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2020年11月26日发(作者：尹翔)






导数在中学数学解题中的应用


摘 要






导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。导数 在中学数学
解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜
率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。应用导数知识解决中
学数学问题不仅 可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行
整理是十分有必要的。本文对导数 在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对
导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了 导数应用中的易错点。从而为初学
者查询导数相关知识提供了资料。






关键词： 导数 中学数学

应用


















ABSTRACT

Derivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the
college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in
mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of
the demand curve, tangent at a point in the application of function optimization, image,
extremum and monotony of function etc.. The application of derivative knowledge to solve
mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also
simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the application of
derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing
attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of
derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query
derivative knowledge.



Keywords: Derivatives； Middle school mathematics ； application


















1.绪论

导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列


入到了中学教材中。在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。导数是解决许多数学问题的 有力


工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。可以解决中学数学中计算 曲线在某一点的切线


斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、 判断函数的单调性、求解最值的最优


化问题等。









2．导数在中学数学解题中的应用

2.1 导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用

在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到导数的几何意义：



f x
在某一点



p x
0
, y
0










的导数




f



x
0

就是曲线





















y



f x
在

x

x
0

处切线的斜率。





例 2.1

已知曲线

L：

y

分析：主要是计算出曲线

x
2


2x

1
，求经过点

p 2,1
的曲线

L 的切线方程。








L 在 P 点处的斜率

K，又因为点

p 2,1
，此时便可根据点斜式能够计


算出过点

P 的曲线 L 的切线方程了。


解：由题意可知：


曲线 L：





y x
2
2x

1

y 2x 2
Q p 2,1

过点 P 的斜率 K 为：




k
曲线 L 过 P 点的切线方程为：

y
x 2
2 2 2

2




y 1 2 x 2

化简得：





2x y 3

点评：本题在计算曲线

0

L 的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。


例 2.2 在
x
2



2 y
上求一点

P，使

P

到直线

y

x

4
的距离最短。

分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。下面








我将用不同的解法进行作答，进行对比。便可以充分的体现出导数解题时的便利性。


解法 1：


平移直线
y

x

4

，使其与曲线
x
2

2 y
相切，可知

P

点即为所求。

设切线
y

x


b
，代入曲线方程

x
2

2 y
，得：



1
x
2
x b


（ 1）


2


又因为直线
y


x

b
与曲线

x
2

2 y
相切，



1

2b

0

解得：



1



b



2


（1）式为

1
x
2
x

1

0



2


2


故切点为

1,
1



2


解法 2：

设点
p x
0
, y
0

则点

P

到直线的距离为：


1
2
7


x

y 4

x
0

2x
0

2


4

x
0
1



0

0

2


2

d




2


2


2

由上式可知，当

7

2




x
0

1
时

d

取得最小值


4




故点 P 为
1,

1



2


解法 3：


由题可知，点

P 必为平行于直线

y x

b
的直线与抛物线

x
2

因此过 P 点的切线必定平行于直线

y

x

4


由导数的几何意义可知，


y
1

x
2

在

P

点的数值为

1



2


又
Q y

x
设

p x , y


则
y x
0

1



0

0



1

2
7

2
x
0

1



2

2









2 y
的切点

。
































x
0

y
0


1

1
1

，故
p 1,

2

2



点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌


握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜 率的


知识，即利用导数的几何意义进行求解。


2.2 导数在分析函数的性质与图像中的运用


在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。理清导数与函数图像之间的关系。


倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用

2.2.1 已知函数图像，画出其导函数的图像


3 个例题来简单讲解他们之间的关系。


例 2.3 已知函数
f x
的图像如图 2.1、图 2.2 所示，请画出其导函数

y














f x
图像的大致情况

y











0

0

x


图 2.1



函数图像

图 2.2

函数图像

分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们


就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情 况。


解：①图 2.1 的
f



x
的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，

当
x

0
时，斜率大于

0；当
x

0

时，斜率等于

0；当
x


0
时，斜率小于

0.其图 2.1 的导函数图像如图 2.3 所示。

0，当
x

②图 2.2 的
f



x
的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于

0
时斜率越来越

2.4 所示。

大；当
x













0
时，斜率等于

0；当
x

y

0
时斜率越来越小。其图

2.2 的导函数图像如图

y

x









0









x


0

图 2.3

导函数图像

图 2.4

导函数图像

















点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，


在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。


2.2.2 已知导函数图像，画出其原函数的图像


例 2.4 已知函数

y xf x
的图像如图

2.5

所示，下面

4

个图像中能大致表示
y f x
的图像

是（）
y

-1

0

1

x

图 2.5

导函数图像

y

y

-1

0

2

3

x

-1

0

1

2

x

A

B

y

y

-2

-1

0

1

x

-1

0

1

2

x

C

图 2.5-2

选择原函数图

D















































































分析：根据
x
的符号变化，可以得到



f x
的符号变化。因此而得到其

f x
的单调性的变化，

便能够以此来画出其原函数的大致图像。



解：由图 2.5

可知，当
x

1
时

xf

x

0
，则
f x

0
，原函数为增函数，图像上升；当


0 x


1

x

0
时

xf

x

0
，则
f

x 0
，原函数为减函数，图像下降；当

x 1
xf x

时






1
时

xf x

0
，

f x

则


0

，原函数为减函数，图像下降；当


0




f x





0

，原函数为增函




，则



数，图像上升。

综上所述，只有 C 选项满足上述条件，故选


C。


点评：本题解题时所用方法与例

2.3

相同，但例 2.3 与例 2.4

是两个完全相反的问题，在做此类














题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。





2.2.3 已知导函数图像，求解原函数

例 2.5 已知函数
f


x

ax
3

bx
2

cx
在点

x
0

处取得极大值

5，其导函数
y

f x
的图像经


过点

1,0


，
2,0

如图 2.6 所示，求：（ 1）
x
0
的值；（2）函数的解析式。













y


0











1

2

x

图 2.6

导函数图像

分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即



x
0

的值。再利用题干信息，找出三个已知点，

再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。


解：（ 1）由图像可知， 当
x

1
时

f

2
时

f

x

x


0

，
f

x
在

0
，
f

x
在
2,

x
0

1






,1
上递增；当

1 x

上递增。




2
时

f x




0
，

f x
在
1,2

f x



上递减；当
x

x

在


1

因此



处取得极大值。



（2）由题意可知：

f x ax
3
bx
2
cx








f x 3ax
2







2bx

c
又
Q f

1 0

3a

2b

c

0

f

2 0 f 1 5

a

2

9

12


12a

4b

c

0
解得

b

a

b

c

5

c

故函数的解析式为

f x 2x
3
9x
2

12x

点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像 信息来进行解题的。在利用导数解题时，我
们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包 含的信息。


2.3 导数在求解方程的根中的应用


利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面


:1.利用导数解决根的唯一性。

2.利用导数求方程

根的个数。 3.利用导数求解待定系数的取值范围。


4.利用导数求解有关超越方程的根。下面本人将结

合实例对以上几个方面进行分析。


2.3.1 利用导数解决根的唯一性


判断方程
f




x 0
在某区间内有唯一实根，即判断函数









y f x
在该区间上有唯一零点。我

们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断。


例 2.6

证明函数

f

x




1 x

3



Inx

x 0

在区间

0,e

上有唯一零点。



分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一 实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利
用导数研究函数区间的单调性， 证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点。


证明：

对函数
f x


1

3

上
f



x Inx
进行求导，得：
f x

为减函数

1

3


1

x 3

x


3x

在区间
0,e

又
Q f 0




x

0
，
f x

1

0 f e

3


f 1


e
3

1 0





f 0 f e
故函数
y
0

f x
在区间
o,e
上有唯一零点



点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯


一零点（方程有唯一实根） 。




2.3.2 利用导数求解方程根的个数

用导数来求解方程根的个数，实际上用导数来探究函数



y f x













的图像与函数



y

g x
的图







像有几个交点的问题。











例 2.7

已知
f x

4In 1

x
，
g x

x
2

k 1
，若

f

x
与
g x
在

0,

有两个不同的







交点，求
k
的取值范围。


分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数

k
，因为对数函数与二次

函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情 况，所以对于此类问题我们可以用导

数将曲线交点的问题转化为

解：


令
f


f

x


g x


在
0,


有实根的问题。




x



g x

则
4In 1


x



x
2

k

1



4In 1

x

x
2








x
2


k


1


构造函数
h x



4In 1

x


















h

x






2x


4


1

x






要让
h

x

0
则
x

0,1

x


0,1
时
h

x

0
，
h

x

x

1,

时
h

在
0,1

上递增；

在
1,


x

0
，
h

x

上递减。


故
h x

的极大值点为

1，极大值为
h 1

又
Q h

0



4In2

（ 1）


1


0
且
4In 1 x




x
2

k

1


转化为
h x
与

y




k 1
的交点问题。






要使（ 1）式在




0,





有两个不同的实根，则















0 k

1


4In2 1
解得



1

k

4In 2

2

当

1


k

4In2

2
时（

1）式有两个不同的实根，即在该区间



f

x
与
g x
有两个不同的




交点。



点评：用导数工具来探究







f x
与
g x
的交点问题时有下面五个步骤：






1.构造函数





h x




f x

g x
；

2.求
h x
；

3.求出
h x

的单调性与极值

;4.找出
h x

与
x
轴的交点情况

,列





出不等式 5.求解不等式 ,得出结论。

2.3.3 利用导数求解待定系数的取值范围

例 2.8：
a
取何值时，关于


x
的方程

x

2

ax 2 0

在
0, 1
上有解？

分析：可以先将

a
与
x
分离开，再利用导数求函数的值域。


解：



























2x x





x
2

ax

2

0
则

a

x

2

将
a
看作是
x
的函数



x




Q x

0,1
，

a

1
2


0


x

2

a


x
2


在
0,1

上是增函数



x


故
a



3


1

2



1


点评：此题也可以结合二次函数

f x x
2
ax

2
的图像，使其问题转变为区间根的分布问
题，但需分类讨论，然而利用导数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也

可以看出其导数解题的简洁性。

2.3.4 利用导数求解有关超越方程的根

例 2.9 证明方程

x
2
2Inx x 2 x

2
有唯一解。

分析：此方程由观察易知

x

1
是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性。我们可以利

用导数工 具来解决这一问题，在解题过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行
求解。

证明：

x
2
2Inx x 2 x

2

移项得：

x
2
2Inx x 2 x 2

0

令


f x

x
2


2Inx

x

2 x 2

x

0


f x
2x
2

1

2x

2

x

x

x

1

2x x 2x

x 2



1
2



x

x


x


x


Q x

0

2x

x

2

x
0


当

x 1 0
即
x 1
时

f

x 0
，
f x
为增函数；

当

x 1 0
即
0 x 1
时

f

x 0
，
f x
为减函数

.