红杏墙外1 数学的意义是什么

2020年11月26日发(作者：荆青)
1 数学的意义是什么？——关于目标和前景的介绍
到了21世纪，数学已成为一门广阔而 多层面的学科。她涵盖的活动类别是如此宽广，
看起来几乎不可能将其种种表现归类于单一学科之中。一 方面，她界定了诸如计数、时间和
金钱等使日常生活得以运转的事务的基本要点，而另一方面，她看来就 像一个密封的世界，
在那里，一些不食人间烟火的伟大头脑炮制者无比复杂的谜题——接着他们再经年累 月地尝
试着去解决那些谜题。与此同时，我们的政治家们一如既往地宣称着：我们需要更多的数学
家。那么，所有这些数学究竟有什么意义，她又是如何融入我们这个世界的呢？
我们今天所看到的数 学根植于早期计数文化，其源头可追溯至大约公元前3000年。当
然，数学一开始时只是用来处理实际 问题。诸如市场商贸、税款支付、土地丈量、仰观星辰
和历法设计等问题都要应用到数字、计算和某些基 础的几何知识。但是过了大约一千年，埃
及人开始研究他们所使用的数字系统的性质，而不大考虑是否具 有明显的应用价值。他们还
处于好奇心与智力上的愉悦感而创造数学谜题，就像我们今天享受报纸上的那 些数独游戏一
样。数学开始关注自身，数学家由此而产生。
大约公元前500年时，古希腊人 在数学方面实现了巨大的跨越，一种真正具有数学思想
的文化繁荣发展起来。他们的著作影响了其后的各 个时代，直到今天仍为我们所研究。数学
被视为最有用出的，因而成为正统教育中的固有组成部分。毕达 哥拉斯、柏拉图、阿基米德
和欧几里得只是那些推崇数学并影响后世千百年的希腊先贤中的一部分代表人 物而已。
基督教时代的前几个世纪是倒退时期，那些热衷于数学的人会发现他们被驱逐到了文化
世界的边缘。大约在公元400年时，希波的圣奥古斯丁提出“一个好的基督徒应该提防数学
家和那些 作出空洞预言的人”，谴责他们签订了“与魔鬼之间的契约，去蒙昧人们的心灵，
将人们束缚于地狱的枷 锁之中”。在那个年代里，与数学家这个词紧密联系在一起的是占星
术的邪恶行径，人们认为数学在潜在 意义上是邪恶的异端主张，这种猜忌使数学在很长时间
里毫无进展。
在16世纪，哲学家佛朗西斯 培根哀叹“纯粹数学之出色用途”仍未为人透彻地理解，
不过有 一件事标志着情况开始好转，伽利略获得了帕多瓦大学的数学教授职位。伽利略与罗
马天主教之间的冲突 （即教廷对他的某些发现的抵制）表明，当时的人们对于数学以及数学
对物理学和天文学的影响作用的接 受程度仍是很有限的。但是到了17世纪晚期，一场数学
与科学的变革发生了，主角是伊萨克 牛顿和他 的同时代者，他们永久性地改变了文化世界
中的力量平衡。18世纪末和19世纪初的浪漫主义者可能会 指责这种新的世界观，威廉 布
莱克也许会嘲讽牛顿，但是作为科学的语言，数学已前途无忧。19世纪 初，数学系在各地
大学中陆续设立，大批新颖而有挑战性的研究著述不断涌现。数学从此得到普遍认可。
实用性与纯粹性
关于数学有一种广为人知的争论，即究竟是实际需求孕育了数学创造，还是新 的数学知
识给世纪应用创造了机会。从历史的角度来看，对实用性的考虑是数学发展的驱动力，但是当这门学问的内在生命开始萌发后，“纯粹的”数学思维就有可能独自为新的应用创造空间。
好的数 学基本上都具有应用潜能，但是你绝对不知道应用的时刻会在什么时候来到。敏锐的
洞见也许会在下个星 期出现，但也可能沉寂达50年甚至500年之久。
在数学发展的历史长河中，遍布着纯数学理论找到 实际应用的例子。古希腊人精心建立
了圆锥曲线的理论，后来人们发现，这正是17世纪时约翰尼斯 开普勒与伊萨克 牛顿断言
行星以椭圆轨道运行时所需要的工具。多维数组的理论（矩阵代数）是在19 世纪50年代为
处理数学内部问题而建立起来的，而它恰好就是70年后快速发展的量子理论中的“矩阵 力
学”所需要的。而当乔治 布尔建立一个将逻辑转化为代数（即布尔代数）的系统时，他也
绝 对无法想到，他为一个世纪之后的计算机编程提供了语言载体。
就在50年前，富于影响力的英国数学 家哈代还曾写道，他在从事数学研究时不会受限
于必须为其思想找到“实际用处”的想法。事实上，令他 感到欣慰的是，那时的数论仍是远
离实际应用的。但是今天，他可能已无法再称许这种隔离状态，因为在 这个世界中，他的纯
数学对于计算机安全领域来说具有极其重要的意义（第14章和第20章）。今天我 们有很多
种关于维度的理论，但是当曼德尔布罗特在20世纪70年代中致力于“分形”研究时，大概< br>很少有人会猜测出它们的潜在应用（第12章）
但是数学家确实也是在意需求的。在18世纪，詹姆斯 瓦特遇到了如何将蒸汽机中活塞
的直线 运动转化为旋转运动的问题，其结果是工业革命期间诞生了几何联动理论。当第二次
世界大战需要密码破 解者时（第14章），拥有非凡才能的数学家从中更多大学应征而来，结
果是世界上第一台电子计算机的 建成。
因此，纯粹数学与应用数学之间始终保持着一种共生关系，在电子时代，这一点更是显
得格外真实。没有数学，计算机将一无是处，数字摄影技术根本不会出现，手机也将进入沉
寂的世界。但 是今天，职业数学家的“纯粹”研究也将大大受益于计算机的计算能力：这次
轮到“应用数学”反哺“纯 粹数学”了。
数学还有自我意识的一面，即她在哲学层面上反思自身的一面。关于这方面的历史呈现< br>出这样一种发展历程：从古希腊人所认为的数学家揭示的只是早已存在的真理，到关于数学
家角色 的一种更为精巧的定位，其中涉及创造性和想象力（19章）
在现代数学中，知识发展的基础在于公理 和逻辑演绎。古希腊人预设了他们的公理的真
实性，而今天的数学家则只期望公理是相容的。20世纪3 0年代，库尔特 哥德尔给数学带
来了冲击，他证明了“不完备性定理”，这个定理之处，在一个形式化 的公理系统中，某些
数学命题在只使用该系统公理时既不能证明也不能证伪。换言之，当今数学中可能存 在着不
可证明的真理，因而也许只能保持现状。
尽管现代数学可以说是广袤而丰富的，其根基 仍可如学校课程中那样划分为算术、代数
和几何等分支。那么，它们的核心是什么？它们又将向何处去呢 ？

数及其特性
在数学的保留节目单中，用以计数的数字始终保持着最为重要的地 位，它们是所有数学
家的起点。它们的演变历史可谓丰富多彩（第2章），毫无疑问，我们最终使用符号 0~9来
表示的“以10为基”的系统并不是必然的。比如，最开始时并没有0.
质数（只能 被自身和1整除的数）的特性是非常让人着迷的研究对象。我们仍不清楚它
们在计数数中是如何分布的， 考虑到我们认识质数已超过2000年之久，这一点几乎是难以
置信的（第3章和第20章）。除了计数 数和其中的质数之外，在几个世纪中这份节目单就扩
展到还包括负数、分数以及通常所称的“无理数”， 即无限不循环小数。所有这些合在一起，
变式数学家所说的“实数”（第4章）。
数的内容远 不止于这些。“实数”还只是一维的。我们可以设想它们在数直线上向左方
（即负数）和右方（即正数） 伸展。当数学家们凭借我们所称的“复数”（见第5章）而勇
闯二维世界时，一次伟大的飞跃来临了。它 们在解方程和提供新的分析理论等方面为数学家
带来了更强的力量。今天，“复数”对于诸如电和磁等现 象的研究可谓至关重要。
于是，我们有了很多种类型的数，但是它们要延展到哪里才会是尽头？自古以 来，数学
家便注定要与无穷这一主题进行较量。自亚里士多德以来，人们就认为“潜无穷”是存在的——这是一种永远不可能到达的无穷。但是到了19世纪，格奥尔格 康托尔引入了另一种无
穷的观念，使得我们有可能去讨论很多的无穷（第6章）

几何、代数与数学中的变革
两千多年以来，几何学一直受控于古希腊人那似乎是无可抗拒的权威之下，直至今天，