
n=length(y);
m=length(x);
Y=zeros(m,n);
Y(1,:)=y(:)';
for k=2:m
Y(k,:)=Y(k-1,:)+h*feval(f,x(k-1),Y(k-1,:))';
YY=Y(k-1,:)+h*feval(f,x(k),Y(k,:))';
Y(k,:)=0.5*(Y(k,:)+YY);
end
figure,subplot(311),plot(x, Y(:,1)),title('改进欧拉法')
%龙格-库塔法
opt=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);
[x,L]=ode45(f,x,y);
subplot(312),plot(x,L(:,1)),title('龙格-库塔法')
%精确解
J=sin(x).*sqrt(2*pi./x);
subplot(313),plot(x,J),title('精确解')
%误差分析
disp(['改进欧拉法最大误差为：',num2str(max(abs(Y(:,1)-J)) )])
disp(['龙格- 库塔法最大误差为：',num2str(max(abs(L(:,1)-J)))])


四、结果：

>> Untitled
改进欧拉法最大误差为：0.0021394
龙格-库塔法最大误差为：0.0013725

小结：用各种方法解决数值微分问题时，会得到不一样精度的解，相比之下，龙
格- 库塔法会比改进欧拉法精确一点。










五、 实验目的：
1.掌握用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果作初步分
析。
2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。
二、实验报告题：
P137 3.
(1)
小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子， 首付了5万元，每月还
款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？
(2)
某 人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还
4500元，15年还清； 第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。
从利率方面看，哪家银行比较优惠(简单地 假设年利率=月利率*12，可参考(1)
的方法）？
设贷款月利率是r，总贷款为x0，第k次还款后剩余贷款为xk，每月固定还款
为b元。
三、源代码：
1)解：若设贷款月利率是r，总贷款为x0，第k次还贷后剩余贷款为xk， 每月固
定还b元，可得到方程：
x1=x0*(1+r)-b
x2=x1*(1+r)-b
x3=x2*(1+r)-b
·············
xk=xk-1*(1+r)-b
则可得
x1=x0*(1+r)-b
x2=x0*(1+r)^2-b*(1+r)-b
x3=x0*(1+r)^3-b*((1+r)^2+(1+r)+1
)
·············
xk=x0*(1+r)^k-b*((1+r)^(k-1) +(1+r)^(k-2)+…+(1
+r)+1)
整理xk可得：
xk=x0*(1+r)^k+b*(1-(1+r)^k)/r;
又因为总贷款为15万， 总月份为15*12个月，每月还款1000元，则x0=15，
xk=0，k=180，b=0.1；
带进方程xk，得到：
0=15*(1+r)^180+0.1*(1-(1+r)^180)/r;
用MATLAB实现非线性方程的求解：
代码如下：
>>
r=fzer o(inline('15*(1+r)^180-0.1*(1-(1+r)^180)/(-r)'),0. 1
)

r =

0.460

2)解：由第 一题得到的方程xk，带入第一家和第二家的数据，总贷款为50万，
总月份分别为15*12和20* 12个月，每月还款分别为4500和45000/12，则
x0=50，xk1=xk2=0，k1= 180，k2=240，b1=0.45，b2=0.375；

带入xk可得：
0=50*(1+r1)^180+0.45*(1-(1+r1)^180)/r1; ······①
0=50*(1+r2)^240+0.375*(1-(1+r2)^240)/r2; ······②
用MATLAB实现非线性方程的求解：
代码如下：
>> r1=fzero(inline('50*(1+r1)^180+0.45*(1-(1+r1)^18 0)/r1'),0
.1)

r1 =

0.845
>>
r2=fzero(inline('50*(1+r2)^240+0.375*(1 -(1+r2)^240)/r2'),
0.1)

r2 =

0.688
所以，从月利率方面看，第二家银行更优惠。


小结：通过 本次实验，掌握了用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用
法，并对结果作初步分析，用非 线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求
解。获益良多。






六、 实验目的：
用迭代法求方程的根，解决数据的统计与分析问题。
二、实验报告题：
P273, 第7题。(用迭代法求方程的根时，取初值为，迭代误差为0.5)
(用迭代法求上述方程的根，取初值n=2000)；

三、源代码：
format long;
n=2000;
miu=2000;
sgm=50;
A=0.5;
K=50000;
b=0.5;
c=0.35;
N=1-(A-2*A/K*n-c)/(b-c);
N1=norminv(N,miu,sgm);
NNN=[];
for i=1:1000
NNN=[NNN n];
if abs(n-N1)>=0.5