筷子兄弟父亲歌词MIT牛人解说数学体系

2020年11月26日发(作者：冀淑英)
MIT
牛人解说数学体系
在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，resear ch进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。
为什么要深入数学的世界
作为计算机的 学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高
的 高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深
入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个u nified的model。这个题目在当今
Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把 各种东西联合在一
起framework，在近年的论文中并不少见。
我不否认现在广泛流行的 Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取 代对
于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必 要了。事实上，
开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复
一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间 的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像
是通过大量“原子”的某种空间分布构成 的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和
宏观意义下的整体分布的变换 存在着深刻的联系——这需要我们去发掘。
在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何 描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛
适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变 换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情：
我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些 问题的深入研究。
在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应 用科学的研究者重视。
于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有 了更强大的武器去面对这些问题的
挑战。
我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的 世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼
中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高 级别的数学对于具体应用究竟有何好处。
集合论：现代数学的共同基础
现代数学有数不清的分支 ，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为它，数学这个庞大的家族有个共同的
语言。集合论 中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价(eq uivalence)，是在其它数学分
支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一 步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于
这些都不会陌生。

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不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理”(Axiom of Ch oice)。这个公理的意思是
“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”—— 似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这
个貌似平常的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿 赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，
对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组 合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论，导致
数学界曾经在相当长时间里对于是否接 受它有着激烈争论。现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数
学分支的重要定理都依赖于 它。在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：
1. 拓扑学：Baire Category Theorem
2. 实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集的存在性
3. 泛函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle),
Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem
在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Anal ysis)和代数(Algebra)。至于其它的，比如几何和概率论，在古典
数学时代，它们是和代 数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，
它们和分析 与代数并不是平行的关系。
分析：在极限基础上建立的宏伟大厦
微积分：分析的古典时代——从 牛顿到柯西
先说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来的——这也 是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。
不过，分析的范畴远不只是这些，我们在大学一年级学习 的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究的对象很
多，包括导数(derivatives)，积 分(integral)，微分方程(differential equation)，还有级数(infinite series)——这些基本的概
念，在初等的微 积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中，那就是极限——这是整个分析（不仅仅是微积分）
的灵 魂。
一个很多人都听说过的故事，就是牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)关于微积分 发明权的争论。事实上，在他们的时
代，很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中，但是，微积分的 基础并没有真正建立。那个长时间一直解释不清

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楚的“无穷小量”的幽灵，困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机 ”。直到柯西用数列极限的观
点重新建立了微积分的基本概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础 。直到今天，整个分析的大厦还是建立在
极限的基石之上。
柯西(Cauchy)为分析的发展 提供了一种严密的语言，但是他并没有解决微积分的全部问题。在19世纪的时候，分析的
世界仍然有着 一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积
分 课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riema nn)提出的，
叫做黎曼积分。但是，什么函数存在黎曼积分呢（黎曼可积）？数学家们很早就证明了， 定义在闭区间内的连续函数
是黎曼可积的。可是，这样的结果并不令人满意，工程师们需要对分段连续函 数的函数积分。
实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析
在19世纪中后期，不连续函 数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在闭区间上的黎曼积分的研究发现，可
积性的关键在于 “不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的，可是很多有数学家们构造出很多在无限
处不 连续的可积函数。显然，在衡量点集大小的时候，有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个< br>问题的过程中，数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的 特性。在
极限思想的支持下，实数理论在这个时候被建立起来，它的标志是对实数完备性进行刻画的几条 等价的定理（确界定
理，区间套定理，柯西收敛定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——这些定理明确表达出
实数和有理 数的根本区别：完备性（很不严格的说，就是对极限运算封闭）。随着对实数认识的深入，如何测量“点
集大小”的问题也取得了突破，勒贝格创造性地把关于集合的代数，和Outer content（就是“外测度”的一个雏形）的
概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)，并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue
Integr al)。在这个新的积分概念的支持下，可积性问题变得一目了然。
上面说到的实数理论，测度理论和勒 贝格积分，构成了我们现在称为实分析(Real Analysis)的数学分支，有些书也叫实
变函 数论。对于应用科学来说，实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且，< br>它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数，或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼 中，并不
现实。但是，我认为，它并不是一种纯数学概念游戏，它的现实意义在于为许多现代的应用数学 分支提供坚实的基
础。下面，我仅仅列举几条它的用处：
1. 黎曼可积的函数空间不是完备的 ，但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的说，一个黎曼可积的函数列收敛到
的那个函数不一定是黎 曼可积的，但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析，还有逼
近理论中， 经常需要讨论“函数的极限”，或者“函数的级数”，如果用黎曼积分的概念，这种讨论几乎不可想像。
我们有时看一些paper中提到Lp函数空间，就是基于勒贝格积分。
2.勒贝格积分是傅立叶变换（ 这东西在工程中到处都是）的基础。很多关于信号处理的初等教材，可能绕过了勒贝格
积分，直接讲点面 对实用的东西而不谈它的数学基础，但是，对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一
些工作 ——这并不是总能绕过去。
3. 在下面，我们还会看到，测度理论是现代概率论的基础。
拓扑 学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础
随着实数理论的建立，大家开始把极限和连续 推广到更一般的地方的分析。事实上，很多基于实数的概念和定理并不
是实数特有的。很多特性可以抽象 出来，推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学(Point-set
Top ology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念，被提取出来，进行一般性的讨论。在拓扑学里面，有4个 C构成了
它的核心：
Closed set（闭集合）。在现代的拓扑学的公理化体系中，开集 和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是

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