党政领导干部问责制《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章

2020年11月26日发(作者：王之涣)
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1、试从数学科学发展的角 度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引
入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。
答 ：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是
研究思维形式及其规律和方法的一门科 学，但它们都完全撇开其内容，
仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成
为研究其它科学的工具，因此常 常同被人们称为工具性科学。围绕逻
辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、形式主
义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的
同一性，而忽视了数学与逻 辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关
系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。研究中 国传
统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，
还是在数学史学界，对 于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有
得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面 的研究却
具有显明的必要性。一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对
象虽各不相同，但 它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正
因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上 可以互相运用
和相互渗透。一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，
逻辑是研究 思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开
其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有 高度的抽象性，所以
在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，
往往 成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。

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围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、
形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和
逻辑的同一性，而忽视了数 学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻
辑的关系，在于把握二者关系的辩证性──同一、差异又互补。 首先，
肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：(1)数学和逻辑都是高度抽象
的学科，数学是研 究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构
的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定 义、定理、原
理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；(2) 数学和逻辑都
讲严格性 ，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性
才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严 格而公理系统化时才形
成科学；(3) 数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，
对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应
用逻辑。其次，数学与逻辑的差异 性也是明显的。一方面，数学和逻
辑的研究对象不同，数学的研究对象是一切事物的数与量的属性，而< br>逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任
务和目标不相同，数学的主要 目标和任务是揭示客观事物的量和数的
规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有 效
性或真值性问题。最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。一方面数
学可能得益于逻辑。从数 学或其某一分支的产生和发展来看，它都是
人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成 果。在
其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人提炼整理阶
段，需要有一个组织 和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在

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整个过程中都需要运用逻辑(开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理
阶段则应用演绎逻辑多一些)，特别是由于数学是一门形式(或演绎)
科学，它的结论的正确性 不能建立在实验之上，能依赖于逻辑的推理
证明，这是因为逻辑也是一间形式科学，其规则是普遍有效的 ，所以
在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系统时(运
用公理方法)，它就 由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定
义和推理的规则，然后由原始概念依据定义规则逐次建立 起其它的概
念(所谓派生概念)，及由公理出发，借助于逻辑推理逐次得到进一步
的结论(定理 )，最后组成一个有机的整体。这里运用逻辑的规则和方
法是它显着的特点，体现着它的结论的确定性和 逻辑的严谨性。由此
可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要的，如果离开了逻辑，就
将成为 一些经验材料的堆砌，也不可能成为一门科学。数学是高度抽
象的学科，它的公式，定理、法则、原则等 的正确性不可能由具体实
验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如
果 没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少以说不能建构系统的公理
化的演绎的数学科学，即现今意义上的 数学是根本不可能存在的。另
一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。很明显数理逻辑的诞生和
发展是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当
的数学基础之上，离开了数学方法 ，当今逻辑学的最先发展就不可能
实现，如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，
那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用
为基础。总之，数学与逻辑的 发展是密切相关的，它们相互影响互相

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推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和
推动了数学的进 步当然，上面的论述，并不是说我们对于历史文化的
演进过程中逻辑与数学或者数学与逻辑的关系就是十 分明晰的了，相
反，我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认
识，甚至于 是十分模糊的，特别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中
国传统数学中逻辑内容，达到厘清中国传统数学 与中国古代逻辑的关
系具有十分重要的理论意义和指导现实的意义。

2、古典时 期的希腊学派对数学科学的发展最重要的贡献有哪些？并
通过对资料的分析，论述团队协作对数学发展的 重要性。
答：有爱奥尼亚学派的演绎证明 ，毕达哥拉斯学派的“万物皆
数”芝诺悖论与巧辩学派 ，芝诺关于运动的三个悖论，巧辩学派在
芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问
题。柏拉图学派 ，柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯
的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。

3、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对
这次数学危机采 取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的
影响？
答：毕达哥拉斯的数是指整数，他们 在数学上的一项重大发现是证明
了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达。这样一来，就否

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定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为 整数或整
数比，所以不可公度量的发现引起第一次数学危机。这个发现对古希
腊的数学观点有极 大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算数无关，
几何量不能完全出整数及其比来表示，反之数却可以 由几何量表示出
来。整数的尊崇地位受到挑战，所以，毕达哥拉斯学派对数学危机采
取回避的态 度。同时这也反应出，直觉和经验不一定靠得住，而推理
证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的” 公理出发，经过演绎
推理，并由此建立几何学体系，这是数学思想上一次巨革命，这也是
第一次 数学危机的自然产物。
4、希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方，它们对数
学以及整个科学的发展有什么影响？
答：在公元前6世纪~公元前3世纪期间，先后出现了许多数学
学派，其中最有影响的有爱奥尼 亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派
和柏拉图学派。
1、爱奥尼亚学派，享有“希腊科学之父 ”盛誉的泰勒斯（公元
前636——公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学
派——爱奥尼亚学派。泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依
靠自己的聪明才智，在商场上积累了 足够的财富，使他的后半生能够
从事游历和研究。泰勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。从泰勒斯开始，
人们已不仅仅利用直观和实验 来寻求数学结论了。 泰勒斯已经将逻
辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获

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得了第一位数学家和论证几 何学家鼻祖的美誉。泰勒斯曾用全等三角
形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称为“测 量学
的鼻祖”。
2、毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天
文学 家和音乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海。在学术方面，这
个学派主要致力于哲学和数学的研究。相 传希腊文中“哲学”和“数
学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。尽管人们将许多几何学
的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆
数”。按照“万物皆数”的观点，毕 达哥拉斯学派相信：任何量都可
以表示成两个整数之比（即某个有理量）。（18）这在几何上相当于对
于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给
定的两条线段划分为整数段 。他们称这样的两条线段为“可公度量”，
既有公共的度量单位。
3、芝诺悖论与巧辩学派， 毕达哥拉斯学派发现的不可公度量
向希腊数学提出了一个难题，这就是如何 处理离散与连续、有限与无
限的关系。芝诺关于运动的三个悖论是：（1）二分说：物体运动是不
存在的；（2）阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太
保”，却永远追不上乌龟；（3 ）飞箭静止说：飞箭在飞行中的某一瞬
间总是停留在某一确定的位置上，他此时是不动的，因此说飞箭实 际
上是静止的。芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉
及到对于当时的希腊数学 家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重
要的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他 ，这就