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世／纪的数学展望
在新世纪开始，全世界科学家对这个新时代的来
临，有着无比的兴奋，期待着人类有史以来最新的发
现。数学是所有推理学问的基础，我希望在这个演讲
里能够指出今后数学发展的一些线索。
由希腊数学家发展欧氏几何的公理系统开始 ，人
类对严谨的三段论证方法才有实体的认识，影响所及，
凡是需要推理的学问都与数学有关， 推理的学问可分
物理科学、工程科学和社会科学。
数学和工程科学乃是社会科学的基础，理论物 理
乃是工程科学的基础，数学乃是理论物理的基础。
人类科技愈进步愈能发现新现象， 种种繁复现象
使人极度迷惘（例如：湍流问题、黑洞问题）。但是主宰
所有现象变化的 只是几个小数的基本定律。标准模型
统一了三个基本场：电磁场、弱力、强力，但是重力场和
这 三个场还未统一。
重力场由广义相对论描述，是狭义相对论和牛顿
力学的统一理论而形 成的，这是爱因斯坦最富有想象
力的伟大创作。爱因斯坦方程是
Ｒｙ－（Ｒ１２）ｇ｝＝Ｔｙ
其中ｇｙ是测度张量（引力场）；Ｔｙ是物质张量；Ｒ。是里奇曲率张量。
弦理论企图统一重力场和其他所有场。在２１世
纪，基本数学会遇到 同样的挑战：基本数学的大统一，
只有在各门分支大统一时，所有分支才会放出灿烂的
火花，每 一门学问才会得到本质上的了解。
数学的大统一将会比物理的大统一来得基本，也
将由 统一场论孕育而出。近代弦论的发展已经成功地
将微分几何、代数几何、群表示理论、数论、拓扑学相当
重要的部分统一起来。数学已经由此得到丰富的果实。
大自然提供了极为重要的数学模型，以上 很多模型都
是从物理直觉或从实验观察出来的，但是数学家却可
．丘成桐
以用自己的想 象，在观察的基础上创造新的结构。
成功的新的数学结构往往是几代数学家共同努力
得出的成果，也往往是数学中几个不同分支合并出来
的火花。
几何和数字（尤其是整 数）可说是数学里最直观
的对象，因此在大统一中起着最要紧的作用。２０世纪
的数论学家通过 代数几何的方法已经将整数方程的一
部分与几何结合，群表示理论亦逐渐与数论和几何学
结合。 每次进步都有结构性的变化，例如算术几何的
产生。
在这２０年间，拓扑学和几何已经 融合。三维空间和
四维空间的研究非懂几何不可。瑟斯顿（Ｔｈｕｒｓｔｏｎ）的猜
测，是在三 维空间上引用几何结构，这些创作新结构的
理论有划时代的重要性，正等如１９世纪引用黎曼曲面
的概念一样重要。
分析和几何亦逐渐融合，到目前为止，微分方程在
复几何和拓扑学 上有杰出的贡献。通过分析方法，陈氏
类、霍奇理论、阿蒂亚一辛格指标定理和我们在复流形
上 构造的凯勒一爱因斯坦度量，在代数几何中解决了
重要的问题。最近哈密顿（Ｈａｍｉｌｔｏｎ）的里奇 流（Ｒｉｃｃｉ
ｌｆｏｗ）可能解决瑟斯顿的猜想。
在四维空间上，唐纳森（（Ｄｏｎ ａｌｄｓｏｎ）利用陶布斯
（Ｔａｕｂｅｓ）、乌伦贝克（Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ）的规范场上的存在性< br>定理得到四维拓扑的突破。上述工作和唐纳森一乌伦
贝克一丘在杨一米尔斯的工作都与弦理论息息 相关。事
实上弦理论提供了极为重要的讯息，使得古典的代数
几何得到新的突破。我们期望弦理 论、代数几何、几何
分析将会对四维拓扑有更深人的了解。
在２１世纪的数学里，三维 的双曲空间会变得如黎
曼曲面一样重要，数学会进人一个尽情享受低维空间
特殊性质的局面，在 代数几何上，二维、三维和四维流
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形将会有更彻底的理解。我们希望霍奇猜测会 得到圆
满的解决，从而得知一个拓扑子流形什么时候可以由
代数子流形来表示。同样的问题也适 用于向量丛上。
由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代
数流形。
现在举一个理论物理、数学和应用科学上的共同
而重要的问题：基本物理上的分级（ｈｉｅｒａｒｃｈｙ ）问题，是
一个熊标（ｓｃａｌｅ）的问题。引力场和其他力场的能标相
微分几何和各类分析中 亦有不同能标如何融合的问
差极遨，如何统一，如何解释？在古典物理、微分方程、
题。在统计 物理和高能物理中，用到所谓重正化群
（ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ）的方法，是非 稳定系统的一个
重要工具。
一个重要问题。纯数学将会是处理不同度量的主要工
具。而 事实上，纯数学本身亦有不同度量的问题。
在微分方程或微分几何遇到奇异点或在研究渐近 分析时，炸开（ｂｌｏｗｉｎｇ ｕｐ）分析是一个很重要的工具，
而这种炸开的工具亦是代数几何 中最有效的工具。
性和定量的分析来研究由炸开得出来的结果，因此对
不同能标的量得到进一步 的认识。
２｝科学｝２００６年３月（５８卷２期）
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如何用基本的方法去处理不同能标是应用数学中
在非线性微分方程中，我们需要更进一步地做 定
微分几何的张量分析（曲率张量）在多重尺度
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数学与其他科学之间的关系在２１世纪的今天，数学在社会、工程、物理中有着越来越广泛的应用 。
（ｍｕｌｔｉｓｃａｌｅ ）分析中应该会有重要的应用，因为即使在
同一点上，有不同方向 的变化，而此种变化亦应当受到
能标的影响。
当一个图（ ｇｒａｐｈ）逼近一个几何图 形或微分方程
的解时，多重尺度分析极为重要，如何解决这些问题无
论在纯数学和应用数学都是 重要的问题，我希望研究
离散数学的学者亦注意到这一点。
近代弦论发现有不同的量子场论可以 互相同构
（ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ）然而能标刚好相反
（ Ｒ－１／Ｒ）
因此一个强祸合常数（ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃｏｎｓｔａｎｔ） 的理论可
以同另一个弱藕合常数的理论同构，而后者可以从渐
近分析理论来计算。
由于 Ｒ－１／ Ｒ这种奇妙的对称可以保持量子场论的
结构，使得我们可以用扰动性（ｐｅｒｔｕｒｂ ａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ）的
方法去计算非扰动的场论，在数学上得到惊人的结果。
更要 注意到的一点是时空的结构可能因此有基本
上的观念的改变能标。极小的空间不再有意义。时空
的量子化描述需要更进一步的探讨。物理学家和几何
学家都希望能够找寻一个几何结构来描述这 个量子化
的空间。有不少学者建议用矩阵模式来解释这种现象，
虽然未能达到目标但已得到美妙 的数学现象。
约在２００年前，高斯发现高斯曲率的观念而理解
爱是什么颜色-
太阳的主要化学成分-
十二只蚊子和五个人-
荒谬的意思-
氯化铵和氢氧化钠-
多音字强-
部分与部份-
人字开头的成语接龙-
本文更新与2020-11-26 13:08，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/464533.html
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