张雨菲数学名著

2020年11月26日发(作者：娄光轸)
数学名著
《几何原本》
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作 ，是当时整个希腊数
学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它历经多次翻译和修 订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不
同的版本。除了《圣经》之外，没有任何其 他著作，其研究、使用和传播之广泛，
能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教 信仰、文化意
识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。
公元前7世纪之后，希腊几何学迅 猛地发展，积累了丰富的材料。希腊学者
们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其组成一个 严密的知识系
统。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底（Hippocrates），其 后
经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构
数学的理论大 厦打下了坚实的基础。
欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选
择了一系列具有重大 意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺
序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明 ，形成了具有公理化结构的，具有
严密逻辑体系的《几何原本》。
《几何原本》的希腊原始抄 本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评
注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写 的修订本为依据的。《几何原
本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几 何、立
体几何及算术理论的系统化知识。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设 和公理，还包括一些关
于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定< br>理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一
天，霍布斯在偶然 翻阅欧几里得的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理，感到十
分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的。 ”他由后向前仔细阅读第一章的每个命
题的证明，直到公理和公设，他终于完全信服了。
第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。
第三卷包括圆、弦、割线、切线以 及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这
些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。第四卷则讨论了 给定圆的某些内
接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的 解释，被认为是最重要的数学杰作
之一。据说，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（ Bolzano，
1781－1848），在布拉格度假时，恰好生病，为了分散注意力，他拿起《几何 原
本》阅读了第五卷的内容。他说，这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛
中完全解脱出 来。此后，每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病
人推荐。
第七、八、九卷讨 论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子
的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数， 还给出了许多关于数论的重要定理。
第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后 三卷，即
第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数
都可以 在《几何原本》中找到。
《几何原本》按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一< br>个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概
念和不需证明的命 题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和
逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题 。《几何原本》成为了两千多年来运
用公理化方法的一个绝好典范。
诚然，正如一些现代数学 家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上
的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影 响之深远．使得“欧几里
得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、 数
学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。

《几何学》
《几何学》是法 国数学家笛卡儿一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛
卡儿的名著《更好地指导推理和寻求科学真理 的方法论》（或简称《方法论》）的
三个附录之一，于1637年出版的。
《几何学》在《方 法论》中大约占100页，共分三卷，讨论的全是关于几何
作图问题。笛卡儿在这本书中，将逻辑、代数 和几何方法结合到一起，勾画了解
析几何的方法。他说，“当我们想要解决任何一个问题时”，“给作图 中要用到的
线段以一个名字”，“用最自然的方法表示这些线段之间的关系，直到能找出两种
方 式来表示同一个量，这将构成一个方程”。在第一卷中，笛卡儿对代数式的几
何作了解释，而且比希腊人 更进一步。对希腊人来说，一个变量相当于某线段的
长度，两个变量的乘积相当于某个矩形的面积，三个 变量的乘积相当于某个长方
体的体积。三个变量以上的乘积，希腊人就没有办法处理了。笛卡地不这么考 虑，
他认为：与其把X2看作面积，不如把它看作比例式1：x=x：x2的第四项。这
样，只 给走一个单位的线段，我们就能用给走线段的长度来表达一个变量的任何
次幂与多个变量的乘积。在这一 部分中，笛卡地把几何算术化了：如果在一个给
定的轴上标出x，在与该轴成固定角的另一直线上标出y ，就能做出其x的值和
y值满足一定关系的点（见图1）。


在第二卷中 ，笛卡儿根据代数方程的次数对几何曲线分了类：含x和y的一
次和二次曲线是第一类；三次和四次方程 对应的曲线是第二类；五次和六次方程
对应的曲线是第三类，等等。
《几何学》的第三卷又回到了作图问题上，并且涉及了高于二次方程的解法。
笛卡儿还在《几 何学》中确立了用前几个字母代表已知数（如a、b、c等），用
末后的字母代表本知量（如x、y、Z ）的习惯用法。他还引进了我们现在所使用
的指数表示法（如a2、a3等）。在这本书里，还出现了待 定系数法的最初使用。
尽管笛卡儿在这本书中，对解析几何的基本思想作了阐述，但这种阐述远非系统和清楚明了的。读者必须自己去从一大堆孤立的陈述中花费许多的时间来想
出这些方法。原书中 共有32个图形，但是我们找不出一个明确地摆出了坐标轴
的图。笛卡地在写这本书的时候，有意地使用 了十分含糊的笔法，让人读起来十
分地困难。他曾自吹说全欧洲几乎没有一个数学家能够读懂他的著作。 他只是简
略地指出作图法和证泳，而把其余的细节都留给别人去考虑。他在一封信中，把
他的工 作比作建筑师的工作，即立下计划，指明什么是应该做的，而把手工操留
给木工与瓦工。他还说：“我没 有做过任何漫不经心的删节，但我预见到：对那
些自命为无所不知的人，我如果写得使他们能充分理解， 他们将不失机会地说我
写的都是他们已经知道的东西。”后来，有人为这本书写了许多评注，才使得它< br>易于理解。
尽管在《几何学》中，笛卡儿表达了方程与曲线相结合这一显著的思想，但
他只把它作为解决作图问题的一个手段。笛卡儿对几何作图问题的过分强调，反
而掩盖了曲线和方程的主 要思想。不过瑕不掩玉，笛卡儿所提出的方程与曲线的
思想，最终被人们所逐渐接受，并且《几何学》也 被认为是论述解析几何的一部
经典之作。

《几何基础》

《几何 基础》（GrundlagenderGeometrie）是德国著名数学家希尔伯特所著，
1899 年初版，此后不断再版，至1930年已出第七版。