最搭配马克思《数学手稿》

2020年11月26日发(作者：樊守素)
［数学手稿］
马克思
数学上的所谓公理，是数学需要用作自己的出发点的少数 思
想上的规定。数学是数量的科学；它从数量这个概念出发。它给
这个概念下一个不充分的定义 ，然后再把未包含在定义中的数量
所具有的其他基本规定性，当作公理从外部补充进去，这时，这
些规定性就表现为未加证明的东西，自然也就表现为数学上无法
证明的东西。对数量的分析会得出这一 切公理式的规定，即数量
的必然的规定。斯宾塞说得对：我们所认为的这些公理的自明性
是承继 下来的。这些公理只要不是纯粹的同义反复，就是可以辩
证地证明的。
数学问题。看来， 再没有什么东西比四则（一切数学的要素）
的差别具有更牢固的基础。然而，乘法一开始就表现为一定数 目
的相同数量的缩简的加法，除法则为其缩简的减法，而且除法在
一种情况下，即除数是一个分 数时，是把分数颠倒过来相乘。
代数的运算却进步了很多。每一个减法（ａ－ｂ）都可以用
加法（－ｂ＋ａ）表示出来，每一个除法ａｂ都可以用乘法ａ×
１ｂ表示出来。
至于用 幂来运算，就更进步得多了。计算方法的一切固定差
别都消失了，一切都可以用相反的形式表示出来。幂 可以写作根
（ｘ
２
＝ｘ４），根可以写作幂（Ｘ＝Ｘ１２）。１被幂除或被
根 除，可以用分母的幂来表示（１Ｘ＝ｘ１２１ｘ３＝ｘ－３）。
一个数的几个幂的乘或除，可以变做它们 的各个指数的相加或相
减。任何一个数都可以理解为和表示为其他任何一个数的幂（对
数，ｙ＝ ａｘ）。而这种从一个形式到另一个相反的形式的转变，
并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力 的杠杆之一，如
__________果没有它，今天就几乎无法去进行一个比较困难的计
算。 如果从数学中仅仅把负数幂和分数幂取消掉，那末结果会怎
样呢？（－·－＝＋，＝＋，－１等等，应在 前面说明。）数学
中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了
变数，辩证法 进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为
必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布 尼茨大体
上完成的，但不是由他们发明的。
量和质。数是我们所知道的最纯粹的量的规定 。但是它充满
了质的差异。（１）黑格尔，数目和单位，乘和除，乘方和开方。
通过这些就可得 出黑格尔所没有着重指出的质的差异：质数和乘
积，简单的根和幂。１６不仅仅是１６个１的和，而且也 是４的
２次方和２的４次方。不仅如此，质数给予由它和其他数相乘而
得的数以新的一定的质： 只有偶数才能被２除，对于４和８也有
类似的规定。
在用３做除数的情况下，有数字和的 定律。在用９和６的情
况下也是一样，但是在用６的情况下必须同时是偶数。在用７的
情况下有 特殊的定律。数字游戏就建立在这上面，没有学过的人
是莫名其妙的。所以黑格尔（《量》第２３７页） 关于算术没有
思想性的说法是不正确的。但是参看《度量》４５６。
只要数学谈到无限大 和无限小，它就导入一个质的差异，这
个差异甚至表现为不可克服的质的对立：量的相互差别太大了，< br>甚至它们之间的每一种合理的关系、每一种比较都失效了，甚至
它们变成在量上不可通约的了。通 常的不可通约性，例如，圆和
直线的不可通约性也是辩证的质的差异；但是在这里①正是同一
类 数量的量的差异把质的差异提高到不可通约性。
数。单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且 质是依照
这种记数法来决定的。９不仅是１相加九次的和，而且是９０、
９９、９０００００等 等的基数。一切数的定律都取决于所采用
的记数法，而且被这个记数法所决定。在２进位记数法和３进位
记数法中，２×２不＝４，而＝１００或＝１１。在以奇数作基
数的每种记数法中，偶数和奇数 的差异不复存在了，例如在５进
位记数法中，５＝１０，１０＝２０，１５＝３０。同样，在这
种记数法中，３或９的倍数的数字和可以被３除尽的规则也失去
作用了（６＝１１，９＝１４）。因此， 基数不但决定它自己的
质，而且也决定其他一切数的质。
关于幂的关系，问题就更进一步 ：每个数都可以当做其他任
何一个数的幂——有多少整数和分数，就有多少对数系统。
一 。再没有什么东西看起来比这个数量单位更简单了，但是，
只要我们把它和相应的多联系起来，并且按照 它从相应的多中产
生出来的各种方式加以研究，就知道再没有什么比一更多样化
了。
一首先是整个正负数系统中的基数，它继续自相加下去就可
得出其他任何数目。——一是一的所有正幂、 负幂和分数幂的表
现：①即在无限的数学中。１２，１，１－２都等于一。——一
是分子和分母 相等的一切分数的值。——一是任何数的零次幂的
表现，因此，它是在所有对数系统中其对数都相同即都 等于零的
唯一的数。这样，一是把所有可能的对数系统分成两部分的界限：
如果底大于一，则一 切大于一的数的对数都是正的，而一切小于
一的数的对数都是负的；如果底小于一，则恰恰相反。因此， 如
果说，任何数是由相加起来的一所组成，因而自身包含着一，那
末，一自身也同样包含着其他 一切数。这不只是可能性，因为我
们能仅仅用一来构成任何数；而且是现实，因为一是其他任何数
的一定的幂。数学家们在做起来对自己方便的地方，都不动声色
地在自己的计算中引用ｘ０＝１，或引 用分子和分母相等的分
数，即等于一的分数，因而在数学上运用了包含在一中的多。但
是，如果 有人以一般的表达方式向他们说，一和多是不能分离的、
相互渗透的两个概念，而且多包含于一中，正如 一包含于多中一
样，他们就会皱起鼻子，并做起鬼脸来。但是，只要我们一离开
纯粹数的领域， 我们就会看到这是实在情形。在测量长度、面积
和体积时就很明显，我们可以采用任何适当的数量来作为 单位，
而在测量时间、重量和运动等等时也是如此。对于测量细胞，甚
至毫米和毫克也太大了； 对于测量星球的距离或光的速度，公里
也嫌太小而不适用；对于测量行星的、尤其是太阳的质量，公斤< br>也太小了。在这里很明显地看出，什么样的多样性和多都包含在
这个初看起来如此简单的单位概念 中。
零是任何一个确定的量的否定，所以不是没有内容的。相反
地，零是具有非常确定的 内容的。作为一切正数和负数之间的界
线，作为能够既不是正又不是负的唯一真正的中性数，零不只是< br>一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被它所限定的数都更
重要。事实上，零比其他一切数都 有更丰富的内容。把它放在其
他任何一个数的右边，按我们的记数法它就使该数增加十倍。为
此 ，本可以用其他任何一个记号来代替零，但是有一个条件，即
这个记号就其本身来说是表示零，即＝０。 因此，零获得这种应
用，而且唯有它才能够这样被应用，这是在于零的性质本身。零
乘任何一个 数，都使这个数变成零；零除任何一个数，使这个数
变成无限大，零被任何一个数除，使这个数变成无限 小；它是和
其他任何一个数都有无限关系的唯一的数。
００可以表现－和＋之间的任何数 ，而且在每一种情况下都
代表一个实数。——一个方程式的真实内容，只有当它的所有各
项都被 移到一边，从而把它的值约简为零时，才能清楚地表现出
来，这在二次方程式中已是如此，而在高等代数 学中几乎是一般
的规则。一个函数Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，同样可以等于ｚ，而这个
ｚ虽然＝０，却 可以象普通的因变数一样被微分，而且可以求得
它的偏微分商。
但是，任何一个量的无， 本身还是有量的规定的，并且仅仅
因此才能用零来运算。一些数学家泰然自若地以上述方式用零进
行运算，即把零当作一定的量的观念而用于运算，使它和其他量
的观念发生量的关系，但是他们在黑格 尔那里读到这被概括为：
任何某物的无，是某个特定的无①，就大惊失色了。
现在来谈（ 解析）几何。在这里零是一个特定的点，从这点
起，在一条直线上某一方向定为正，而相反的方向定为负 。因此，
在这里零点不仅和表示某一正数或负数的任何点同样重要，而且
比所有这些点更重要得 多：它是所有这些点所依存、所有这些点
与之有关系、所有这些点由之决定的一点。在许多情况下，它甚
至可以任意选定。但是一经选定，它就始终是全部运算的中心点，
甚至常常决定其他各点（横座 标终点）所在的线的方向。例如，
如果我们为了求得圆的方程式而选择圆周上的任何一点作为零
点，那末横座标轴必定通过圆心。这一切在力学中也得到应用，
在那里，在计算运动时，每次选定的零点 都构成整个运算的要点
和轴心。温度表上的零点是温度段的十分确定的最低的界限，温
度段可以 任意地分成若干度数，从而可以作为这一段内的温度的
量度，以及较高或较低的温度的量度。因此，零点 在这里也是一
个极其重要的点。甚至温度表上的绝对零点也决不代表纯粹的、
抽象的否定，而是 代表物质的十分确定的状态，即一个界限，在
这个界限上，分子独立运动的最后痕迹消失了，而物质只是 作为
质量起着作用。总之，无论我们在什么地方碰到零，它总是代表
某种十分确定的东西，而它 在几何学、力学等等中的实际应用又
证明：作为界限，它比其他一切被它限定的实数都更重要。
零次幂。０１００１１０１２１０２３１０３中，零次幂是
很重要的。一切变数都会在某个 地方经过一；因此，如果ｘ＝０，
那末以变数作为指数的常数αｘ＝１。α０＝１所表现的，也不
外是和ａ的幂级数的其他各项联系起来去理解的一，它只有在这
种情形下才有意义，才能得出结果（Σ ｘ０＝ω）４５７，否则
就不成。由此可知：尽管一显得和自身非常地等同，它本身也包
含着无 限的多样性，因为它能够是其他任何一个数的零次幂；这
种多样性决不是纯粹虚构的，它在一被看作确定 的一，被看作和
这个过程相联系的某个过程的可变的结果之一（被看作某一变数
的暂时的数值或 形式）的时候，每一次都会显现出来。
－１。——代数学上的负数，只是对正数而言，只是在和正
数的关系中才是实在的；在这种关系之外，就其本身来说，它们
纯粹是虚构的。在三角学、解析 几何以及以这两者为基础的高等
数学的某些部门中，它们是表示和正的运动方向相反的一定的运
动方向；但是，不论从第一象限或第四象限都同样能计算出圆的
正弦和正切，这样就可以把正和负直接颠 倒过来。同样，在解析
几何中，圆中的横座标从圆周或从圆心开始都可以计算出来，而
且，在一 切曲线中，横座标都可以从通常定为负的方向上的曲线，
［或者］从任何其他方向上的曲线计算出来，并 得出曲线的正确
的、合理的方程式。在这里，正只是作为负的补充而存在，反之
亦然。
但是代数学的抽象把它们［负数］当做独立的实数，它们在
和某些较大的正数的关系之外， 也是有意义的。
数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，
即化为某种 不确定的东西，从常识来说，这是荒谬的举动。但是，
如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远 呢？渐近线。
几何学开始于下列的发现：直线和曲线是绝对对立的，直线完全
不能用曲线表现， 曲线也完全不能用直线表现，两者是不能通约
的。但是，连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有 可能。
而在具有渐近线的曲线的情形下，直线完全化为曲线，曲线完全
化为直线；平行的观念也 同样趋于消失：两条线并不是平行的，
它们不断地互相接近，但永远不相交。曲线的臂愈来愈伸直，但< br>永远不能完全变成直__________线，正如在解析几何中直线被看
作曲率无限小的一次曲 线一样。但是不论对数曲线的－ｘ变得多
么大，ｙ始终不会＝０。
直线和曲线在微分中终 于等同起来了：在以弧的微分（如果
用切线法）构成自己的斜边的微分三角形中，我们可以把这个斜边看作“既是弧的要素又是切线的要素的一小条直线”——不管
我们把曲线看作由无限多的直线所构 成，还是“看作真正的曲线；
因为在每一Ｍ点上曲度既然是无限地小，所以曲线要素和切线要
素 的最后关系显然是相等的关系①”。
在这里，关系虽然不断地接近于相等，但是根据曲线的本性