诗歌当你老了数学在各方面的应用

2020年11月26日发(作者：富文寿)
附录三关于数学在理科中应用的调查报告

我们对理科中物理、化学、计算机基 础中数学知识的应用进行了相关的调查。调查过程
中翻阅了大量的相关资料，并询问了不少相关的专家， 现将结果公布如下：

一、物理学中的数学知识

数学是物理学的基 础和工具。离开了数学，物理学几乎寸步难行。现行大学物理系的数
学教材几乎囊括了所有高等数学的基 础知识。理论物理和实验物理都必需具备相当高深的数
学知识。

理论物理中所应 用的数学知识有：空间及其拓朴、映射、实分析、群论、线性代数、方
阵代数、微分流形和张量、黎曼流 行、李导数、李群、矢量分析、积分变换（包括傅里叶变
换和拉普拉斯变换）、偏微分方程、复变函数、 球函数、柱函数、函数、格林函数、贝塞尔
函数、勒让德多项式等。

实验物理中 所应用的数学知识呈主要集中在概率统计学中。包括一维、多维随机变量及
其分布、概率分布、大数定律 、中心极限定理、参数估计、极大似然法等。其中概率分布包
括伯努力分布、泊松分布、伽马分布、分布 、t分布、F分布等。

从上可以看出，上述数学知识对物理专业来讲，必需了解，且有的 需要深入了解。比如
群论、空间及拓朴、积分变换、偏微分方程、概率分布、参数估计等。工科和理科、 师范类
和非师范类、物理专业和非物理专业、其物理学习中所应用的数学知识也有范围和程度上的
变化。工科就没有理科要求高，物理专业中所涉及的数学知识也比非物理专业所学物理课本
上的数学知 识丰富的多。

二、化学中的数学知识

初等化学只是简单介绍物质 的组成、结构、性质、变化及合成。除了相应的计算外，与
数学的联系没有物理学那么紧密。高等化学需 要更深入的研究物质，因此需要相应的高等数
学知识为基础。下面我们就化学理论和化学实验两种课程来 讨论。

化学理论中所应用的数学知识有：级数及其应用、幂级数与Taylor展开式、 Fourier级
数、Forbemus方法、Bessel方程、Euler-Maclaurh加法 公式、String公式、有限差分、矩阵、
一阶偏微分方程、二阶偏微分方程、常微分方程（包括一阶 、二阶、线性、联立）、特殊函
数（包括贝尔函数和勒让德多项式）积分变换、初步群论等。

化学实验中所应用的数学知识有：随机事件及其概率、随机变量的数字特征、随机分量
及其 分布、大数定理、中心极限定理、参数估计等。

从上面可以看出，化学中的数学知识主要 应用于计算，因此大部分是一些数学公式和方
程，并没有更深一步理论推导及逻辑思维、形象思维的要求 。所以，化学专业中数学知识的
要求不高，只限于了解并会套公式而已。

三、计算机基础中的数学知识

计算机基础与数学联系十分紧密。当今更为火爆的网络软件 开发等信息界的精英，大部
分是数学出身，数学在计算机中的应用是不言而喻的。

大部分高校的计算机系所开设的数学课程几乎和数学系不相上下，无论广度，深度都达
到相当水准。从事 计算机软件、硬件开发不仅需要高深的数学知识为基础，而且需要很强的
逻辑思维能力、形象思维能力和 空间想象能力，这些离开数学是不可能的。

计算机基础中所应用的数学知识主要有：数理 逻辑、图论、数据处理、线性代数、概率
分布、参数估计、群论、积分变换、微分方程、拓朴等。

计算机系学生学习更重要的是培养逻辑思维能力，因为这在软件开发，程序设计上必不
可少。笔者在调查过程中还发现许多计算机系学生辅修或自学产业数学课本，由此可见数学
的重要性。< br>
四、分析总结

由于物理、化学、计算机基础与数学的联系十分紧密 ，所涉及的数学知识也十分广博，
其需要的基本数学知识、基本技能都应在高中课本中出现，如：逻辑量 词、矩阵的代数运算、
行列式、初等积分等，为大学奠定基础的高中数学课本还应重视学生数学思想方法 和思维能
力的培养。我们在调查中也了解到许多非数学专业学习的高等数学即使是数学专业的学生在学习时都有一定的难度。这主要是高等数学的思维方式与思维方法与初等数学有很大的不
同，因此， 在高中数学教学内容中适当涉及现行高等数学中的一些基本概念，并穿插相应的
数学思想方法是十分必要 的。

另外，数学知识也分为理论型和应用型，理论型的数学学习着重培养思维能力和思考 方
法。所涉及的数学知识较深，实用型的数学学习着重培养形象思维、空间想象及联想。所涉
及 的数学知识较浅。理论型的数学知识在其它学科中应用的较为广泛。高中数学内容也可适
当加入相关内容 。

附：三门学科及相应数学知识的比较图表

线性



物理

化学

微分

A

A

积分

A

A

A

群论

代数

B

B

B

A

A

A

B

C

C

拓朴

分布

A

A

B

估计

A

A

B

逻辑

A

B

A

概率

参数

数理

计算机

A

A:必须掌握B:一般掌握C：了解

附录四数学知识在工科中的应用的调查报告

数学作为一种不可或缺的工具， 已经渗透到了各种门类的科学中，并且发挥着极为重要
的作用。下面，我们将数学知识在工科中应用的调 查情况综述如下，由于工科中的门类极为
复杂繁多，我们将挑选极具代表性的几个分支进行分析。

首先看“工程数学”，工程数学将纯粹的数学知识与工程应用有机地结合起来，是学习工
科的基础，它覆盖了大部分的数学知识，如微分方程，复变函数论基础，微积分运算，线性
代数基础， 线性规划基础，初等概率论以及计算方法等等，这些内容都是与实际需要紧密联
系的，再看“人体工程学 ”，这是一门研究人体工效的科学，通过改善机器和工作环境使其适
合人体的要求，从而提高工作效率， 它与计算技术、控制论等有很大关系，并且涉及到很多
函数的知识。接着看“工程力学”，它由理论力学 和材料力学组成，前者与解析几何，方程等
联系密切，并且经常用到坐标、向量的知识，后者需要积分法 ，叠加法及平面图形的性质。

在“工程制图”中，关于几何的知识是必不可少的。在“工 程热力学”中，需要大量的微积
分和数理统计的知识。

在“材料学”中，解析几 何中的空间点阵，立体图形以及概率论和极限论的知识都有所涉
及。在“计量学”中，广泛使用了关于计 算和数据处理以及概率统计和微积分的知识。在“石
油化工”中，统计学的知识所起的作用不可替代；而 在“金属工业”中，统计学，解析地处理
问题以及计算方法也极为重要。在“金属学”中则用到了许多空 间点阵，解析几何以及微积分
的知识，它们在分析金属结构等方面均发挥着巨大的作用。

下面是关于机械类的，在“机械制图”中，空间几何中的平面、立体、三视图以及投影和
交 线的知识需要经常用到。在“机械制造科学”中的“热加工”灯，模糊数学和关于统计的知识
常需用到。 在“工业磨擦学”中，概率统计和关于估算的知识起着极为重要的作用，接着要说
的是“机电一体化技术 ”，它是以应用力学、机械设计、制造工程和控制系统技术为四大支柱，
将机械工程学与电子学相结合的 一门重要科学，要想深入探讨关于它的问题，关于概率统、
微积分以及许多计算方法的知识是必不可少的 。

“电工科学”是一门研究电磁现象极其应用的科学，由它的理论和方法为基础而形成的 工
程技术称为“电工技术”，它又分为电子技术和电力技术，这门科学常需用到关于微积分，统
计以及组合、数理逻辑的知识。“电路理论”作为通信，无线电技术、自动控制以及电子计算
机等专业的 共同的基础课，其重要性也就不言而喻了，没有一定的数学基础很难深入地研究
问题，它广泛地用到了关 于微积分，统计以及数学作图的知识。“电机学”是一门研究直流机、
变压器、异步机、同步机和其它特 殊电机及变压器的科学，它需要许多关于作图和计算方法
的知识。在“电子技术基础”中，数学作图和计 算方法同样等持着极为重要的作用。在“无线
电技术基础”中，由于需要研究关于回路、双口网络、滤波 器、传输线、无线电信号的基本
组成和原理等问题，所以广泛地用到了数学作图、数列、数理逻辑、微积 分，分析和计算方
法，以及参数方程和微分方程等数学知识。

“半导体技术”是 一门新兴的学科，它又包括了诸如晶体管理，可控砖应用技术，半导体
电子学，半导体器件原理等小的分 类，它需要用到许多空间几何作图，微积分，函数论，统
计学，概率论的知识，“集成电路的设计与应用 ”常需广泛的数理逻辑和线性代数（如矩阵、
行列式）的知识。在“脉冲技术”中，统计，函数，积分论 ，极限都会被用到。在关于“现代
通信原理“的科学中，用到的数学知识涉及到了各个方面，如函数论（ 实、复变），线性代数，
统计，概率，微积分以及极限论等等。在自动化领域中的“模糊应用技术”，如 果模糊推理，
模糊控制，模糊线性规划，模糊决策以及模糊模式识别等等，都需要扎实的模糊数学基础，
另外关于概率统计和线性代数的知识也是必不可少的。

上面我们只是列举了数学 知识在部分分工科科学中的应用，我们知道，工科的分类形形
色色，内容极为丰富，因此很难一一列举， 但是我们是很容易由个别到一般地从已列举的这
些学科中看到数学知识在工科中的广泛应用的。数学基础 的扎实与否会直接影响到对工科知
识的学习和应用，这已经是毋庸置疑的了，有针对性地打好数学基础是 大有裨益的，也只有
这样，才有可能深入地钻研工科中的问题。从上面也可以看出，高中数学中数理逻辑 、概率
统计、矩阵、几何作图、视图、计算方法、微积分等内容应当加强。

附录五关于数学在人文科学中应用的调查报告

作为人类精神，智慧与理性的最高代表之一 ，数学不仅是文化的重要组成部分，还且在
人类文化发展中占据着举足轻重的地位。数学具有自己独一无 二的语言系统──数学语言，
数学具有独特的价值判断标准──独特的数学认识论。数学观，这就使得数 学文化不仅与文
学，艺术有很大的区别，而且与自然科学、社会科学也有着本质的不同。数学还具有独特 的
发展模式，正是由于具有这些与一般人类文化不同的特殊性，产生了独特的数学精神，并进
而 对人类文化的精神创造领域产生了独特的影响。

表面看来，数学与人文科学，社会科学联 系并不是很紧密，毕竟一位作家没有必要绞尽
脑汁去证明哥德巴赫猜想，一位画家不需要懂得微积分的知 识L，实际上，人文科学也是不
能脱离数学的，作为理性基础和代表的数学思想方法，数学精神被人们注 入文学、艺术、政
治、经济、伦理、宗教等众多领域。

数学对社会科学、人文科 学的作用，影响主要不是很直观的公式、定理，而是抽象的数
学方法和数学思想，其中最突出的莫过于演 绎方法，亦即演绎推理，演绎证明，就是从已认
可的事实推导出新命题，承认这些做为前提的事实就必须 接受推导出的新命题。哲学上，研
究一些永恒的话题，诸如生与死等，这些课题是无法用简单归纳（反复 试验法），类比推理
来研究的，只能求助于数学方法──演绎推理。类似的例子还有很多，数学在一定程 度上影
响了众多哲学思想的方向和内容，从古希腊的毕达可拉斯学派哲学到近代的唯理论，经验论
直到现代的逻辑证实主义，分析哲学等，都可以证明这一点。

数学还对音乐，绘画，语言学研究，文学批评理论产生了一定的影响。

在音乐方面，自从 乐器的弦长和音调之间存在密切关系的事实被发现后，这项研究就从
来没有中止过，美学上对黄金分割的 研究也是一个不可或缺的话题。

文艺复兴以前，绘画被看作同作坊工人一样低贱的职业， 文艺复兴开始以后，画家们开
始用数学原理如平面几何、三视图、平面直角坐标系等指导绘画艺术，达芬 奇的透视论就是
一个突出的例子（借助平面几何知识，达到绘画上所追求的视觉效果──远物变近，小物 变
大），从此，绘画步入了人类艺术的殿堂。