山西民歌大全初中阶段几种重要的数学思想方法

2020年11月26日发(作者：费致德)
初中阶段几种重要的数学思想方法


教育

数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括.它是从整体和思维的
更高层次上指导 学生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结
构，探寻解题的方向和途径.通过概括、 比较上升为数学能力，并通过数学思想
的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能 力。数学思想
的教学使中学数学教学进一步走向现代化.初中课堂教学中，数学思想尚处于隐
含 、渗透的阶段.毕业班复习辅导中有必要明确地突出其重要作用，使学生清楚
地认识到只有在数学思想的 指导下的数学学习活动，才是科学的数学学习活动，
才具有很强的能动作用和创造作用.

一、转化与化归思想

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.

数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现
了 数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；
分类讨论思想体现了局部 与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归
思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法 、待定系数法、构造法等都是
转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2.转化包括等价转化和非等价转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充 分的又是必要的，这样的转化能保
证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的 或必要
的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要
对所得结 论进行必要的修改.

3.转化与化归的原则

将不熟悉和难解的问题转 化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转
化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单 的问题，将一般性的问题转化
为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

4.转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化；

（2）常量与变量的转化；

（3）数与形的转化；

（4）数学各分支之间的转化；

（5）相等与不相等之间的转化；

（6）实际问题与数学模型的转化.

二、数形结合思想

1. 数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可
以相互转化，如某些代数问 题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形
的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得 直观，以便于探求解题思路
或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重 要
的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位.

2.数形结合的解题方法特点是 具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识
界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练， 对巩固和加深有关数学知
识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的.

数形结合 解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信
息，利用数量特征，将其转化为代 数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数
量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。 从而利用数形的辩证
统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助.

数形结合的主要方法有：解析法、三角法、图象法等.

3.数形结合的主要途径：

（1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点.

（2 )数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，
用几何方法解决代数问 题.

（3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、
思路易寻.

4、在运用数形结合时，要注意两点：

（1)“形”中觅“数”：很多 数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代
数化，以数助形，使问题获解.
（2)“数”上构“形”：很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现
它具有某种几 何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系 ，从而
将代数问题化为几何问题，使问题获解.

以上两者之间是相互联系的.例如 在解析几何中，虽然研究的主要方面是用函数
方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表 达式具有明显的几何
意义，则可在确定合适的坐标系后获得几何解释，从而能借助几何方法加以解决.

三、分类讨论思想

分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产 活动、科学实验中，还是在
日常的生活中，都常常需要用到它.

分类讨论思想方法 是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十
分广泛,通过加强数学分类讨论思想的训练 ，有利于提高学生对学习数学的兴趣，
培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对 学生的未来必
将产生深刻和久远的影响.

1.分类讨论思想的概念
< br>由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进
行研究的思想； 或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进
行分类研究的思想,我们称之为分类讨论 思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从
思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部 分,从而使复杂问
题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的 问
题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分
类科学、 统一,不重复、不遗漏,并力求最简.

2.分类讨论的原则

从某种意 义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运
用知识合理解决问题的思想 方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循
一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合 理地解题,分类讨论原则有同一
性原则、互斥性原则、层次性原则.

（1）同一性原则

同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作
全集I, 是I的子集,并以此分类,且A1∪A2∪…An=I,则称这种分类（A1,A2…An）
符合同一性 原则.比如,我们若把实数R分成正实数R+与负实数R﹣,那这种分类
不符合同一性原则,因为R= R+∪R﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.

（2）互斥性原则

由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全
集I来说,A1,A 2…An在满足A1∪A2∪…∪An=I的前提下,并不能保证Ai∩Aj= ?
（i,j n,i j）,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了
这一问题,即对于研究对象 I, Ai(i=1…n)是I子集,且作为分类的标准,若Ai∩Aj= ?
（i,j n, i j）,则称这种分类符合互斥性原则.

（3）层次性原则

如果在解决 某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题
并没有得到解决,还需要继续进行 分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨
论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则 是指分类讨论必须按同一
标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是 要
求有层次的分类讨论不错位、不越位.

由上看出,分类讨论三原则,同一性、互 斥性、层次性中,同一性要求分类不遗漏,
互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次 性是在解决某些问题
时,按同一标准一次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原< br>则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则.

3.分类讨论的步骤

同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解
题 中,分类讨论一般分为四步：

第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；

第二，正确选择分类标准,合理分类；

第三，逐类、逐段分类讨论；

第四，归纳并做出结论.

分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分 类讨论的意识,第三要学
会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的正确性 .

4.引起分类讨论的七种基本形态

并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种

情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化.

（1）概念分段定义

像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值