脉搏和心跳数学学习9个境界

2020年11月26日发(作者：孟宪荩)
数学学习的九个境界
数学精深训练有九个台阶：
第一个台阶是能看懂。第二个台阶 是能记住。第三个台阶是会解题；能看懂，就是能够懂得数学
定义，定理，公式的来龙去脉。一看到这个 定理、公式，脑子里面盘旋的一些问题，我们一一找到答案，
我们要从内心里面去回答，那么找到的答案 越多，做出来的问答越多，我们就懂得的越多，这就是能看懂
的含义。往往是这一步，使得很多人难以入 门，一旦我们做到这一点的话，我们马上就迈上了第一个台阶，
迈上第一个台阶之后，能记住会解题，只 要我们把那些最基本的东西给做出来，做一遍，亲自动手去算一
遍，那么我们马上就会跨过第二个、第三 个台阶。
第四个台阶是熟练解题；在解题的过程中不断地进行这样的有意识的思维操作 的训练，那么熟练
解题也为之不远了。
第五个台阶是会梳理；刚才已经给大家 分享了数学的基本结构是什么？每一章都在重复同样的基
本结构，把那些知识点都给汇总到这个知识结构 里面，就是会梳理。包括我们每一章都在用什么样的运算
技巧？大家心里面有没有数，这一章我们会用到 什么，什么样的运算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、
8，这么列出来，如果这么做了，那肯 定是会梳理了。
第六个台阶是融会贯通；比如导数，是从什么问题引入的？导数的定义 ，它的严格的定义是什么？
它对应的几何直观是什么？导数怎么推出导数的四则运算法则？导数的定义和 运算法则又有什么用？能
解什么样的题目？如果我们一步步这么做下来的话，那就是融会贯通了，对这一 章，这一节融汇贯通了。
第七个台阶是把握数学思维；所谓的数学思维就是一个一个的 基本的思维操作，像加、减、乘、
除法，各种类型的加、减、乘、除法，像加一项、减一项，像它的定义 ，为什么会有这样的定义？它的问
题是什么？这个定义能解决什么问题？当我们提这些问题，去找它的答 案的时候，按照这样的思维去训练
的时候，我们就把握数学思维了。
第八个台 阶是体验学习的乐趣；一旦我们做到前面这几步的话，那数学的学习自然就有乐趣，设
想一下，我们面对 一块黑板或者一张白纸，我们从导数的定义开始做起，一下就把这一套全都写下来了，
不用看参考书，从 导数的定义一直推出这个导数的运算法则，解出一些基本函数的导数，然后解出更复杂
函数的导数。这里 面能没有乐趣吗？当然有乐趣了。而且我们回答了心中的一个又一个的问题，而这些问
题呢，它不但可以 提高成绩，还可以跟其他人来交流，给其他人带来启发。
第九个台阶是能够投入，忘我 的学习。达到第八个台阶就很容易到达第九个台阶了，就是乐此不
疲，我们称之为心流，flow。我们 这样子学习三个小时的数学，感觉时间才过了半个小时一样。
四、五、六、这个台阶迈上 去，那么我们数学考个优秀的成绩，考个120分，就不是问题了，如果
我们到达了这七、八、九，这三 个境界，那么考更高的成绩，像我刚才那个师弟讲的，考130分，140多
分，那就是完全有可能的了 ，因为你都觉得数学学习都不是负担了，不是障碍了，不是痛苦而是享受了，
解道难题会带来巨大的乐趣 啊。
读不懂数学怎么办？
如果我们到了现在还觉得数学不太容易懂，高数书看起来很头疼，我们往下看看个例子。
我们看一下小平邦彦的故事，小平邦彦是亚洲第一获得菲尔兹奖的数学家，小平邦彦经常说自己天
资不好 ，但是他从中学开始，就是那种做事情一丝不苟，全身心投入的人。他回忆自己第一次学习范德瓦
尔登的 《代数学》，几乎学不懂；然后就开始抄书，一直到抄懂为止。对于这样的一个大数学家，他在数
学学习 的初期，也遇到了巨大的困难，看书看不懂。所以我们经常说，看书看得很吃力，很费劲，这实际
上本质 上根本就不是个问题。那这个故事给你什么启发呢？
有人说“勤能补拙”，没错，我也是 这么想的；还有的说“贵在坚持”，也没错，这也是这个故事
所传达出的一个重要信息贵在坚持；有的也 可能是说“不懂就要抄书”，至少抄书是个方法。还有人说“理
解为王”，这也是这个故事讲的一个非常 重要的一点，从几乎学不懂，然后最后到懂为止。
就理解很重要，我们对一个我们不理解的东西，怎么能心生乐趣呢？学问的乐趣就在于解惑，不