自然界致命生物-八月未央
§1.1 数学的基本认识
学习目标：
了解数学产生的两个起点；
明确数学的研究对象；
理解数学的基本特征。
学习内容：
小学数学课程是按照一定的需要，遵循一定的原则，从数学科学中精心 选择内容加以编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。认识数学科学的研 究对象、主要特点和发展过程有助于我们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。
1.1.1 数学的产生
考察一下数学的历史，可以看到它的发展存在着两个起点。< br>
1、以实际问题为起点
数学的产生首先是以实际问题为起点的，即是人类为了了 解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些物体进行 量的刻画和描述，于是，“数”就产生了；又如，人类在自己的生产与生活中，需要对一些对象进行集合意义上的 合并与分解，于是，四则运算就产生了；再如，人类在科学研究过程中，要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来 描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡尔就用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产 生了。
2、以理论问题为起点
数学的产生其次是以理论问题为起点的，即是人 类为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯（pudkyols ）注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着两倍于直径的半圆 。而伽利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合 的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称伽利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研 究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。
当然，数学的最终起点还是现实世界 ，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界 的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。
1.1.2 数学的研究对象
数学是人们认识自然、认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数 学，运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学 研究对象的认识。恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一 种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实
世界的事物在空间形式和数量关系方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践 和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现 现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社 会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系 。
随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识 也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世 界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮助我们理解周围世界。无论是数、关系、形状、推理，还是 概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。人们从实际中提炼数学问题，抽象 化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以被看作是一种技术或模型。
此 外，从数学的产生与发展历史看，数学还具有这样几个性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数 学的创造源于对现实世界和数学世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个发展 的动态体系。
1.1.3 数学的基本特征
一般地认为，数学具有理论的抽 象性、逻辑的严谨性和应用的广泛性这三个特征。
（一）理论的抽象性
我们 知道，任何一门科学都不是直接处理现实对象，而是用我们通常所称的“模型”去处理其抽象的反映，而数学则不 同，它往往是处理所有这些模型的抽象，是这些模型的一般模式，从而来概括同类对象或同类对象关系。显然，数 学是作为一个独立的客体而存在的、抽去了具体内容的一种形式科学，它用形式化、符号化和精确化的语言来表现 的一种“抽象的抽象”或“概括性的抽象”，它是以“一切性质的性质的抽象”而呈现的。因而，数学对象没有任 何物质的和能量的特征，它只有一个特征，那就是这些对象都处于一定的相互关系之中。例如，数学研究的“直线 ”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的等任何物质的和能量特征的“理想化”的对象。
（二 ）逻辑的严谨性
数学具有严密的逻辑严谨性。即数学的结果是从一些基本概念（或公理）出发并 采用严格的逻辑推论而得到的。这种推论（推理）对于每一个懂得这样的规则并拥有一定数学基础的人来说，都是 无需争辩的和确信无疑的。数学的
逻辑严谨性还带来了数学的精确性，也就是说，数学的表述具 有相当严密的唯一性。而且数学语言常常反映在其他的学科（尤其是自然学科）之中，用来准确地表述概念或由经 验所获得的发现。
数学的严谨性还表现在它的系统性。数学体系本身是一个精确的自然结构，而 且是所有自然结构中最具有完美模型的特征的。它是以最简洁、最精确、最稳定的模型来揭示最本质、最抽象的关 系系统的理论。正如弗赖簦塔尔所说,数学与其他思维相比，有一个最大的特点，那就是对任何一个陈述，都可以 确定其对或错。因为只有数学可以加上一个强有力的演绎结构。这就是所谓数学的严谨性。当然，当数学科学变得 很严谨的时候，它就表现出一种不可忽视的人为的特性，以至于有时它会忘掉了自己的历史起源。
（三）应用的广泛性
数学的对象领域，涉及到整个客观世界，数学是解决我们生活和生产过程 中问题的主要工具，因为没有一个物质的领域不呈现出数学可以研究的现象或规律的，尤其是社会的科学技术发展 到今天，数学已经渗透到人们的所有生活之中。所以，数学可以运用到各个方面。同时，数学还在其他的科学中占 有特殊的地位，因为无论是自然科学、社会科学甚至是思维科学，都可借用数学的严密性和抽象性的特点来做更为 精确的研究或描述。
参考资料： 数学的发展过程
数学科学的发展过程经历了 漫长的历史，从人类早期对数学的认识开始，大致可以分为五个时期，即萌芽时期；常量数学时期；变量数学时期 ；近代数学时期、现代数学时期。在不同的时期，人类对数学的认识从低级到高级不断发展。了解数学的发展过程 ，有助于我们研究小学数学学科的有关问题。
(1)数学萌芽时期(远古～公元前6世纪)
这个时期人类在长期的生产实践中逐渐形成了数的概念，初步掌握了数的运算方法，并积累了一些数 学知识。
由于田亩度量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但还没有逻辑因素，未发现命题 的证明。
这个时期的特点，是人们在实践中从现实世界里，零零星星地认识了数学中最古老、原 始概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。数的概念起源于数(读snǔ)。原始社会人们采用“ 结绳记数”，就是把打猎所获得猎物与绳子的“结”进行比较，得出猎物的个数。从我国出土的甲骨文中，发现大 约公元前14世纪～公元前11世纪的数字是采用十进位制记数法，最大数是3万。由此可见，数已从具体事物分 离出来，抽象为“数”的概念，但仍然印上了十个手指数数的烙印。另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧 土制陶
的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。我国出土的 “仰韶文化”的彩陶中，就有由三角形和直线组成或由圆和曲线组成的图案。
(2)常量数学时 期(公元前6世纪～公元17世纪)
这个时期的特点，是人们将零星的数学知识，进行了积累、 归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只 是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，古埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要 重新丈量，积累了丰富的几何知识。后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由Euclid把人们长期实践发现、 积累的几何知识，按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一个时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题， 如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展。数学从原始自然数，分数发展扩充到正负实数。成书于东汉时 期的《九章算术》，就是人们在长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。
公元前3世纪至 公元2世纪撰写成的《几何原本》和《九章算术》，标志着古典的初等数学体系的形成。
《几何 原本》全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理 推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。《九章算术》则是246个数学问题、答案和术文组成。全书 主要研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、 方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。
(3)变量数学时期(17世纪～ 19世纪)
变量数学产生于17世纪，其标志有两个：一是解析几何的产生；二是微积分的建立 。
这个时期的特点，是“运动”成为自然科学研究的中心课题。数学由研究现实世界的相对静止 的事物或现象进而探索运动变化的规律。常量数学已发展到变量数学。16世纪，欧洲社会萌芽了资本主义，手工 业生产转向了机器工业生产，迫使自然科学对“运动”和各种“过程”的研究，进而产生了“变量”与“函数”的 概念。
17世纪上半叶，Descartes将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生 了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学 和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支 。15世纪～18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，从而开辟了或然数学 的新领域，建立了概率论。
这个时期，数
学的研究对象已由常量进入变量，由 有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方 法。
(4)近代数学时期(19世纪)
这一时期的数学的对象、内容在深度上 和广度上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学越发抽象、 不断分化、不断综合的发展规律开始显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里 出现；数学应用范围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。 （5）现代数学 时期(20世纪)
在这一时期，电子计算机进入数学领域，使整个数学的面貌大为改观；数学几 乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵深发展，集合论观 点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代 数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突出地显现出来．20世纪以来 ，人们眼光中的数学同以往任何时代都无法相比了。
数学的主要内容
数学科学 的全部内容，是由数学问题、数学知识、数学方法与数学思想组成的系统。在这个系统中，数学问题、数学知识、 数学方法与数学思想具有各自不同的内涵，也有着不同的作用。
纵观数学发展的历史可以看到， 人们在解决实践和理论中提出的各种数学问题的过程中，总结和创造了各种不同的数学方法。在这些数学方法发生 的同时，相应的数学知识也相伴形成，在不断探求对数学知识和方法的认识的基础上，数学思想便产生了。例如， 著名数学家欧拉正是在解决“哥尼斯堡七桥问题”的过程中，不仅发现了许多知识并开拓了运筹学和图论等崭新的 数学研究领域，而且他的研究也是运用抽象化方法和数学模型思想的光辉范例。
就数学问题、数 学知识、数学方法与数学思想的关系而言，一方面，数学思想与数学方法蕴含在数学的知识体系之中，数学思想与 方法的突破又常常导致数学知识的创新；另一方面，数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映着客观事物的内在 联系，是数学方法的进一步概括和升华。因此，如果说问题是数学的“心脏”、方法是数学的“行为规则”、知识 是数学的“躯体”，那么数学思想无疑是数学的“灵魂”。
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