挽红颜浅谈从数学文化中理解数学的价值

2020年11月26日发(作者：乐舜日)
浅谈从数学文化中理解数学的价值
张瑶 03级3班 1030500723
数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想 不是每一个人都能清楚地回
答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还 知之甚少,需要我
们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。
R. 柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达
形式，反映生动活泼 的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直
觉，分析和推理，共性和个性。也 许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个
大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体 体现。
一、数学文化的概念
由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的 产物，所以，数学本身
就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们 所研究的
量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而，在亚里士多德
看来，数 学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。
1．数学传统的内涵：
数学对象 是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指
导之下进行的，他们的行为 方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以
下这个笑话被用来表明在解决问题时，数 学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方
法：
有人提出这样一个问题：“架设在你面 前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，
应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水， 点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。”提
问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变 化，只是水壶中已经有了
足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃 煤气，在把
水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并< br>声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解
决问 题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把
它转化成了某个已 经得到解决的问题。
2．数学在历史发展中存在三个辩证关系：
1）抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽
象程度是数学发展 的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形
式。事实上，例如：“计算数学，运筹学 ，统计数学等与实践密切相关的学科的建
立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是，数学向着更高抽 象程度的发展又并
非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的
2）一般化与特殊化
对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为 特殊化可
以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊
的化 归解决原来的问题。与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造
性功能，忽视这一方法在解 题中的作用。例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的
广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的 功能，而由原来所求作的对象到
相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一 般化或特
殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。
3）多样化与一体化
多样化是数学发展的一种重要形式。但我们也应该清楚地看到数学中存在 强大的统
一趋势。具体说数学中的统一化趋势表现在各个分支的相互渗透，特别是一个数学
分支 常常通过由另一分支中吸取概念和方法获得重要的进步。而且由于揭示了共同
的本质，一些原来认为是互 不相干，甚至对立的理论得到了统一。如：“借助于F.
克莱因关于几何学所研究的是变换群之下的不变 量的思想，原先被分割成许多几乎
互不相干分支（如欧氏几何，仿射几何，射影几何等）的几何学重新获 得了统一。
不同理论的相互渗透与比较，导致了更为深刻地认识以及新的，更高层次上的统一；
新的统一性概念或理论的建立则又为创造更多的新概念和新理论提供了直接的依
据，所以多样化与一体化 的辩证统一也应被看成数学发展的一个基本规律。
二、中西方数学文化的比较
每个民族都有 自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统
数学都有辉煌的成就、优秀的传 统。但是，它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的
不同政治文明孕育了不同的数学。
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种
民主）。男性 奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政
治文明包含着某些合理的因 素。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的
辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真 理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，
规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为 公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正
是在这样的背景下产生的。
中国古代文明是人类最古 老的文明之一。原始思维所共有的数量关系，数字的神秘解释
形式，在一相对独立的文明发展进程中演变 成了中华民族古代数学的独特形式。中国古代数
学的独特现象之一，是数字最终演化成为“筹”的形式来 表示，并就以此为工具进行数学的
运演操作。这是一种与古希腊数学符号运演相异的手工操作运演形式。 如果说古希腊用数学
解释世界的起源归于毕达哥拉斯，那么，中国用竹棍体系解释世界的功劳应归于孔子 ：“正
是由于孔子的极力推崇和宣扬，由竹棍运演体系成为的《周易》才正式成为中国文化中的一
种宇宙万物的解释系统，而这种竹棍的摆排，操作由源于原始数学。《九章算术》集中体现
了中国古代 数学的特征，他的方法，构造形式，解决问题的范畴成为中国古代数学的典范，
后世的许多数学研究甚至 连书名都与它相似。数学作为一种文化它浓缩着整个民族的价值观
念，表现了民族文化中宇宙哲学对数学 概念，方法，构造的运用，也揭示了其理性观念中数
学的地位和层次。中国在春秋战国时期也有百家争鸣 的学术风气，但是没有实行古希腊统治
者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是 知识分子自由表达见解的
黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。 因此，中国
的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、
计算税收运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上
看， 中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。
古希腊的文化时尚，是 追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶
角相等”这样的命题，在《几何原本 》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）
给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这 样的直观命题留下位置。 同样，中国数学强
调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的 运用、解方程的开根法，以及杨
辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也 只能在中国诞生，
而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同 时又
必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，
我们作为地球村的村运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从
文化意义上看 ，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文