肤施县数学期望在生活中的应用

2020年11月26日发(作者：边春光)

数学期望在生活中的应用
王小堂 保亭中学


摘 要
：
数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征 之
一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决
策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的
应用
。


关键词
：
随机变量， 数学期望， 概率 ， 统计



数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一
项重要的数字特征，在经济管理工作中有 着重要的应用。本文通过探讨数学期望
在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与 人类实践紧密
联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。

随机变量的数学期望值：
在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、 或
均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换
句话说，期望值是随 机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同
“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定 等同于常识中的“期望”—
—“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出
值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。）

单独数据的数学期望值算法：
对于数学期望的定义是这样的。数学期望
E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn)
X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几< br>个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：
E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) +
X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn)
很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。

1 决策方案问题
决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂
的情况下从可能 采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案
Ai(i=1,2,…m)在每个影响因 素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生

1

的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择
其中期望盈利最高的为最 佳方案。

1.1投资方案
假设某人用10万元进行为期一年的 投资，有两种投资方案：一是购买股票;
二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济 形势好可获利4
万元，形势中等可获利1万元，形势不好要损失2万元。如果存入银行，假设
利 率为8%，可得利息8000元，又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、
50%、20%。试问 应选择哪一种方案可使投资的效益较大？
比较两种投资方案获利的期望大小：
购买股票的获利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(万元）,存入银行< br>的获利期望是E(A2)=0.8（万元），由于E(A1)>E(A2),所以购买股票的期望收益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两种，
但经济形势是一个不 确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。
1.2面试方案
设想某 人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不
同的职位:极好的,工资4万;好的 ,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些
职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1 的可能得不到任何职位。由于每家公司都
要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策 略应答呢？
极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。
对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进行的
是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1）
=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。
那 么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资
为2.5万，但若放弃(可到下 一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择
只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期 望 如果此人接到了三份这样
的面试通知,又应如何决策呢?
最后一次面试,工资的期 望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数
据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万； 一般的，工资2.5万;没工作(接
受第三次面试），2.7万。期望值为:E（A2）=4×0.2+ 3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05
万。
这样，对于三次面试应 采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行
第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位， 否则进行第三次面试；第三
次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为
4 ×0.2+3.05×0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最
大的原 则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。
2 生产和销售利润问题
在 经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,
供大于求或供不应求都不利于 获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道
的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率）， 用数学期望结合微积分的有
关知识，制定最佳的生产或销售策略。
假定某公司计划开发 一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件产
品，公司可获利m元，而积压一件产品，可导致损 失n元，另外，该公司预测
产品的销售量X为一个随机变量，其分布为p(χ)，那么，产品的产量该如 何制

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定，才能获得最大利润。
假设该公司每年生产 该产品χ件，尽管χ是确定的，但由于需求量(销售量)
是一个随机变量，所以收益Ｙ是一个随机变量， 它是Ｘ的函数：
公司收益的数学期望为：Eζ=pmX+(1-p)n(x-X)
问题转化为,当χ为何值时,期望收益可以达到最大值。这个问题的解决,就是
求目标函数期望的最大最 小值。
3 彩票问题
3.1设每张福利彩票售价5元，各有一个兑奖号。 每售出100万张设一个开
奖组，用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码（可以认为从000000到 999999
的每个数等可能出现），兑奖规则如下： 如果兑奖号与中奖号的最后一位相同者
获六等奖，奖金10元（中奖概率为0.1）；兑奖号与中奖号的最后二位相同者获
五等奖，奖金50元 （中奖概率为0.01）；兑奖号与中奖号的最后三位相同者获
四等奖,奖金500元(中奖概率为0. 001);兑奖号与中奖号的最后四位相同者获三
等奖,奖金5000元（中奖概率为0.0001）； 兑奖号与中奖号的最后五位相同者获
二等奖，奖金50000元(中奖概率为0.00001）;兑奖号 与中奖号全部相同者获一
等奖，奖金500000元（中奖概率为0.000001）。另外规定，只领 取其中最高额
的奖金，试求每张彩票的平均所得。
所以彩民的每张彩票的售价数学期望 所得为:Eζ
=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50 000*0.00001+500000*0.00000
1=3.5
那么，一个开 奖组（100万张）可将所筹得的500万元中的350万元以奖
金形式返还给彩民，其余150万元则 可用于福利事业及管理费用。因此，彩票
中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出 的，计算期望所
得也是设计一种彩票的基础。
3.2还有一种玩法和设奖方法：
彩票的玩法比较简单，2元买一注，每一注填写一张彩票 ，每一张彩票由一个6
位数字和一个特别号码组成，每位数字均可填写0、1、……、9这10个数字中
的一个。每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号--一个6位数号码另加
一个特别号码 。中奖号码情况如下所示(假设一等奖号码是123456，特别号码是
7)：

奖级 中奖号码 每注奖金
特等奖 123456+7 不一定
一等奖 123456 不一定
二等奖 12345△、△23456 不一定
三等奖 1234△△、△2345△、△△3456 300元
四等奖 123△△△，△234△△、△△345△、△△△456 20元

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