我的母亲赵一曼小学数学《数学游戏》练习题(含答案)

2020年11月26日发(作者：能静)

小学数学《数学游戏》练习题（含答案）

（一） 智取火柴

【例1】 桌上放着100根火柴，甲、乙二人轮流取，每次取1～4根，规定谁取到最后一根谁获胜. 假定
双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法.

分析：乙一定获胜，甲取几根，乙就接着取5减几根火柴.
甲取几根，乙取4减几根可以么？ 不可以，那样的话甲取4根 ，乙就没法取了.
甲取几根，乙取6减几根可以么？不可以，那样的话甲取1根，乙就没法取了.
这里我们把（ 1+4）根火柴看成一组，100共有20组，因为甲先取，所以每一组乙都可以取到最后一根.
< br>[前铺]桌子上放着10根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～2根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如 果
双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

分析：如果获胜方在最后取得最 后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对
方3根，倒数第三次取时，必须留 给对方6根.要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方9根，
而甲每次取完都能留给乙3的倍数 根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜.

[拓展一]在例1中将“每次取走1～4根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？

分析：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜.因为 100÷7＝14……
2，所以只要甲第一次取走2根，剩下98根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的 倍数根火柴，甲必胜.
由例题看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能 做到总给对方留下（1+n）
的倍数根火柴，谁将获胜.

[拓展二]将例1中“谁 取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形
又将如何？

分析：最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方5的倍数加1< br>根火柴必胜.甲先取，只要第一次取4根，剩下96根（96除以5余1），以后每次都将除以5余1的根
数留给乙，甲必胜.
由此看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下， 谁能做到总给对方留下（1+n）
的倍数加1根火柴，谁将获胜.

[小结]我们可 以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根
数；如果没有 余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.


【例2】 甲、乙两人轮流往一 张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不
能有重叠部分，放好的硬币不再 移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就
赢了.说明放第一枚硬币的甲百 战百胜的策略.

分析：采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获 胜.对于一般的较大的圆桌面，
由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位 置放一枚硬币，甲就在与之中
心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据 圆的中心对称性，甲定能找到
与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最 后，乙找不到放硬币的地方，
于是甲获胜.

[巩固]今有两堆火柴，一堆35根， 另一堆24根.两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能
不取.规定取得最后一根者为赢. 问：先取者有何策略能获胜？

分析：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆 ，故本题的获胜策略与前面的例题完全不
同.
先取者在35根一堆火柴中取11根火柴， 使得取后剩下两堆的火柴数相同.以后无论对手在某一堆取
几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴 .只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后
一根火柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜 .
请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴， 那么
先取者还能获胜吗？

[拓展]有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴.甲 先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，
规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜.如果采 用最佳方法，那么谁将获胜？

分析：谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜.
甲先取，共 有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3
根.无论哪种取 法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以
乙采用最佳方法 一定获胜.


【例3】 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛 的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1
个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.
（1）甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？
（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？

分析：为了叙述方便 ，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大
的球.还是采 用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自
己取到球 中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最
后第二 次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时 ，必须
使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次 所取球的
序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取 球时，必须使他自己取球中序号
最大的一个是1985，….
把甲每次所取的球中的最大 序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一
等差数列，公差d =4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为
a+（4-a） =4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.
这样就 能保证甲必胜.
由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿 了3个，甲就应拿
5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.
所以， （1）甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.
（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.


【例4】 有一种“抢某个数字”的游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少 报几个数与
至多报几个数(都是自然数)，最后谁报到规定的“某个数字”为胜．如“抢50”游戏，规 定每次必须报
1．2个自然数，从1开始，谁抢报到50为胜．例如甲先报l，乙就可接着报2或2，3 ；若乙报2，甲就
可接着报3或3，4；若乙报2，3；甲就可接着报4或4，5．依次下去，谁能报到 50为胜．如果你是甲，
并且先报数，有没有必胜的策略?

分析：由于每次必须 报1～2个自然数，那么甲先报1次后，就可保证每次与乙刚报的数字数目之和为3．如
乙报1个数，甲 就接着报2个数；若乙报2个数，甲就接着报1个数．因此，甲若想必胜，报完第一次
数剩下的数的个数 必须是3个倍数才可以．而50=3×16+2，因此甲有必胜的策略：甲先报1，2，然后，
乙若报1 个数，甲就报2个数；乙若报2个数，甲就报1个数．

[拓展]若是抢别的数字，规定每次必须报别的一定数目的自然数，先报数的人还有没有必胜的策略?

分析：借鉴前面经验，若是“抢40”游戏，规定每次必须报1～3个自然数，从1开始轮流 往后报数．若
甲先乙后，则乙有必胜的策略．因为乙可以保证每次与甲刚报完的数字数目之和为4，而4 0=4×10刚好
是4的倍数．
推广开来，若是“抢数字a”游戏，每次必须报1～n个自然数，从1开始轮流往后报数，且甲先乙后，
那么会有两种情况：
情况1：若a是(1+n)的整数倍，则后报数的乙有必胜的策略； < br>情况2：若a不是(1+n)的整数倍，则先报数的甲有必胜的策略，且甲先报的数字个数必须是数字.除 以(1+n)
的余数．

说明：“抢数字”游戏还有很多与之类似的变形游戏.如果 你对“抢数字”游戏的规则与玩法非常熟悉的
话，那么类似的变形游戏就会“如鱼得水”.不费功夫了．

[小笑话] 某天军训中，教练对同学说：“第一排报数！”小明惊讶的看着教练.教练很奇 怪的又说了一遍：
“第一排报数！”小明还是很无奈很惊讶的看着教练.教练又大声说了一遍：“第一排 报数！”于是小明极
其不情愿的走到大树前抱着树.

（二）其它游戏中的取胜策略

【例5】 有100个人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人
离 开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，最后留在队伍中的人获胜，
如此下去，要想获胜，应站 在队列中的第几个位置？

分析：将这100个人从左到右依次编号为1，2，3，…，98，99，100．
第一次报完后.剩下的是2的倍数， 2，4，6，8，10，…，96，98，100．
第二次报完后，剩下的是4的倍数，4，8，12，16，…，92，96，100．
第三次报完后，剩下的是8的倍数，8，16，24，…，80，88，96．
第四次报完后，剩下的是16的倍数，16，32，48，64，80，96．
第五次报完后，剩下的是32的倍数，32，64，96．
第六次报完后，还剩下一人，也就是第64人．
所以要想获胜，应站在队伍中的第64个位置.

[数学趣题]神父的诡计
一艘不大的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位 乘客面前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归
于尽；要么牺牲一部分人的生命，把他们抛进大海，减 轻船的载重量，船及其他人还有得救的可能，但
是这样做至少得把一半以上的人抛进海里.大家都同意走 第二条路，然而谁也不愿意自动跳进海里.乘客
里有11个基督徒，其中一个是神父，于是大家就公推神 父出个主意.奸诈的神父想了一下，就让大家坐
成一个环形，并且从他依序报数，“1，2，3”，规定 报到“3”的人就被抛进海里，下一个继续由“1”报
起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运都由上 帝来安排，不得抗拒.结果有14个人被抛进海里，而
剩下的11个人全部都是基督徒.大难不死的其它 10个基督徒突然醒悟过来，原来神父是用诡计救了他们.
请你想想，这11个人应在什么位置，才可以 避免被抛进海里去呢？

分析：神父只要让11个基督徒占领1、4、5、8、10、13、 14、17、19、22、23这11个位置，就可以保
证他们不被抛进海里.


红黑
【例6】 右图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方．规
定： 下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几
红黑
格．红棋从左向右走， 黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能
黑
红
重叠在对方有棋子的格中．一直 到谁无法走棋时，谁就失败．甲先乙后走
红
黑
棋，问甲有没有必胜的策略？
黑
红

红黑
分析：甲若想必胜，那么甲走一次棋后，“乙能走甲就能 走”，观察棋盘，
第二、三行都有9个空格，第四、五行都有5个空格，而第一行只有1个
空格 ，第六行有3个空格，因此甲第1次只要将第六行也变为1个空格，那么就形成一种对称局面，“乙
能走 甲就能走”．因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格．以后乙
走第 一行，甲就相应地走第六行；乙走第二行，甲就相应地走第三行；乙走第三行；甲就相应地走第二
行；乙 走第四行，甲就相应地走第五行，乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地
走第一行 ．且每次甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜．


【例7】 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可
向一个方向移动任意多格.规定不能将棋子直接从左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁
就获胜.问应如何取胜？
A
B
C
D
E

分析：采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到
最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.（对方从A格出
发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A格.同理可知，每次都占据A～E这
五个格中的某一格的人一定获胜.为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E格，然后，不管对方走至哪一
格，（肯定不会走进A～D格），先走者可以选择适当的方法一步走进A～D格中的某一格.如此继续，直
至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.