幻想与现实数学之最：世界上最难的23道数学题

2020年11月26日发(作者：庞延斌)
数学之最：世界上最难的23道数学题
1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集 基数和实数基数之间没有别的基数，这就是
著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和 世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合
论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和 策梅洛–伦克尔集合论公
理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其 正确性与否。
希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得 几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾
提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。19 31年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这
种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条 件下证明了算术公理的相容性。198
8年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未 解决。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题。问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，< br>它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题
给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题。此问题提得过于一般。满足此性质的几何 学很多，
因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题
获得解决。《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面
有许 多进展，但问题并未解决。
5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这 个问题简称连续
群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933 ，对紧
群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力 ，1
952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
6．物理学 的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和
力学。1933年，苏联数学 家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场
论方面取得了很大成功。但是物理学是 否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德 和T.施奈德各自独立地解决了问题的
后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证 明了αβ的超越性。
8．素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下 的黎曼猜
想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪
生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律。该问题已 由日本数学家高木贞治（1921）和德
国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢 番图方程的可解性。能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希
尔伯特问，能否用一种由 有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏
联的IO.B.马季亚谢维奇证明 了希尔伯特所期望的算法不存在。