美和汉语数学一两年的改变

2020年11月26日发(作者：陶盛德)

2013年与2012年考研数学（一）大纲变化对比及复习重点提示
大
科纲
章节 2012考研数学（一）大纲
目 内
容
大
纲
复习重点提示
对
比
2013考研数学（一）大纲
函数的概念及表示法 函数的函数的概念及表示法 函数的
有界性、单调性、周期性和奇有界性、单调性、周期性和奇
偶性 复合函数、反函数、分偶性 复合函数、反函数、分
段函数和隐函数 基本初等函段函数和隐函数 基本初等函
数的性质及其图形 初等函数 数的性质及其图形 初等函数
函数关系的建立 数列极限与函数关系的建立 数列极限与
1.函数是微积分研
函数极限的定义及其性质 函函数极限的定义及其性质 函
考
究的对象，函数这
数的左极限与右极限 无穷小数的左极限与右极限 无穷小无
试
部分的重点是：复
量和无穷大量的概念及其关系 量和无穷大量的概念及其关系 变
内
合函数、反函数、
无穷小量的性质及无穷小量的无穷小量的性质及无穷小量的化
容
分段函数和隐函
比较 极限的四则运算 极限比较 极限的四则运算 极限
数、基本初等函数
存在的两个准则：单调有界准存在的两个准则：单调有界准
的性质及其图形 、
则和夹逼准则 两个重要极则和夹逼准则 两个重要极
初等函数的概念
限: ， 函数连续的概念 函数限: ， 函数连续的概念 函数
等；2.极限是研究
间断点的类型 初等函数的连间断点的类型 初等函数的连
微积分的工具，极
续性 闭区间上连续函数的性续性 闭区间上连续函数的性
一、限是本章的重点内
质 质
高函容，既要准确理解
1．理解函数的概念，掌握函数1．理解函数的概念，掌握函数
等数、极限的概念、性质
的表示 法，会建立应用问题的的表示法，会建立应用问题的
数极和极限存在的条
函数关系. 2．了解函数的函数关系. 2．了解函数的
学 限、件，又要能准确的
有界性、单调性、周期性和奇有界性、单调性、周期性和奇
连续 求出各种极限，掌
偶性． 3．理解复合函数偶性． 3．理解复合函数
握求极限的各 种方
及分段函数的概念，了解反函及分段函数的概念，了解反函
法。3.连续性是可
数 及隐函数的概念． 4．掌数及隐函数的概念． 4．掌
导性与可积性的重
握基本初等 函数的性质及其图握基本初等函数的性质及其图
要条件，要掌握判
考形，了解初等函数的概念. 形，了解初等函数的概念.
无
断函数连续性与间
试5．理解极限的概念，理解函 数5．理解极限的概念，理解函数
变
断点类型的方法，
要左极限与右极限的概念以及函 左极限与右极限的概念以及函
化
特别是分段函数在
求 数极限存在与左、右极限之间数极限存在与左、右极限之间
分界点处的连续
的关系． 6．掌握极限的的关系． 6．掌握极限的
性，理解闭区间上
性质及四则运算法则. 性质及四则运算法则.
连续函数的性质。
7．掌握极限存在的两个准则，7．掌握极限 存在的两个准则，
并会利用它们求极限，掌握利并会利用它们求极限，掌握利
用两个重要极限求 极限的方用两个重要极限求极限的方
法． 8．理解无穷小量、法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小无穷大量的概念，掌握无穷小
量的比较方法，会用等价无穷 量的比较方法，会用等价无穷


小量求极限． 9．理解函小量求极限． 9．理解函
数连续性的概念（含左连续与数连续性的概念（含左连续与
右连续），会判别函数间 断点右连续），会判别函数间断点
的类型． 10．了解连续的类型． 10．了解连续
函数的性质和初等函数的连函数的性质和初等函数的连

续性，理解 闭区间上连续函数续性，理解闭区间上连续函数
的性质（有界性、最大值和最的性质（有界性、最大值和 最
小值定理、介值定理），并会小值定理、介值定理），并会
应用这些性质． 应用这些性质．

导数和微分的概念 导数的导数和微分的概念 导数的
几何意义和物理意义 函数几何意义和物理意义 函数
的可导性与连续性之间的关的可导性与连续性之间的关
系 平面曲线的切线和法线 系 平面曲线的切线和法线
导数和微分的四则运算 基本导数和微分的四则运算 基本
初等函数的导数 复合函数、初等函数的导数 复合函数、
1 .一元函数的导数与微
反函数、隐函数以及参数方程反函数、隐函数以及参数方程
分的概念及其 各种计算
考
所确定的函数的微分法 高所确定的函数的微分法 高无
方法是微积分学中最基
试
阶导数 一阶微分形式的不变阶导数 一阶微分形式的不变变
本又是最重要的概念与
内
性 微分中值定理 洛必达性 微分中值定理 洛必达化
计算之一，重点理解函
容
（L’Hospital）法则 函数（L’Hospital）法则 函数
数的可导性与连续性之
单调性的判别 函数的极值 单调性的判别 函数的极值
间的关系．掌握导数的
函数图形的凹凸性、拐点及渐函数图形的凹 凸性、拐点及渐
四则运算法则和复合函

近线 函数图形的描绘 函近线 函数图形的描绘 函
数的求导法则，掌握基
数的最大值和最小值 弧微数的最大值和最小值 弧微
本初等函数的导数公
分 曲率的概念 曲率圆与分 曲率的概念 曲率圆与
二、式．会求分段函数的导
曲率半径 曲率半径
一元数，会求隐函数和由参
函数
1.理解导数和微分的概念，理1.理解导数和微分的概念，理
数方程所确定的函 数以
微分
解导数与微分的关系，理解导解导数与微分的关系，理解导
及反函数的导数. 2.微
学
数的几何意义，会求平面曲线数的几何意义，会求平面曲线
分中值定理是微 分学中
的切线方程和法线方程，了解的切线方程和法线方程，了解
最重要的理论部分，重
导数的物理意义，会用导数描导数的物理意义，会用导数描
点掌握罗尔(Rolle)定
述一 些物理量，理解函数的可述一些物理量，理解函数的可
理、拉格朗日
(Lagrange)中值 定理和
导性与连续性之间的关导性与连续性之间的关
考系． 2．掌握导数的四则运算系． 2 ．掌握导数的四则运算
泰勒(Taylor)定理，会
无
试法则和复合函数的求导法则 ，法则和复合函数的求导法则，
用导数来讨论函数的单
变
调性、极值点、凹凸性
要掌握基本初等函数的导数公掌握基本初等函数的导数公
化
求 式．了解微分的四则运算法 则式．了解微分的四则运算法则
与拐点，掌握求最值的
和一阶微分形式的不变性，会和一阶微分 形式的不变性，会
方法并会解简单的应用
求函数的微分． 3．了解高阶求函数的微分． 3．了解高阶
题。
导数的概念，会求简单函数的导数的概念，会求简单函数的
高阶导数． 4．会求分段函数高阶导数． 4．会求分段函数
的导数，会求隐函数和由参数的导数，会求隐函数和由 参数
方程所确定的函数以及反函方程所确定的函数以及反函
数的导数 数的导数


. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定. 5．理解并会用罗尔(Rolle)定
理、拉格朗日(Lagrange)中值定理理、拉格朗日(Lagrange)中值定理
和泰勒(T aylor)定理，了解并会用和泰勒(Taylor)定理，了解并会用
柯西(Cauchy)中值定 理． 6．掌握柯西(Cauchy)中值定理． 6．掌握
用洛必达法则求未定式极限的方用洛必达法则求未定式极限的方
法． 7．理解函数的极值概念，掌法． 7．理解函数的极值概念，掌
握用导数判断函数的单调性和求握用导 数判断函数的单调性和求
函数极值的方法，掌握函数最大值函数极值的方法，掌握函数最大值
和 最小值的求法及其应用． 8．会和最小值的求法及其应用． 8．会

用导数判断函数图形的凹凸性用导数判断函数图形的凹凸性
（注：在区间 内，设函数 具有二（注：在区间 内，设函数 具有二
阶导数。当 时， 的图形是凹的；阶导数。当 时， 的图形是凹的；
当 时， 的图形是凸的），会求函当 时， 的图形是凸的），会求函
数图形 的拐点以及水平、铅直和斜数图形的拐点以及水平、铅直和斜
渐近线，会描绘函数的图形． 9．了渐近线，会描绘函数的图形． 9．了
解曲率、曲率圆与曲率半径的概解曲率、曲率圆与曲率半径 的概
念，会计算曲率和曲率半径． 念，会计算曲率和曲率半径．

原函数和不定积分的概念 不定原函数和不定积分的概念 不定
积分的基本性质 基本积分公式 积分的基本性质 基本积分公式

定积分的概念和基本性质 定积定积分的概念和基本性质 定积
不定积分与定
考分中值定理 积分上限的函数及分中值定理 积分上限的函数及
积分是积分学
无
试其导数 牛顿一莱布尼茨其导数 牛顿一莱布尼茨
的基础，在积分
变
内（Newton-Leibniz）公式 不定积（Newton-Leibniz）公式 不定积
的计算中换元
化
容 分和定积分的换元积分法与分部分和定积分的换元积分法与分部
积分和分部积
积分法 有理函数、三角函数的有积分法 有理函数、三角函数的有
分法是最基本
三、
理式和简单无理函数的积分 反理式和简单无理函数的积分 反
的方法，需要熟
一元
常（广义）积分 定积分的应用 常（广义）积分 定积分的应用
练掌握，理解积
函数
1．理解原函数的概念，理解不 定1．理解原函数的概念，理解不定
分上限的函数，
积分
积分和定积分的概念． 2．掌握不积分和定积分的概念． 2．掌握不
会求它的导数，
学
定积分的基本公式 ，掌握不定积分定积分的基本公式，掌握不定积分
掌握牛顿－莱
布尼茨公式．掌
考和定 积分的性质及定积分中值定和定积分的性质及定积分中值定
无
握用定积分表
试理，掌握 换元积分法与分部积分理，掌握换元积分法与分部积分
变
要法． 3．会求有理函数、三角函数法． 3．会求有理函数、三角函数
达和计算一些
化
几何量与物理
求 有理式和简单无理函数的积有理式和简单无理函数的积
分． 4．理解积分上限的函数，会分． 4．理解积分上限的函数，会
量
求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨
公式． 公式．


5．了解反常积分的概念，会 5．了解反常积分的概念，会
计算反常积分． 6．掌握用定计算反常积分． 6．掌握用定
积分表达和计算一些几何量与积分表达和计算一些几何量与
物理量（平面图形的面积、平物理量（平面图形的面积、平
面曲线的弧长、旋转体的体积面曲线 的弧长、旋转体的体积

及侧面积、平行截面面积为已及侧面积、平行截面面积为已
知 的立体体积、功、引力、压知的立体体积、功、引力、压
力、质心、形心等）及函数的力、质心、形心等 ）及函数的
平均值． 平均值．

向量的概念 向量的线性运算 向量的概念 向量的线性运算
向量的数量积和向量积 向量向量的数量积和向量积 向量
的混合积 两向量垂直、平行的混合积 两向量垂直、平行
的条件 两向量的夹角 向量的条件 两向量的夹角 向量
的坐标表达式及其运算 单位的坐标表达式及其运算 单位
向量 方向数与方向余弦 曲向量 方向数与方向余弦 曲
考面方程和空间曲线方程的概念 面方程和空间曲线方程的概念
无
试平面方程、直线方程 平面与平面方程、直线方程 平面与
变
内平面、平面与直线、直线与直平面、平面与直线、直线与直
化
1.向量代数的重点是
容 线的夹角以及平行、垂直的条线的夹角以及平行、垂直的条
向量的运算：加法、
件 点到平面和点到直线的距件 点到平面和点到直线的距
数乘、数量积、向量
离 球面 柱面 旋转曲面 离 球面 柱面 旋转曲面

积与混合积，应能熟
常用的二次曲面方程及其图形 常用的二次曲面方程及其图形
练 的用于直线与平面
四、向
空间曲线的参数方程和一般方空间曲线的参数方程和一般方
的 问题；2.空间解析
程 空间曲线在坐标面上的投程 空间曲线在坐标面上的投
量代
几何的重点是建立平
影曲线方程 影曲线方程
数和
面、直线方程，以及
空间
1.理解空间直角坐标系，理解1.理解空间直角坐标系 ，理解
直线与直线、平面与
解析
向量的概念及其表示. 2.掌握向量的概念及其表示. 2.掌握
平面、直线与平面之
几何
向量的运算（线 性运算、数量向量的运算（线性运算、数量
间的各种关系；3.对
积、向量积、混合积），了解 积、向量积、混合积），了解
于二次方程应当知道
两个向量垂直、平行的条件. 两个向量垂直、平行的条件.
每种方程各表示什么
3.理解单位向量、方向数与方3.理解单 位向量、方向数与方
曲面，会求柱面、旋
考向余弦、向量的坐标表达式，向余弦、向量的坐标表 达式，
无
转面方程。
试掌握用坐标表达式进行向量运掌握用坐标表达式进行向量运
变
要算的方法. 4.掌握平面方程和算的方法. 4.掌握平面方程和
化
求 直线方程及其求法. 5．会求平直线方程及其求法. 5．会求平
面与平面、平面与直线、直线面与平面、平面与直线、直线
与直线之间的夹角，并会利用与直线之间的夹角，并会利用
平面、直线的相互关系（平行、平面 、直线的相互关系（平行、
垂直、相交等）解决有关问题. 垂直、相交等）解决有关问题.
6．会求点到直线以及点到平面6．会求点到直线以及点到平面
的距离. 7. 的距离. 7.


了解曲面方程和空间曲线方了解曲面方程和空间曲线方
程的概念. 8.了解常用二次程的概念. 8.了解常用二次
曲面的方程及其图形，会求曲面的方程及其图形，会求
简单的柱面和旋转曲面的方简单的柱面和旋转曲面的方
程. 9.了解空间曲线的参数程. 9.了解空间曲线的参数

方程和一般方程.了解空间方程和一般方程.了解空间
曲线 在坐标平面上的投影，曲线在坐标平面上的投影，
并会求该投影曲线的方程. 并会求该投影曲线的方程.


五、
多元
函数
微分
学
多元函数的概念 二元函数多元函数的概念 二元函数
的几何意义 二元函数的极的几何意义 二元函数的极
限与连续的概念 有界闭区限与连续的概念 有界闭区
域上多元连续函数的性质 域上多元连续函数的性质
多元函数的偏导数和全微分 多元函数的偏导数和全微分
全微分存在的必要条件和充全微分存在的必要条件和充
考
分条件 多元复合函数、隐函分条件 多元复合函数、隐函无
试
数的求导法 二阶偏导数 数的求导法 二阶偏导数 变
内
方向导数和梯度 空间曲线方向导数和梯度 空间曲线化
容
的切线和法平面 曲面的切的切线和法平面 曲面的切
平面和法线 二元函数的二平面和法线 二元函数的二
阶泰勒公式 多元函数的极阶泰勒公式 多元函数的极
1.多元函数重点研究的是
值和条件极值 多元函数的值和条件极值 多元函数的
二元函数，重点掌握二元函
最大值、最小值及其简单应最大值、最小值及其简单应
数的 偏导数、可微性、全微
用 用
分，了解全微分存在的必要
会求多元
1．理解 多元函数的概念，理1．理解多元函数的概念，理
条件及充分条件，
复合函数及隐函数的一阶< br>解二元函数的几何意义. 解二元函数的几何意义.
2.
2．了解二元函数的极限与连 2．了解二元函数的极限与连
与二阶偏导数或全微分；
续的概念以及有界闭区域上续的概念以及 有界闭区域上
多元函数微分学的一个重
连续函数的性质. 3．理解多连续函数的性质. 3． 理解多
要应用时多元函数的最值
包括简单的极值问题
元函数偏导数和全微分的概元函数 偏导数和全微分的概
问题，
3.多元函数
念，会求全微分，了解全微念，会求全微分， 了解全微
与条件极值问；
分存在的必要条件和充分条分存在的必要条件和充分条
微分学 另外一个重要的概
掌握
件，了解全微分形式的不变件，了解全微分形式的不变
念是方向 导数和梯度，
考
性. 4．理解方向导数与梯度性. 4．理解方向导数与梯度无
其计算方法。
试
的概念，并掌握其计算方法. 的概念，并掌握其计算方法. 变
要
5．掌握多元复合函数一阶、5．掌握多元复合函数一阶、化
求
二阶偏导数的求法. 6．了解二阶偏导数的求法. 6．了解
隐函数存在定理，会求多元隐函数存在定理，会求多元
隐函数的偏导数. 7．了解空隐函数的偏导数. 7．了解空
间曲线的切线和法平面及曲间曲线的切线和法平面及曲
面的切平面和法线的概念，面的切平面和法线的概念，
会求它们的方程. 8．了解二会求它们的方程. 8．了解二
元函数的二阶泰勒公式. 元函数的二阶泰勒公式.
9．理解多元函数极值和条件9．理解多元函数极值和条件
极值的概念，掌握多元函数极值的概念，掌 握多元函数


极值存在的必要条件，了解极值存在的必要条件，了解
二元函 数极值存在的充分条二元函数极值存在的充分条
件，会求二元函数的极值，件，会求二元函数的极值，< br>会用拉格朗日乘数法求条件会用拉格朗日乘数法求条件
极值，会求简单多元函数的极值，会求简单 多元函数的
最大值和最小值，并会解决最大值和最小值，并会解决
一些简单的应用问题 一些简单的应用问题



二重积分与三重积分的概念、二重积分与三重积分的概念、
性质、计算和应用 两类曲线性质、计算和应用 两类曲线
积分的概念、性质及计算 两积分的概念、性质及计算 两
类曲线积分的关系 格林类曲线积分的关系 格林
（Green）公式 平面曲线积（Green）公式 平面曲线积
考
分与路径无关的条件 二元分与路径无关的条件 二元无
试
函数全微分的原函数 两类函数全微分的原函数 两类变
内
曲面积分的概念、性质及计算 曲面积分的概念、性质及计算 化
容
两类曲面积分的关系 高斯两类曲面积分的关系 高斯
（Gauss）公式 斯托克斯（Gauss）公式 斯托克斯
（Stokes)公式 散度、旋度（Stokes)公式 散度、旋度
的概念及计算 曲线积分和曲的概念及计算 曲线积分和曲
多元函数积分学是定积
面积分的应用 面积分的应用
分的推广，包括二 重积
分、三重积分、曲线曲
1．理解二重积分、三重积分1．理解二重积分、三重积分
的概念，了解重积分的性质，的概念，了解重积分的性质，
面积分，学习本章的关
键就是掌握它 们与定积
了解二重积分的中值定理. 了解二重积分的中值定理.
分的关系，以及它们之2．掌握二重积分的计算方法2．掌握二重积分的计算方法
（直角坐标、极坐标），会计（直角坐标 、极坐标），会计
间的相互关系，重点掌
算三重积分（直角坐标、柱面算三重积分（直角坐标、 柱面
握把计算各类多元函数
积分转化为求定积分的
坐标、球面坐标）. 3．理解坐标、球面坐标）. 3．理解
两类曲线积分的概念，了解两两类曲线积分的概念，了解两有关公式及重积分的变
量替换，包括极坐标、
类曲线积分的性质及两类曲类曲线积分的性质 及两类曲
柱坐标与球坐标变换。
线积分的关系. 4．掌握计算线积分的关系. 4．掌握计算
格林公式、高斯公式和
两类曲线积分的方法. 5．掌两类曲线积分的方法. 5 ．掌
斯托克斯公式及其应
握格林公式并会运用平面曲握格林公式并会运用平面曲
考线积分与路径无关的条件，会线积分与路径无关的条件，会无
用，平面曲线积分与路
试求二元函数全微分的原函数. 求二元函数全微分的原函数. 变
径无关及全微分式的原
要
6．了解两类曲面积分的概念、6．了解两类曲面积分的概念、化
函数问题等再历年的考
求
性质及两类曲面积分的关系，性质及两类曲面积分的关系，
试中占有重要地位。
掌握 计算两类曲面积分的方掌握计算两类曲面积分的方
法，掌握用高斯公式计算曲面法，掌握用高斯公式计算 曲面
积分的方法，并会用斯托克斯积分的方法，并会用斯托克斯
公式计算曲线积分. 7．了解公式计算曲线积分. 7．了解
散度与旋度的概念，并会计散度与旋度的概念，并会计
算. 8．会用重积分、曲线积算. 8．会用重积分、曲线积
分及曲面积分求一些几何量分及曲面积分求一些 几何量
与物理量（平面图形的面积、与物理量（平面图形的面积、
体积、曲面面积、弧长、质量 、体积、曲面面积、弧长、质量、
质心、、形心、转动惯量、引质心、、形心、转动惯量、引
力 、功及流量等） 力、功及流量等）
. .
六、
多元

函数
积分
学



. .

常数项级数的收敛与发散的概常数项级数的收敛与发散的概
念 收敛级数的和的概念 级念 收敛级数的和的概念 级
数的基本性质与收敛的必要条数的基本性质与收敛的必要条
件 几何级数与 级数及其收敛件 几何级数与 级数及其收敛
性 正项级数收敛性的判别法 性 正项级数收敛性的判别法
交错级数与莱布尼茨定理 任交错级数与莱布尼茨定理 任
意项级数的绝对收敛与条件收意项级数的绝对收敛与条件收
敛 函数项级数的收敛域与和敛 函数项级数的收敛域与和
考
函数的概念 幂级数及其收敛函数的概念 幂级数及其收敛无
试
半径、收敛区间（指开区间）和半径、收敛区间（指开区间）和变
内
收敛域 幂级数的和函数 幂收敛域 幂级数的和函数 幂化
容
级数在其收敛区间内的基本性级数在其收敛区间内的基本性
质 简单幂级数的和函数的求法 质 简单幂级数的和函数的求法
无穷级数包含常数
初等函数的幂级数展开式 函数初等函数的幂级数展开式 函数
项级数与函数项级
的傅里叶（Fourier）系数与傅的 傅里叶（Fourier）系数与傅
数，要熟练掌握常
里叶级数 狄利克雷里叶级数 狄利克雷
数项级数敛散性的
（Dirichlet）定理 函数在 上（Dirichlet）定理 函数在 上
判定，对一般的函
的傅里叶级数 函数在 上的正的傅里叶级数 函数在 上的正
数项级数要掌握其
弦级数和余弦级数 弦级数和余弦级数
收敛域的求法，对
七、
1．理解常数项级数收敛、发散1．理解常数项级数收敛、发散
幂级数要掌握其收

无穷
以及收敛级数的和的概念，掌握以及收敛级数的和的 概念，掌握
敛性的特点，收敛
级数
级数的基本性质及收敛的必要级数的基本性质及收敛的必要
半径与收敛域的求
条件. 2．掌握几何级数与 条件. 2．掌握几何级数与
法，和函数的性质，
级数的收敛与发散的条件. 级数的收敛与发散的条件.
关于傅里叶级数，
3．掌握正项级数收敛性的比较3．掌握正项级数收敛性的比较
考察的比较 少，对
判别法和比值判别法，会用根值判别法和比值判别法，会用根值
于给定的函数要会
判别法. 4．掌握交错级数判别法. 4．掌握交错级数
求按指定形式的傅
的莱布尼茨判别法. 5. 了的莱布尼茨判别法. 5. 了
里叶展开式。
考解任意项级数绝对收敛与条件解任意项级数绝对收敛与条件
无
试收敛的概念以及绝对收敛与收收敛的概念以及绝对收敛与收
变
要敛的关系. 6．了解函数项敛的关系. 6．了解函数项
化
求 级数的收敛域及和函数的概念. 级数的收敛域及和函数的概念.
7．理解幂级数收敛半径的概念、7．理解幂级数收敛半径的概念、
并掌握幂级数的收敛半径、收敛并掌握幂级数的收敛半径、收敛
区间及收敛域的求法. 区间及收敛域的求法.
8．了解幂级数在其收敛区间内8．了解幂级数在其收敛区间内
的 基本性质（和函数的连续性、的基本性质（和函数的连续性、
逐项求导和逐项积分），会求一逐项求导和 逐项积分），会求一
些幂级数在收敛区间内的和函些幂级数在收敛区间内的和函
数，并会由此求 出某些数项级数数，并会由此求出某些数项级数
的和 的和