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男人女人的区别三大数学流派

作者:高考题库网
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2020-11-26 12:55
tags:研究生入学考试, 高等教育

柳树的作用-

2020年11月26日发(作者:黄子卿)
三大数学流派
十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,
曾 遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受
了,并且获得广泛而高度的赞誉。 数学家们发现,从自然数与康托尔集合
论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有
漏洞的!这就是英 国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 可以说,这一悖
论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石,而 它所引起的巨大反响导致
了第三次数学危机。
罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫 切的需要的姿态摆到数学家
面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名
的三大数学流派。
从1900年到30年这三十年间,许多数学家就数学的哲学基础这一问
题展开了讨论,并 形成了不同的数学基础学派,主要有逻辑主义、形式主
义和直觉主义三大学派
逻辑主义
“数学即逻辑”
逻辑主义的主要代表人物是罗素, 在《数学的原理》及《数学原 理》
中,罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题,它
可以分析为三部分 内容:
1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来
讲,即每 条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,则它就是逻辑真
理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题,就可由少数逻辑公理及逻
辑规则推导出来。
形式主义
一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特。
希尔伯特建议两条最 基本的原则:一、形式主义原则:所有符号完全
看做没有意义的内容,即使将符号、公式或证明的任何有 意的意义或可能
的解释也不管,而只是把它们看作纯粹的形式对象,研究它们的结构性质;
二、 有限主义原则,即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公
式是否一个证明。应用数学方法于这 样一个形式理论,避免涉及无穷的推
断,这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方 法,
因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的,整个数学才
有牢固的基础。
直觉主义
直觉主义的奠基者和代表人物是荷兰数学家克劳威尔。
在数学哲学中,直觉主义,或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用
人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。
任何数学对 象被视为思维构造的产物,所以一个对象的存在性等价于
它的构造的可能性。这和经典的方法不同,因为 经典方法说一个实体的存
在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者,这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此,直觉主
义是数学结构主义的一种; 但它不是唯一的一类。
直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来;如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同
直觉主义者会争论的一样) ?这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对
一个数学命题的含义有不同理解。例如,说A 或 B, 对于一个直觉主义者,
是宣称A或B可以证明。特别的有,排中律, A 或 非 A, 是不被允许的,
因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。(参看直觉逻辑.)
直觉主义也拒绝实际无穷的抽象;也就是说,它不考虑象所有自然数
的集合或任意有理数的序列无穷这样 的无穷实体作为给定对象。这要求将
集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分 析。
三大数学流派简介
Prince 发表于 2007-12-14 14:11 :00在介绍二十世纪中前期的数学三
大流派之前,我想先提一下数学的“学派”,数学学派比数学流派 要多的
多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方,做出一系列的
研究,并坚持一 定的学派风格。在《基础教育百科全书·数学卷》(设计书)
中,提到的数学学派有:伊奥尼亚学派、毕 达哥拉斯学派、诡辩学派、智
人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德< br>学派、亚历山大里亚学派、格丁根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利
代数几何学派、法国函数 论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主
义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑 学派、剑桥分析
学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。
可以看到 ,中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学
习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西 。数学本身源于自然哲学。
当数学科学逐渐从哲学中分离出来,但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。< br>关于每个学派,都有一段很长的故事,其中的每个数学家都有很多激动人
心的作品,和带有传奇色 彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》
和E.T贝尔的《数学精英》,我们可以了解到很多 数学家的故事。
直至近代,通过参阅《当代数学精英-菲尔茨奖获得者传》,和《当
代 数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书,可以对20世纪以
来的数学有大概的了解。
莫斯科学派和哥廷根学派是我最喜欢的两个学派。两个地方都曾经云
集过一大批著名的数学 家,有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。
关于哥廷根学派:
哥廷根学派 是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派,该学
派坚持数学的统一性,思想反映了数学的本质, 促进了数学的发展。
高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代,他把现代数学提到一个新的
水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作,在代数、几何、数论
和分析领域做出了贡献,克莱 因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了
全盛时期,哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心 。
哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地,但希特勒的上台,使它受到
致命的打击。大 批犹太血统的科学家被迫亡命美国,哥廷根数学学派解体。
【1】
关于莫斯科学派:
百年来,苏俄涌现了上百位世界一流的数学家,其中如鲁金,亚历山
德罗夫,柯尔莫戈罗夫 ,盖尔范德,沙法列维奇,阿洛尔德,诺维可夫,
李雅普洛夫,菲赫金哥尔茨,科瓦列夫斯卡娅等都是响 当当的数学大师。
而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数
学家 其数量之多,质量之高,恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。
在20世纪就再也没有那个大学 敢与之相比了,即使是赫赫有名的普林斯顿
大学也没有出过这么多的优秀数学家,莫斯科大学是当之无愧 的世界第一
数学强校。
莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出,把 高深
的数学理论用简单的数学语言写出来,并举出很多生活中的实例,与数学
理论相联系。他是 个对数学理解非常深刻的数学家。看他的作品非常的享
受,如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力 学的数学方法》。
很遗憾的是中国还未尝有过什么如此著名的数学学派,更不谈流派了。
中国的数学发展,还需要更多的年轻人的投入和奋斗。
在下面要谈到的三大流派中,涉及了很 多当时世界上一流的数学家,
逻辑学家,哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献,在这里我< br>们向他们致以崇高的敬意。
-------
【1】『注』这里只需列出 一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避
难的数学家和物理学家的部分名单,就可见人材转移之一斑 了。爱因斯坦
(1879~1955,伟大的物理学家);弗兰克(J.Franck,1882~19 64.1925
年获诺贝尔物理学奖);冯·诺依曼(1903~1957,杰出数学家之一);柯朗< br>(1888~1972,哥廷根数学研究所负责人);哥德尔(1906~1976,数理逻辑
学 家);诺特(1882~1935,抽象代数奠基人之一);费勒(W.Feller,1906~
19 70,随机过程论的创始人之一);阿廷(1896~1962,抽象代数奠基人之
一);费里德里希( K.Friedrichs,1901~1983,应用数学家);外尔(1885~
1955,杰出的 数学家之一);德恩(1878~1952,希尔伯特第3问题解决者);
此外还有波利亚、舍荀(Sz eg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺
尔德海姆(Nordheim)、 德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。
二十世纪中前期的三大数学流派简介
集合论在19世纪末由康托建立后, 集合概念成为最基本、应用最广的
一个概念,人们曾 经相信,全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。
1900 年,在巴黎召开的国际数学家大会上,庞加莱曾满怀信心的说:“ 现
在我们可以说,完全的严格化已经达到了。” 可是这话说出后还不到3 年,
英国数学家罗 素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论,
使数学基础发生动摇,用弗雷格的话说: “突然它的一块基石崩塌下来
了。”
罗素的集合悖论:
集合可以分为 两类:第一类集合的特征是:集合本身又是集合中的元
素,例如当时人们经常说的“所有集合所成的集合 ”;第二类集合的特征
是:集合本身不是集合的元素,例如直线上点的集合。显然,一个集合必
须是并且只能是这两类集合中的一类。现在假定R是所有第二类集合所成
的集合。那么,R是哪一类的集 合呢? 罗素悖论一个通俗的说法是理发师
悖论:
在某个城市中有一位理发师,他的广 告词是这样写的:“本人的理发
技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也
只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,
自然都是那些不给自己 刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看
见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能 不能给他自己刮脸
呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自
己刮 脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不
该给自己刮脸。
集 合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题,涉及数学逻辑推理
的可信性和数学命题的真理性问题,属 于数学哲学的范畴。

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