我的泡沫之夏数学发展史(经过一些个人整理)

2020年11月26日发(作者：胥午梅)
数学发展史
数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数 学更
是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的
特征，美国数学史家克莱因曾经说过:一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学
活动密切相关 。这种关系在我们这个时代尤为明显。数学不仅是一种方法、一门艺术或一
种语言，数学更主要是一门有 着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、
哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时 影响着政治家和神学家的学说。
数学发展具有较明显的阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干 时期。目前通常
将数学发展划分为以下五个时期：
1．数学萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；
3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；
4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；
5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
而谈到数学的发展历史，就不得不谈到历史上三 次著名的数学危机，危机的产生并不在
于数学本身，由于自然科学和社会的发展，人们用已有的数学工具 无法解决所面临的自然界
的现实问题，自然而然人们要去寻求一种解决问题新的途径和方法，去建立新的 理论体系。
那么就要导致与传统观念的冲突，无法用传统的、已有的理论解释、解决问题，那么就产生< br>了数学危机。数学危机的出现，自然要促使人们进行思维，进行数学革命，突破危机，突破
传统观 念的束缚，创立新的数学理论体系，改进和推动科学技术的发展和社会的进步。
无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达 哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派
重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为 四艺，在其中追求宇
宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉 斯学派
的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数
或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接
触犯了毕氏 学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前37 0年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决
了。他的处理不可通约量的方法， 出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于
1872年给出的无理数的解释与现代解释基本 一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处
理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处 。 第一次数学危机对古希腊的
数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不 能完全由整数及其
比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身 份升
高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视
演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
无 穷 小 是 零 吗 ？ ── 第 二 次 数 学 危 机
18世纪，微分法和积分法在生产和实 践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对
这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年 ，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进
言》，矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求
xn的导数时，采取了先给x以增量０ ，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，
并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然 后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这
里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为 零，也即假设x没有增量。
他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，为 逝去量的
灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学
界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确 是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中
特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数 、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清
楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不 考虑连续就进行微分，不考虑导数
及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到 19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿
贝尔、柯西、狄里赫利 等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间
经历了半个多世纪，基本上解决了矛 盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖 论 的 产 生 --- 第 三 次 数 学 危 机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还
没 有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成
的。由于集合概念 已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集
合论中悖论的发现自然地引起了 对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论 。两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外 不涉及别的概念。罗素悖论
曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到 某村理发师的困
境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样 的
人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己
给自 己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，
那么他就不符合他的 原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的< br>《算术的基本法则》第２卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工
作完成之 时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境
地。于是终结了近12 年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的 实
质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理
集 合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血
肉相连的。所以 ，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
同时，在数学发展史中极为重要的一个过程，就是数的由来和发展。
你是否看过杂技团演出中 小狗做算术这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，
比如，由演员写到黑板上。小狗看到后就会汪 汪汪……7声。台下观众会报以热