死神牙密中国数学的起源与早期发展

2020年11月26日发(作者：孙用康)
一、中国数学的起源与早期发展
据《易·系辞》记载：上古结绳而治，后世圣人易之以书契」 。在殷墟出土
的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，
共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的
数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已
不可考，但可以肯定的是筹算 在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种
方式, 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位 值的数目从左到右排列，纵
横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空 位
表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。筹算直到十五世纪元
朝末年才逐渐 为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就
的。
在几何学方面《史记· 夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等
作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个 勾股定理﹝西方称勾股定理
﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范， 包
含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进 了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学
有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何 名词的定义和命题，例
如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。
《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽
象的数学思想， 例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，
日取其半，万世不竭」等。这些许多几何 概念的定义、极限思想和其它数学命题
是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想 未能得到很好
的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映
出二进制的思想。
二、中国数学体系的形成与奠基
这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发 展历史。秦汉是
中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学
方面的专书陆续出现。
现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西< br>汉初的汉简《算数书》，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前
186年），所以 该书的成书年代至晚是公元前186年（应该在此前）。
西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经 》，尽管是谈论盖天说宇宙论
的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1) 提出勾
股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾
股测量 法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和 修订而成的古代数学经典著作，约
成书于东汉初年﹝公元前一世纪﹞。全书采用问题集的形式编写，共收 集了246
个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程
和勾 股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于
勾股测量的计算等。在代数方 面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减
法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线 性方程组的解法和现在中
学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联
系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就
如十进制值制、 今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到
欧洲，促进了世界数学的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和
刘徽（生卒年代不详）的工 作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的 数学家之一，对《周髀算经》
做了详尽的注释,在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理， 他的
方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方
法。263年 ，三国魏人刘徽注释《九章算术》，在《九章算术注》中不仅对原书
的方法、公式和定理进行一般的解释 和推导，系统地阐述了中国传统数学的理论
体系与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷1《方田》 中创立割圆术（即
用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的办法），为圆周率的研究工作奠定理论
基础和提供了科学的算法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为3927/1250
（即3.14 16）；在《商功》章中，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方
盖”的几何模型，为祖暅获得正确 结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运
用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》， 发扬了古代勾股测量
术----重差术。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学 的发展依然蓬勃。出现
了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。约于公元四-< br>五世纪成书的《孙子算经》给出「物不知数」问题并作了解答，导致求解一次同
余组问题在中国的 滥畅；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定
方程组问题。
公元五世纪，祖 冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九
章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向 前推进了一步，成为重视数学思维
和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀 术》已失
传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数
点后 第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率
为 355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德
国人鄂图（val entinus otto）和荷兰人安托尼兹（isz)才得出同样结
果；(2)祖暅在刘徽工作的基 础上推导出球体体积的正确公式，并提出幂势既同
则积不容异的体积原理，即二立体等高处截面积均相等 则二体体积相等的定理。
欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定
理；(3)发展了二次与三次方程的解法。
同时代的天文 历学家何承天创调日法，以有理分数逼近实数，发展了古代的
不定分析与数值逼近算法。
三、中国数学教育制度的建立
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰《缉古 算经》，主
要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问
题， 讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、
勾股章中开方理论。
隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确
立，数学教育有了长足的发展 。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，
由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》﹝包括 《周髀算经》、《九章算术》、
《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉 古算经》、
《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》﹞，作为算学馆学生用的课本。对保存
古代 数学经典起了重要的作用。
由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使
唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》
时，在世界上 最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，
唐代僧一行在其《大衍历》中将其发 展为不等间距二次内插公式。
唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书， 对
于乘除算法力求简捷。
四、中国数学发展的高峰
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混 战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、
手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世 纪到十四世纪﹝宋、
元两代﹞，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。< br>这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算
法细草》﹝11世 纪中叶﹞，刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞，秦九韶的《数
书九章》﹝1247﹞，李冶的《测圆 海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，杨
辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法 》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275
﹞，朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元 玉鉴》﹝1303﹞等等。 宋元数学
在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作
有：
公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中
创造了开任意高次 幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william
george horner）才 得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到
十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《 黄帝九章算法细草》已佚）
公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积 等生产
实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正
确的求和 公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长
的近似公式。他还运用运筹思想分 析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问
题。
公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》 中推广了增乘开方法，叙述了高
次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高 为十次
方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的
解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。
公元1248 年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第
一部系统论述“天元术”（一元高 次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的
成果。在《测圆海镜?序》中，李冶批判了轻视科学实践， 以数学为“九九贱技”、
“玩物丧志”等谬论。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详） 在《详解九章算法》中用“垛积
术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》 中还叙述
了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭
守敬 等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求
出相当于现在球面三角的两个 公式。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元
术”推广 为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元
1775年法国人别朱（etie nne bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限
项级数求和问题进行了研究，在此基础上 得出了高次差的内插公式，欧洲到公元
1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac
newton）才提出内插法的一般公式。
公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算 机出现之前，珠算盘是世
界上简便而有效的计算工具。
五、中国数学的衰落与日用数学的发展
这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年。数学除珠算外出现
全面衰弱的局面， 当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内
容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题， 不少中外数学史家仍探讨当中涉及的
原因。
明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读 本，及至程大位的《直指
算法统宗》﹝1592﹞问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的 完成。
但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数
学出现长 期停滞。
六、西方初等数学的传入与中西合璧