你曾经让我心动数学人看数学

2020年11月26日发(作者：庞麟阁)
数学人看数学：
人类社会逐渐从自然届中抽象出数学的过程令人感动，本身认识到年月这些 历法的知识就是一个
奇迹，从埃及到巴比伦最后到希腊，毕达哥拉斯亚里士多德柏拉图阿基米德到欧几里 得，都是奇
迹，公理体系一旦建立，人类的意识水平都上升到一个高度了。
很向往巴比伦和希腊的那种态度，崇尚科学，让文明绽放。
无论是哪个人种，哪个文明，对科学都有类似的领悟能力，这和个体的领悟能力类似，非常
的神奇。
越抽象，越接近本质，应用越广泛。
精确是不平凡的开始，牛顿利用数学这个工具 来精确的描述物理世界的规律，取得了非凡的
成就，类似的数学是万能的工具，在任何一个行业都是，缺 少的是发现模式的心灵。
最强的数学家,思考的是还是存在的哲学问题,采用数学作为解释世界 的工具而已(无论是数
字的产生欧式几何代数数形结合实分析复分析变分还是非欧几何黎曼几何等).这 是高斯黎曼这
类人的高度.
人类历史上有几次系统的回顾，1900年的数学大会就是一个。
文明的发展，来自个体的思想突破，比如对无穷的理解，高维空间，相对论，量子力学，弦
论。
每打开一扇门，就会收获许许多多的精神果实，比如对无穷的理解，比如伽利略的望远镜，
比如Wolfram的元胞自动机。
之前我对纯数学感到绝望，一方面是社会原因，另一方面是 没有看到背后深藏的精神动机，
纯数学只是哲学思考的副产物。
康托的一生很惨淡，和 许多其它穷困潦倒的数学家一样，思想超出这个时代，就要懂得等待
和放弃，像高斯，自知之明的把非欧 几何封藏起来。又想起柴同学的那句话，有些人，不值得付
出生命来维护。
庞加莱针对n体问题的探索，简介导致了混沌的发现，一想到混沌，就感到无奈。
了解一门学科 的未来，就要从这门学科的历史和现状入手。对待任何一个知识体系，都必须
有这种意识。比如计算机科 学，只有了解了动机，初生和逐步发展的过程，才能更好的理解现在
的一切，才能更好的把握未来的发展 动向，把有限的精力，投入到无尽的推动中去。
数学的故事是一个生动的数学史教材，把许多书 上看到的文字和图片变成了实在的影响，这
种真实淡化了数学的神秘，更贴近现实的生活。历史不仅仅是 一个童话故事，每一个人都身在其
中。
数学早已深入到生活之中，只是没有足够的修养 和慧眼，无法看的到看的清而已。数学源自
实际问题，得到更高级的抽象，用来作为解决更复杂实际问题 的武器，拓扑学就是一个例子，从
简单的七桥问题开始，欧拉启动了这次飞跃。提到拓扑学，就提到了庞 加莱猜想，然后就提到了
俄罗斯的传奇数学家佩尔曼，这个解决了百年难题却拒菲尔兹奖的奇才，就想到 了，国人的闹剧。
找到佩尔曼和理解他的证明一样困难，很喜欢这句话，真正的数学家，就是要纯粹才能走的
更远。
希尔伯特是一个有雄心壮志的数学家，和牛顿欧几里得高斯类似，坚信通过自己的努力，可
以解开一切谜题。We must know, we will know.而我没有这种信念和自信。
提到希尔伯特公理体系，就不得不提到哥德尔，提到不确定性，我至今仍有阅读其证明的兴
趣。结合图灵停机问题，可计算性，混沌，自由意识，人工智能和决定论，无穷大和超越是一个
迷人的论 题。
哥德尔在获得最大突破之后，不久精神出了问题，就像牛顿晚年寄托与神学类似，即便是坚
定的唯物论者，最终也不得不承认，无论是数学物理还是哲学，都不可能获得终极答案。这个身
处的世界，归根结底，是不可知的。
在奥地利和德国，数学即将死亡，很喜欢这一句，我一直这 么认为，即便是数学这种可能
是柏拉图实在的理论体系，也不是永恒的。
希尔伯特和欧 洲的主导地位和500年的世界数学中心，悲剧的离开了。想起希尔伯特的失
落绝望和无奈，不禁一阵酸 楚，眼眶湿润。
普林斯顿是特廷根的新生，在这里，数学也获得了重生，这是另一个辉煌的序幕 。作为推动
自由美国快速崛起的一个不可忽视的力量，虽然美国的自由不久之后再次被法西斯灵魂附体。
科恩对康托连续统假设的研究成果震撼了我一下，在所有人怀疑的时候，哥德尔投了赞成票，
再然后，人们普遍的接受了，有两个不同的数学世界，同一个命题的真假可以是不同的。这是再
一次的 对数学本身的一次反省，就像对存在的反思。
不曾想，短短几十年，现代数学取得了许许多多令人惊叹的进展。
相比与中国，俄罗斯更盛产数 学家，尤其是卓越的数学家，不知道是跟欧拉有直接的关系，
许多近代的进展，都是在俄罗斯这里突破的 。实际上，关键的是这里有一群绝顶聪明的人，有自
由安静舒适的环境，能够把一生的精力奉献给数学， 作为自己的信仰，如果中国有这种环境，怒
放就只是时间问题了。
对近代数学史知之甚少，有必要补习一下了:)
迄今为止，数学依旧是探寻世界本质的最有力工 具，正如毕达哥拉斯说信仰的，上帝使用数
学创造了这个世界。到这里，我似乎有了一个感悟，对我所渴 望的，有了更进一步的认识，并不
是研究和推动数学，而是了解，借助这个工具来武装自己求索的心。


学习实变的经历：
人大学生学习实变函数——痛并快乐着
大 一时选择数学课程，可选课程有三门，最难的叫“数学分析”，辅导员说数学分析难度极大，适
合有奥赛 背景和未来有研究意愿的理科生，然后有适合普通理科生的难度适中的“数学三”，还有
给文科生很容易 的“数学四”。我想都没想就选了数学三，算是恪守了中庸之道，虽然高中学文科，
起码数学不差。这么 一选，要让我后悔一辈子。数三偏重实用，毫无挑战性，学得意兴阑珊。一
年下来学够了本科阶段要用的 数学，再加上一个饱满的GPA，却总觉得缺些什么——数学的乐
趣。
可以把某一门数学比作 一幢建筑，学习的过程就像在自己脑海中重建它。真正的数学教学让人从
地基开始一块一块砖头地搭建， 每一个结构的选择，每一块材料的使用，都小心翼翼。施工完成
之日，学生不只看到建筑的外形，还因为 亲手参与了全部工作而知道这幢建筑的每一个材料在哪，
以及为什么会出现在那个位置，好奇心被满足感 填充的满满的。其实，最大的乐趣还在于学习的
过程，绞尽脑汁去理解每一个抽象的定义，抓住一个奇妙 证明背后的逻辑，和自己尝试着解决一
个难题。那时，大脑全神贯注，想通过一道墙却处处碰壁，突然灵 光一闪，面前出现一扇门，打
开门走进去，虽然你知道门后还有一幢墙，墙后还有更多的墙，也高兴得像 是全世界都在对你微
笑……那种感觉，罗素说，解数学题有过相似经历的人都能体会。
大三第 一学期，学院的选修课名录上赫然出现一门“实变函数”。选课时同学间流传着一份上届学
长留下的各门 课的简介，内容包括难易程度、考试方式等等。实变函数的介绍里写着“极度抽象”，
难易程度是“极难 ”。我立刻就选下，不想再因为害怕课程苦难而留下遗憾。
实变函数之难超过我想象。班里有一群数学 牛人，我等数学菜鸟鸡立鹤群，云山雾绕根本不知道
老师在说云为何时，其他同学跟着老师进度点头说是 ，有的同学还能与老师争论甚至让其下不了
台。开始几节课还好，往后听不懂的地方越来越多。想象中的 美感很少出现，倒是挫折感像定时
的闹钟，每次实变函数课准时响起，阴魂不散。高中时看到一些同学在 老师讲题时茫然四顾的表
情，心下不以为然，现在知道他们的难受了。只有一个多小时的课常常让人感觉 虚脱，下课后脑